4.7 《相似三角形的性质(1)》课件 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质(1) 三、根据定义，相似三角形的对应边、对应角有什么 关系？ 相似三角形的对应边成比例、对应角相等. 想一想 两个相似三角形除了对应角相等、对应边成比例 这一性质之外，还有其他性质吗？ 复习回顾 一、全等三角形的对应边、对应角有什么关系? 二、什么是相似三角形？ 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A′B′C′， CD和C′D′分别是它们的立柱. 【活动一】探究相似三角形对应高的比. 探一探 (1)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. (3)据此，你可以发现相似三角形的对应高具有怎样的性质？ 【结论】相似三角形对应高的比等于相似比. (2)如果CD =1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高？ 【活动一】探究相似三角形对应高的比. 探一探 如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，AD平分∠BAC， A′D′平分∠B′A′C′.试探究AD与 A′D′的比. A B C D A′ B′ C′ D′ 【活动二】探究相似三角形对应角平分线的比. 探一探 据此，你可以发现相似三角形的对应角平分线具有怎样的性质？ 【结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比. A B C D A' B' C' D' 探一探 【活动二】探究相似三角形对应角平分线的比. 如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AE、A′E′分别为BC、B′C′上的中线.试探究AE与 A′E′的比. 【活动三】探究相似三角形对应中线的比. 探一探 据此，你可以发现相似三角形的对应中线具有怎样的性质？ 【结论】相似三角形对应中线的比等于相似比. 【活动三】探究相似三角形对应中线的比. 探一探 相似三角形性质定理： 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比. ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ F F′ 定理总结 议一议       ∵ ∠B = ∠B′, ∴△ABD∽△A′B′D′.   议一议     ∵ ∠B = ∠B′, ∴△ABE∽△A′B′E′,     议一议       议一议 【发现】相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比. 例题学习 随堂练习     随堂练习 2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm,求这两个三角 形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm, 那么较长的中线有多长？ A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ A B C D E 解：如图，△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是对应角平分线，AD = 2cm, A′D′= 5cm, AE和A′E′是对应中线 ，AE = 3cm .     1. △ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知 AD = 8cm, A′D′= 3cm, 求△ABC与△A′B′C′对应高的比. 习题4.11 A B C D F F′ A′ B′ C′ D′ 解：如图，在△ABC和△A′B′C′ 中，AF和A′F′是对应高 .     习题4.11 2. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm.他准备 了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸 筒多远的地方? A B C D O E   F 15 20 5 习题4.11 3.如图，在△ABC中，AB = 5，D,E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE =∠B,  DE = 2，求AD ∙ BC的值.   ∵AB = 5， DE = 2， ∴AD ∙ BC = 5 × 2 = 10. 4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 E,且 ∠CAB = ∠CBD. 已知 AB = 4, AC = 6, BC = 5，BD = 5.5,求 DE 的长. 习题4.11 解：在△ABC和△BEC中， ∵∠BAC =∠CBD ， ∴∠ACB = ∠BCE , ∴ △ABC ∽ △BEC.   ∵ AB = 4, AC = 6, BC = 5，     同学们：经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？请说说看. 相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比 都等于相似比. 课堂小结 (1)证明:∵四边形PQRS是正方形, ∴ RS∥BC, ∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C, ∴ △ASR∽△ABC. A B C S R E P D Q 拓展练习 已知：△ABC中有正方形SPQR,顶点S在边AB上，顶点R在边AC上， 边PQ在BC上.AD⊥BC，垂足为D，AD = 40. (1)求证：△ASR∽△ABC.(2)求正方形SPQR的边长. (2)解： ∵ △ASR∽△ABC. 设正方形PQRS的边长为xcm, 则AE =(40-x)cm, 解得,x = 24. 所以正方形PQRS的边长为24cm. 作 业 教材120页第11题 再 见 $$