精品解析：福建省莆田市城厢区砺成中学2024-2025学年八年级下学期12月月考数学试题

2024-2025学年八年级上学期第二次阶段性检测数学试题 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，共40分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：A.该选项不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，根据完全平方公式以及同底数幂的乘除法法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴ ∵是中线，即点是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得． 5. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解即可． 根据提取公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，结果不是积的形式，故该选项不符合题意． 故选B． 6. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 7. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 8. 将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的6倍 C. 是原来的3倍 D. 是原来的2倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则原分式则变成，则分式的值是原来的2倍． 【详解】解：将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍， 则原分式变成， ∴分式的值是原来的2倍， 故选：D． 9. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，从而求得，再根据直角三角形的性质求得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图,A,B两点分别表示两幢大楼所在的位置,直线a表示输水总管道,直线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点,安装分管道将水和煤气输送到A,B两幢大楼,要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中,点A'是点A关于直线b的对称点,A'B分别交直线b,a于点C,D;点B'是点B关于直线a的对称点,B'A分别交直线b,a于点E,F，则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是 A. F和C B. F和E C. D和C D. D和E 【答案】A 【解析】 【分析】本题要明确输水和输煤气分管道应建在何处，点B关于a的对称点B′，则线段B′A与a的交点就是应建的输水分管道的连接点位置．点A关于b的对称点A′，则线段A′B与b的交点就是应建的煤气分管道的连接点位置． 【详解】解：由轴对称--最短路线的要求可知： 输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F， 煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C． 故选A． 【点睛】本题考查了最短距离，正确确定输水和输煤气分管道的位置是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 13. 若，则的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算，先整理得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12 14. 若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， 故答案为：或； 15. 已知，，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 所以原式 ， 故答案为：． 16. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中项的系数，解题关键是通过观察得出系数的规律． 写出的展开式，即可求出对应系数． 【详解】解：由题意得， ∴展开式中的系数6， 故答案为：6． 三、解答题（共96分） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式计算即可． （1）根据多项式除以单项式计算即可． （2）按照平方差公式以及完全平方公式展开，然后合并同类项即可． （3）按照平方差公式展开计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 18. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 19. 先化简，再从中选一个你喜欢的值代入计算． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、约分等知识，先对分式分子分母因式分解，再约分，最后化简，根据分式有意义的条件得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件可知，，， 当时，原式． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如：，，，因此4，这三个数都是神奇数， （1）直接判断：______（是或不是）神奇数，______（是或不是）神奇数； （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的“发现”________（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。 ①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数． ②田田发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数． ③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数． 【答案】（1）是，不是 （2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，找到一般规律是解题关键． （1）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），则，据此即可判断； （2）根据（1）中的结论即可判断； 【小问1详解】 解：∵， ∴是神奇数； 设两个连续偶数为和（其中k取非负整数）， 则， 令，解得：（不符合题意）； ∴不是神奇数； 故答案为：是，不是 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．故①正确； 若长方形相邻两边长为两个连续偶数，设其为和（k取正整数）， 则周长，故周长一定为神奇数，故②正确； 面积， ∵为奇数，而是偶数， ∴面积不是神秘数．故③错误； 故答案为：①② 22. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是证明． （1）根据直角三角形的判定定理证明即可； （2）先由，可得，，再根据等边对等角，可得，由此可得，再根据三角形内角和为，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由上一问得， ∴，， 由上一问得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 记与相交于点H， 中，， 中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． 23. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________； （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2）①2；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，也涉及平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． （1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）①根据可得，再根据（1）中的结论计算即可；②设，则，，根据，得出，求出，再根据平方根定义即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵图②是边长为的正方形， ∴， ∵图②可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 即， 又∵， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴． 24. 如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，在右侧作等边，连接． （1）①请根据题意在图1中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． ②求证：； （2）延长交于点F，求证：F为的中点． 【答案】（1）①见详解，②见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）①根据过已知点作直线的垂线，结合等边三角形的三边相等作三角形即可；②由等边三角形的性质得，，，则，即可利用证，可得； （2）过点C作交的延长线于点G，则，由等边三角形的性质和垂直得，结合平行线的性质得，由（1）可知，，，即可得，进一步有，即可利用证明，有 ，可得结论； 【小问1详解】 解：①如图， ②∵等边和等边中， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点C作交的延长线于点G， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 即F为的中点． 【点睛】本题考查了作图，过已知点作垂线，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 25. 如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且是轴负半轴上一点，连接． （1）如图1，若于点，且交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的基础上，连接，求证：； （3）若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，之间有何数量关系？为什么？ 【答案】（1）证明过程见详解 （2）证明过程见详解 （3）或或，证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据垂直的性质，对顶角相等的性质可得，运用“角边角”的证明方法即可求证； （2）如图所示，过点作，可证四边形是矩形，由（1）的全等可得，证明矩形是正方形，且是对角线，由正方形的性质即可求证； （3）根据题意可得，根据动点的运动，分类讨论：第一种情况，点在轴正半轴上，连接，可证明，得，由，即可求解；第二种情况，点在上时，可证，得，由∴，即可求证；第三种情况，点在点的下方，同理可证，，由，即可求解；图形结合分析即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，则， ∴四边形是矩形， 由（1）可得，且， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵是对角线， ∴； 【小问3详解】 解：已知点， ，且， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，点在轴正半轴上，连接， ∵，，点是中点， ∴，即，， ∴， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 第二种情况，如图所示，点在上时， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点的下方， 同理可得，，， ∴， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，几何图形面积的设计方法，掌握平面直角坐标系中点坐标的特点，全等三角形的判定和性质，图形结合分析思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级上学期第二次阶段性检测数学试题 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，共40分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 7. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的6倍 C. 是原来的3倍 D. 是原来的2倍 9. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图,A,B两点分别表示两幢大楼所在的位置,直线a表示输水总管道,直线b表示输煤气总管道.现要在这两根总管道上分别设一个连接点,安装分管道将水和煤气输送到A,B两幢大楼,要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中,点A'是点A关于直线b的对称点,A'B分别交直线b,a于点C,D;点B'是点B关于直线a的对称点,B'A分别交直线b,a于点E,F，则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是 A. F和C B. F和E C. D和C D. D和E 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称点的坐标为________． 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 13. 若，则的值为___________． 14. 若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 15. 已知，，，则的值是_______． 16. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是_______． 三、解答题（共96分） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 19. 先化简，再从中选一个你喜欢的值代入计算． 20. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如：，，，因此4，这三个数都是神奇数， （1）直接判断：______（是或不是）神奇数，______（是或不是）神奇数； （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的“发现”________（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。 ①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数． ②田田发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数． ③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数． 22. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 23. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________； （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 24. 如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，在右侧作等边，连接． （1）①请根据题意在图1中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． ②求证：； （2）延长交于点F，求证：F为的中点． 25. 如图所示，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，且是轴负半轴上一点，连接． （1）如图1，若于点，且交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的基础上，连接，求证：； （3）若，点为的中点，点为轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴上运动的过程中，之间有何数量关系？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $