6.5 三角计算的应用（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一下册）

6.5 三角计算的应用 一、教学内容解析 课程内容包括三角形面积公式、正弦定理和余弦定理，这些都是解决实际问题中不可或缺的数学工具。通过本节课程，学生将学习到如何将这些理论知识应用到建筑和工程、物理和天文学、电子技术等多个领域中，以解决实际问题。 二、教学目标设置 理解并掌握三角形面积公式、正弦定理和余弦定理。 能够将这些数学工具应用到实际问题中，解决生活中的数学问题。 学会分析问题，确定已知信息和未知信息，建立数学模型，并运用公式求解。 增强学生解决实际问题的能力，提高他们的数学应用意识和实践能力。 三、教学重难点设置 重点：培养学生的数学建模能力，即如何从实际问题中抽象出数学模型。 难点：正弦定理和余弦定理在复杂问题中的应用，尤其是涉及到多个变量和条件的情境。 四、学生学情分析 学生可能对三角计算的理论知识有一定的了解，但在实际应用方面可能缺乏经验。他们可能在理解和应用正弦定理和余弦定理时遇到困难，尤其是在解决复杂问题时。学生可能需要更多的实践和指导来提高他们的数学建模能力和问题解决能力。此外，学生可能需要通过具体的案例和练习来加深对理论知识的理解和应用。教师应设计多样化的教学活动，包括案例分析、小组讨论和实际测量，以提高学生的参与度和学习效果。 五、教学过程设计 教学环节 解学内容 师生互动 设计意图 第一环节：导入环节 三角计算在许多领域中都有广泛的应用 如建筑和工程、物理和天文学、电子技术等。 同学们，三角计算不仅仅是数学课本上的理论，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。今天，我们就来一起探索三角计算的奥秘！ 教师活动：带领学生回顾三角形面积公式、正弦定理和余弦定理，通过展示三角计算在建筑、物理、电子技术等领域的应用实例，激发学生的兴趣和好奇心，引导学生认识到三角计算的实际价值。 学生活动：学生观看实例展示，参与讨论三角计算在日常生活中的应用，思考三角计算的重要性。 通过实际应用案例，引起学生对三角计算的兴趣，为新课内容做好铺垫。 第二环节：新课讲解环节 解决生活中的数学问题，一般分为哪些步骤呢？ 理解问题→确定已知信息和未知信息→建立数学模型→运用公式求解 分析情境1 ①“内接于扇形”意味着矩形的四个顶点都位于扇形的边界上。 ②矩形面积=边长×边长。 分析情境2 ①开始时的电压是指当t=0 时的电压值。 ②电压值重复出现一次的时间间隔就是交流电的周期。 ③求正弦型函数的振幅和取最大值时t的取值。 分析情境3 求河的宽度即求高CD. 分析情境4 已知AD和BE DE=AB−AD−BE 试计算隊道DE的长，只需求AB. 教师活动：展示三角计算不同情境下的应用，分析不同的情境，初步教学生如何构建数学模型。 学生活动：认真听讲，记录关键点，参与互动问答。 第三环节：例题讲解环节 例1 在一块半径为10m，圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积． 解： 设扇形圆心为O，矩形为 ABCD，如图所示． 连接 OD，记∠COD=θ，则在Rt△COD中，CD=10sinθ，OC=10cosθ ． 在Rt△AOB中， 设矩形的面积为, 则 故当 , 即 m2. 例2 若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用)来表示，求： （1）开始时的电压；  （2）电压值重复出现一次的时间间隔；  （3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻． 解：(1)取t=0，得开始时的电压U== (V)， 答：该交流电开始时的电压为110V． （2）由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期，故电压值重复出现一次的时间间隔为(s) 答：电压值经过0.02s重复出现. (3) 故当 , 当(s) 答：电压的最大值是V，s时第一次达到最大值. 例3 ∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m ．求河的宽度． 解：在中，，，∴∠ACB=， 由正弦定理得 ∴， 作，则CD的长为河宽， 在Rt△CDB中，sin∠CBD 所以CD=BC sin∠CBD=BCsin75°． 又sin75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos30°+cos 45°sin30°= 因此，CD=BCsin75°=40(m)， 答：河宽为. 例4 CA=500m，CB=800m，∠ACB=60°．AD=180m，BE=240m(A、D、E、B在一条直线上)，试计算DE的长． 解：在△ABC 中，CA=500，CB=800， ∠ACB=60°． 由余弦定理得到 （米） 所以，隧道DE长为280米. 通过例题，如“内接于扇形的矩形面积计算”、“求正弦型函数的振幅”、“求河的宽度”和“隧道DE的长度”等，详细演示解题步骤和方法。 学生活动：学生跟随教师的解题步骤，尝试理解并复现解题过程，加深对公式应用的理解。 通过具体的例题讲解，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解题能力。 第四环节：课堂练习环节 1.如图所示，有一长为 10m、倾斜角为75°的斜坡AB ．在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的倾斜角变为30°．问坡底延长了多少米？ 解：由正弦定理得，解得m． 答：坡底延长了米。 2.如图所示，要把截面半径为R的圆木锯成横截面为 矩形的方木．矩形的长和宽各为多少时，其面积最大？最大面积是多少？(提示：连接 AC，并设∠CAB=θ) 解： . 显然，当sin2θ=1时，S最大= ． 故当 , 即 又因为θ∈(0, 90°)，所以θ =45° ． BC=2Rsin45°=R,AB=2Rcos45°=R. 答：长和宽均为R时，其面积最大，最大面积是. 教师活动：提供一系列练习题，如“斜坡倾斜角变化对坡底长度的影响”和“锯成矩形方木的最大面积问题”，指导学生进行练习。 学生活动：学生独立或小组完成练习题，巩固所学知识和技能。 通过课堂练习，加强学生对三角计算知识的掌握，提高解题速度和准确性。 第五环节：课堂小结环节 对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案．例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结果．学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理解决这些问题． 教师活动：总结本节课的重点内容，回顾三角计算的关键概念和公式，强调其在实际问题中的应用。 学生活动：学生回顾课堂内容，整理笔记，提出疑问，巩固学习成果。 通过课堂小结，帮助学生梳理知识结构，加深对重点内容的记忆。 第六环节：作业布置环节 1.基础作业：完成《学习指导与练习》； 2.中等作业：复习学习过的公式; 3.拓展作业：明确解决生活中的数学问题的步骤，完成习题6.5. 教师活动：根据学生的学习情况，布置基础作业、中等作业和拓展作业，鼓励学生在课后继续学习和思考。 学生活动：学生记录作业要求，准备课后完成作业，以加深对课堂内容的理解和应用。 通过作业的布置，使学生能够在课后继续练习和思考，巩固课堂所学，提高自主学习能力。 六、教学反思 反思内容： 在教学结束后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生对知识的掌握情况、教学方法的有效性、学生参与度等。教师可以根据学生的反馈和作业完成情况，调整教学计划和方法，以提高教学质量。同时，教师也应思考如何更好地将三角计算与学生的实际生活和未来职业发展相结合，以增强学生的学习动力和实际应用能力。 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$