精品解析：江苏省常州市2024-2025学年高三上学期期末质量调研数学试题

常州市2024—2025学年第一学期高三期末质量调研 数学 2025年1月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2i D. 4. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 若函数在处取得极小值，则实数（ ） A. B. 2 C. 2或0 D. 0 6. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四棱柱中，，，为底面的中心，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若在上的值域为，则的取值范围是 B. 若在上恰有一条对称轴，则取值范围是 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若在上有且只有两个不同的零点，则的取值范围是 11. 某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（ ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C. 此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D. 此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式______． 13. 已知的展开式中项的系数为30，则______． 14. 在中，点满足，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 16. 某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得分．设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响． （1）经过1轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望； （2）求经过3轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率． 17. 已知数列满足． （1）设，求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，且，求的值． 18. 平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求，的方程； （2）点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由． 19. 已知函数． （1）若在区间上单调，求实数取值范围； （2）若函数有两个不同的零点． （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市2024—2025学年第一学期高三期末质量调研 数学 2025年1月 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合，再求. 【详解】， 由，得，解得， 所以. 故选：B． 2. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用推出关系去判断充要关系即可. 【详解】当时，是等差数列，不是等比数列， 当既是等差数列又是等比数列，则， 故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知复数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知易得，即可求目标式的值. 【详解】由题设，则. 故选：B 4. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可得答案. 【详解】，得：. 故选：C． 5. 若函数在处取得极小值，则实数（ ） A. B. 2 C. 2或0 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案. 【详解】由，则，得或2， 时，，在R上单调递增，不满足； 时，，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设， 所以. 故选：D 6. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的弦长转化到圆心到直线的距离，然后用点到直线的距离公式即可求渐近线斜率，从而可求离心率. 【详解】设弦心距，则，得：， 令，则渐近线为，，得：， 所以， 故选：C． 7. 已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边上的点有，，平方关系得，应用求值确定的值，最后由求值. 详解】由题意知：，，又，则， 若，则，与为钝角矛盾，舍去， 故，所以. 故选：D 8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】球心为正方体中心，，法一：连接相交于点，根据线面平行的判定定理得平面，则到平面的距离等于点到平面的距离，设为，利用求出，再由截面圆半径可得答案；法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由点到平面的距离的向量求法可得答案. 【详解】球心为正方体中心，半径， 法一：连接，相交于点，点为中点，连接， 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由平面、得：， 则截面圆半径， 所以截面面积； 法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以， 则到平面的距离， 截面圆半径，所以截面面积. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四棱柱中，，，为底面的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若在上的值域为，则的取值范围是 B. 若在上恰有一条对称轴，则的取值范围是 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若在上有且只有两个不同的零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各项的给定区间确定的范围，结合正弦函数的性质及对应区间的值域、对称轴、零点及单调性情况列不等式求参数范围，判断各项正误. 【详解】A：由，则，且值域为，，得，正确； B：由，则，则，得，错误； C：由，则上函数单调递增， 又，则，得，正确； D：由，则上函数有且只有两个不同的零点， 所以，得，正确； 故选：ACD 11. 某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（ ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 03 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A. 甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B. 相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C. 此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D. 此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 【答案】BC 【解析】 【分析】应用期望、方差公式求甲乙的期望和方差判断A、B；根据所得期望，求收益的期望之和判断C；设投资甲元，投资乙元，结合所得方差得到关于m的二次函数，判断对称轴是否为5000，即可判断D. 【详解】A：，，错误； B：， ，正确； C：因为，所以总期望元，正确； D：设投资甲元，投资乙元， 方差和， 对称轴，错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据幂函数的奇偶性、第一象限的单调性写出一个满足要求的幂函数. 【详解】对于幂函数在上单调递减，则， 函数为奇函数，取，即满足要求. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知的展开式中项的系数为30，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式展开，设的二项式展开式通项为，分别求出、的系数可得答案． 【详解】原式， 设的二项式展开式通项为 ， 令，得的系数为，令，得的系数为， 所以项的系数，得：． 故答案为：． 14. 在中，点满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由正弦定理得，转化为，解方程可得答案. 【详解】设， 由正弦定理得，， 即， 所以 ， 即， 同除得， 解得舍去，或， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为为直棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，为中点，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 取， 又平面的法向量， 记二面角为，则， 则， 即二面角的正弦值为． 16. 某校，两班举行数学知识竞赛，竞赛规则是：每轮比赛中每班派出一名代表答题，若都答对或者都没有答对则均得0分；若一个答对另一个没有答对，则答对的班级得1分，没有答对的班级得分．设每轮比赛中班答对的概率为，班答对的概率为，，两班答题相互独立且每轮比赛结果互不影响． （1）经过1轮比赛，设班的得分为，求的分布列和数学期望； （2）求经过3轮比赛班累计得分高于班累计得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的可能取值和概率可得答案； （2）分析经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况分，根据独立事件的乘法公式及互斥事件的概率求和公式可得答案. 【小问1详解】 随机变量的可能取值为， ， ， ， 0 1 ； 【小问2详解】 经过3轮比赛A班累计得分高于B班累计得分的情况有： A班3轮每一轮得分都高于B班；A班有2轮得分高于B班， A班有1轮得分高于B班，另两场都是0分， 所以所求概率． 17. 已知数列满足． （1）设，求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，且，求的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，验证是否满足要求，即可得结果； （2）根据已知可得，且，讨论的奇偶性得关系，应用分组求和及已知列方程求. 【小问1详解】 由①， 当时，②， ①②则，又满足上式， 所以． 【小问2详解】 由（1），知，则，故， 所以，且， 若为偶数，，则； 若为奇数，，则； 故， 解得或． 18. 平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求，的方程； （2）点是上位于第一象限的动点，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．问点是否在一条定直线上，若在，求出直线的方程；若不在，说明理由． 【答案】（1），． （2）点在定直线上 【解析】 【分析】（1）易知椭圆的焦点在轴上，根据离心率求出的方程，得到焦点坐标，进而得到的方程； （2）利用导数求出点处切线的斜率，设，，利用点差法得到直线的斜率与直线的斜率之间的关系，进而得到直线的方程，令即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以椭圆的焦点在轴上，又因为椭圆离心率为， 所以，解得， 所以椭圆，右焦点为，所以，， 所以抛物线； 【小问2详解】 由题可设， 当时，由得，， 所以点处切线的斜率为， 设，，则， 因为，在椭圆上，所以， 两式作差得，即， 所以直线的方程为， 令，解得，所以， 所以点在定直线上运动. 19. 已知函数． （1）若在区间上单调，求实数取值范围； （2）若函数有两个不同的零点． （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求证：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用导数求的区间单调性，结合已知即可得参数范围； （2）（i）对求导，讨论、研究单调性，结合零点个数有，进而求参数范围，根据零点存在性定理判断零点个数是否符合要求；（ⅱ）记两个零点为，结合不等式恒成立知为的两个零点，进而有，，，应用分析法、导数证明不等式. 【小问1详解】 由题设，当时，当时， 所以上单调递减，在上单调递增， 而在区间上单调，所以； 【小问2详解】 （ⅰ），且， 令且，则， 若，，即在定义域上递增，所以函数至多有1个零点，不符； 当时，时，时， 在上单调递增，在上单调递减， 则，得， 又，， 另且，则， 所以在上单调递增，则，所以， 即在和各存在一个零点，满足题设， 所以； （ⅱ）记两个零点为，结合恒成立， 则为的两个零点，则，， 且，要证， 即证，即证 令，即证， 令，则， 所以，得证； 要证，即证 令，则，则， 所以，得证． 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问二小问，由已知的零点为的两个零点，结合分析法和导数证不等式为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$