精品解析：四川省自贡市中等职业学校2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

自贡市中等职业学校2024-2025学年高二年级上学期期末考试 数学试卷 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第I卷共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分． 一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的概念即可得解. 【详解】复数（为虚数单位）的虚部是. 故选：B. 2. 在等差数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列，由题意列出式子解得通项公式，进而得到. 【详解】设等差数列，由题可得 ， 解得，故， 则. 故选：A. 3. 椭圆的长轴长为（） A. B. 6 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断椭圆焦点所在轴，根据椭圆标准方程确定的值，进而得到长轴长的值. 【详解】对于椭圆方程，因为，所以焦点在轴上. 在椭圆中，，则，所以长轴长为. 故选：D. 4. 过点，倾斜角为的直线方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由倾斜角求出直线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】已知直线的倾斜角为，根据直线斜率， 可得直线的斜率. 直线过点，斜率为， 代入点斜式方程可得：， 即. 故选：D. 5. 圆心为点，半径的平方为5的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心和半径确定标准方程，从而确定一般方程. 【详解】已知圆心为，半径， 故圆的标准方程为， 可得圆的一般方程为， 即. 故选：C. 6. 在正项等比数列中，已知，，则该数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出等比数列的公比和首项，再根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设公比为. 已知，，则或（舍）， （由于等比数列为正项数列，所以舍去）. 从而首项为. 所以数列的通项公式为：. 故选：B. 7. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程确定斜率，结合倾斜角满足确定答案. 【详解】已知直线方程，因此直线斜率为， 故直线倾斜角满足， 且，可得. 故选：C. 8. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 4050 B. 4048 C. 8100 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及前n项和公式进行求解即可. 【详解】等差数列的前项和为， 故选：A 9. 已知，，，成等比数列，且曲线的顶点是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由的图象顶点为，列出式子解得，再由等比数列性质得到答案. 【详解】已知二次函数的图象顶点为，可得 ， 解得，， 从而成等比数列，由等比中项的性质可得， . 故选：D. 10. 抛物线的焦点坐标是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点公式求解即可. 【详解】对于抛物线方程，化为标准方程. 抛物线的焦点坐标为，在中，，则，所以焦点坐标为. 故选：C. 11. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义结合充分、必要条件即可得解. 【详解】由方程表示椭圆， 可得，解得，即， 所以方程表示椭圆可推出， 但推不出方程表示椭圆， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 12. 若双曲线的离心率，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求双曲线的离心率求解，再由双曲线中的关系求解渐近线方程即可. 【详解】双曲线的离心率是，可知，即， 所以， 所以渐近线方程为. 故选：A. 13. 圆被直线截所得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式求出弦长，从而得出答案. 【详解】先将圆的方程转化为标准方程， 可得圆心坐标为 ，半径 ， 圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式，可得， 根据弦长公式 ，可得弦长为. 故选：A. 14. 若数列的通项公式是，则该数列的前项之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分组求和的方法计算即可. 【详解】已知数列，对于正整数成立 ， 故该数列前项之和为 ， 故选：D. 15. 已知点是圆上一点，则的最大值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以看作是圆上一点与原点连线的斜率，可以通过设出直线方程，然后利用直线与圆相切时斜率取得最值来求解. 【详解】设，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径 根据点到直线的距离公式可得. 首先对等式两边进行平方得到，展开得，移项化简可得，解得. 因为直线与圆相切时斜率取得最值，所以的最大值为. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 数列满足，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算数列的前几项，找出数列的周期规律，然后根据周期求解即可. 【详解】因为，， ， ， ， 可以发现数列是以3为周期的周期数列. 因为，所以. 故答案为：. 17. 已知直线，，若，则实数_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由两直线平行的位置关系即可得解. 【详解】因为，所以， 解得. 故答案为：. 18. 若点在直线上，则点到点，的距离之和的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算点关于直线的对称点为的坐标，根据点到点，的距离之和的最小值，就是点到点的距离，计算得到答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 点到点的线段中点在直线上，且直线关于直线垂直， 直线的斜率为，直线的斜率为,可得 ， 解得，，可得， 因此，点到点，的距离之和的最小值， 就是点到点的距离， 即为， 故答案为：. 19. 抛物线上一点A的纵坐标是4，则点A与抛物线焦点的距离是______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可求解距离. 【详解】因为抛物线为， 所以抛物线的准线方程为， 所以点A到准线的距离为， 根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离， 所以点A与抛物线焦点的距离为5. 故答案为:5. 20. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】首先利用斐波那契数列的通项公式将不等式进行化简，然后通过对数函数的性质求解不等式，从而确定的最小值. 【详解】已知不等式， 由斐波那契数列通项公式可得： ，将其代入不等式可得： ， ， 因为（这里）， 所以， 由于是斐波那契数列的项，且， ， 通过计算可得：，， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 设是等差数列，若，． （1）求的通项公式： （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的首项，进而求出通项公式. （2）根据等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 ， 所以，． 【小问2详解】 数列的前项. 22. 直线经过两直线，的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】对于（1），先通过联立方程求出两直线交点，再根据垂直直线斜率关系求出所求直线斜率，进而得到直线方程. 对于（2），先设出直线方程（考虑斜率存在与不存在两种情况），利用圆心到直线距离等于半径求出斜率，从而得到直线方程. 【小问1详解】 联立两直线，，解得，， 即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：． 综上：直线的方程为或． 23. 已知点在双曲线上，且双曲线的渐近线的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】（1）（或）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得到与的关系，再将已知点代入双曲线方程，联立求解出与的值，从而得到双曲线方程. （2）先写出直线方程，然后与双曲线方程联立，分直线与双曲线渐近线平行（此时方程为一次方程）和判别式等于（此时直线与双曲线相切）两种情况讨论，求出的值. 【小问1详解】 由条件可知，，且， 解得：，， 所以双曲线方程为（或）. 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立，整理得， 当时，，得； 当时，时，与双曲线的渐近线方程平行， 故与双曲线只有一个交点，满足条件， 综上可知，或. 24. 已知圆过三点，，． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于、两点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，代入点坐标计算得到圆的方程； （2）由知直线过定点，再计算得到在圆内，当时，最短，从而计算最小值. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意可得 ， 解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为． 【小问2详解】 由圆的方程，则圆心，半径， 由知直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， ． 25. 已知圆过，两点，且圆心在上． （1）求圆的方程； （2）设是直线上的动点，,是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据圆心在给定直线上设定圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径，求解出圆心坐标和半径，从而得到圆的方程. （2）将四边形面积转化为两个三角形面积之和，利用勾股定理将面积与圆心到动点的距离联系，通过求出圆心到直线上动点距离的最小值，进而得到四边形面积的最小值. 【小问1详解】 由题意，圆心在上，所以可设， 设圆的半径为， 又圆过，两点， 所以， 解得，则圆心为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为，是圆的两条切线，为切点， 所以，，因此Rt与Rt全等， 又点到直线的距离为， 则直线与圆相离， 所以四边形面积 ， 当且仅当与直线垂直时，四边形的面积最小，最小值为4． 26. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若对于任意都有不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令求得，再由作差法求得，进而得到； （2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列求和公式得到，再由不等式恒成立思想求得取值范围. 【小问1详解】 因为， 当时，得，即①， 当时，②， 由①②得， ，又也满足， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得，， 即，则， 故． 由，得，即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着增大而减小， 所以，即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市中等职业学校2024-2025学年高二年级上学期期末考试 数学试卷 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共60分） 注意事项： 1．选择题必须使用铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第I卷共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分． 一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 在等差数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的长轴长为（） A. B. 6 C. 10 D. 4. 过点，倾斜角为的直线方程为（） A. B. C. D. 5. 圆心为点，半径的平方为5的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在正项等比数列中，已知，，则该数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 8. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 4050 B. 4048 C. 8100 D. 2025 9. 已知，，，成等比数列，且曲线的顶点是，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的焦点坐标是（） A. B. C. D. 11. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 若双曲线的离心率，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 13. 圆被直线截所得的弦长为（ ） A. B. 4 C. D. 14. 若数列的通项公式是，则该数列的前项之和为（ ） A. B. C. D. 15. 已知点是圆上一点，则的最大值是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 数列满足，，则_____． 17. 已知直线，，若，则实数_____． 18. 若点在直线上，则点到点，的距离之和的最小值为_____． 19. 抛物线上一点A的纵坐标是4，则点A与抛物线焦点的距离是______. 20. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 设是等差数列，若，． （1）求的通项公式： （2）求数列的前项和． 22. 直线经过两直线，的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 23. 已知点在双曲线上，且双曲线的渐近线的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 24. 已知圆过三点，，． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于、两点，且，求的最小值． 25. 已知圆过，两点，且圆心在上． （1）求圆的方程； （2）设是直线上的动点，,是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值． 26. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若对于任意都有不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $