江苏省苏州市2024-2025学年上学期八年级数学寒假巩固卷

苏州市2024-2025学年第一学期八年级数学寒假巩固卷 一．选择题（共8小题） 1．下列计算正确的是（　　） A．； B．； C．； D． 2．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A． B．2，3，4 C．7，24，25 D．9，37，38 4．估计的值是在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 第2题第5题第6题 5．如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝40°，则∠CBD的度数为（　　） A．9° B．10° C．20° D．30° 6．如图，在△AEB和△AFC中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，EB交AC于点M，AB交FC于点N．下列结论：①∠1＝∠2；②△ACN≌△ABM；③MA＝MB．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．已知一次函数y＝kx﹣k+b，函数值y随自变量x的增大而增大，且k＜﹣b，则该函数的大致图象可以是（　　） A．B．C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第8题第9题 二．填空题（共8小题） 9．如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为　 　cm． 10．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有　 　（填序号） ①对于函数y＝ax+b来说，y的值随x值的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③3（a﹣c）＝d﹣b；④a+b＜c+d． 第10题第11题第12题 11．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD．若△ABC的周长为13，AE＝2，则△ABD的周长为 　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（a，7）、（5，b），则点C（6﹣a，b﹣10）在此坐标系中的第 　 　象限． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．则CD的长为 　 　． 第13题第14题第15题 14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°．M、N分别是对角线BD，AC的中点．若AC＝6，BD＝8．则MN的长为 　 　． 15．如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD、BC．若OA＝1，OD＝2，则四边形ABCD面积的最大值为 　 　． 16．若点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2），C（0，﹣4）在一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，且y1﹣y2＝5，则k•b的值为 　 　． 三．解答题（共12小题） 17．计算：（1）； （2）． 18．计算求下列各式中的x：（1）9x2﹣4＝0； （2）（x+1）3＝﹣27． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，1），B（﹣3，2），C（﹣2，4）． （1）在图中先将△ABC向右平移4个单位，再向下平移5个单位，最后作出平移后的三角形关于y轴对称的△A1B1C1； （2）经过上述平移变换和轴对称变换后，△ABC内部的任意一点P（a，b）在△A1B1C1内部的对应点P1的坐标为 　 　； （3）△ABC的面积为 　 　； （4）若Q为y轴上任意一点，连接AQ、CQ，则△ACQ周长的最小值时，点Q坐标为 　 　． 20．如图，身高1.5m的小孩站在与点灯杆相距7.5m处（点灯杆与地面垂直），已知小孩在路灯下影长为2.5m，建立适当的平面直角坐标系，用一次函数知识求电灯泡与地面的距离． 21．某容器有一根进水管和两根出水管，进水管的进水速度恒定的．从某时刻开始计时，前5分钟内只打开进水管，在第5分钟时，又打开出水管，第13分钟时关掉两根水管．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示． （1）当0≤x≤5时，求y关于x的关系式； （2）求出水管的出水速度． 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）用直尺和圆规作AB边上垂直平分线DE，交BC、AB于点D，E．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若AC＝3，BC＝4． ①求DE的长． ②连接AD，判断∠CAD和∠BAD的大小，并解释你的观点． 23．如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD，垂足为C，BC＝CD，点E在BC上，AC＝EC，连接AB，DE． （1）求证：△ABC≌△EDC； （2）写出AB与DE的位置关系，并说明理由． 24．如图，在数轴上点A，表示的数是﹣2．点P是数轴上一动点，若它表示的数是x，与A之间的距离为y． （1）填写下表，画出y和x的函数图象； x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … （2）x是y的函数吗？　 　（填“是”或“不是”）； （3）观察图象： ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若y＞，则对应的x的取值范围是 　 　． （4）若点P与点A之间的距离是点P与原点之间距离的k倍（k＞0，k为常数）．则对于每个确定的k的值，在数轴上都存在对应的点P，例如：当k＝2时，x＝﹣或2，请你探索并直接写出x与﹣2的大小关系及对应的k的取值范围． 25．学习完一次函数内容后，小明同学想探究函数C：y＝的图象情况．他通过列表得到如下几组数据： x …… ﹣2 ﹣1 0 2 4 …… y …… a 3 1 ﹣3 b …… （1）表格中a＝　 　，b＝　 　． （2）结合表格，请在平面直角坐标系中画出函数C的图象，并写出该函数的最小值． （3）若一次函数y＝﹣x+m与函数C的图象有2个交点，请求出m的取值范围． 26．如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，M、N分别是AB、CD的中点． （1）求证：MN⊥CD； （2）若AB＝50，CD＝48，求MN的长． 27．甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地同时出发相向而行，甲到B地后立即返回，乙到A地后停止行驶，下图是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象． （1）请直接写出甲离出发地A的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出函数图象交点M的坐标并指出该点坐标的实际意义； （3）求甲、乙两车从各自出发地驶出后经过多长时间相遇． 28．如图，直线l1：y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点C（1，0），与y轴交于点D（0，2），直线l1，l2交于点E． （1）求直线l2的函数表达式； （2）试说明CD＝CE． （3）若P为直线l1上一点，当∠POB＝∠BDE时，求点P的坐标． 【点评】本题考查一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 8．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°， ∵P为边BC的中点，∴AP＝BP＝CP，∠BAP＝∠CAP＝45°，AP⊥BC， ∴∠EAP＝∠C，又∵∠EPA+∠APF＝90°，∠FPC+∠APF＝90°，∴∠EPA＝∠FPC， 在△EPA和△FPC中∴△EPA≌△FPC（ASA）， ∴AE＝CF，EP＝FP，所以①正确；∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正确； ∵四边形AEPF的面积等于△APC的面积，∴2S四边形AEPF＝S△ABC，所以③正确； 又∵EF＝，而只有F点为AC的中点时，AP＝，即点F为AC的中点时有EF＝AP，所以④不一定正确．所以当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有①②③，共3个．故选：C． 【点评】本题考查了三角形全等的证明、直角等腰三角形的性质、以及三角形的中位线定理．解决本题的关键是利用直角三角形的性质，说明△EPA≌△FPC． 第8题第9题 二．填空题（共8小题） 9．【解答】解：作PC⊥OB于C，则此时PC最小， ∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，PC⊥OB， ∴PD＝PC＝3，∠AOP＝30°，∴OP＝2PD＝6， ∵PD⊥OA，M是OP的中点，∴DM＝OP＝3，故答案为：3． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 10．【解答】解：①由图象可得：对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确； ②由图象可得：a＜0，d＜0， ∴函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ③∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3， ∴3a+b＝3c+d，∴3a﹣3c＝d﹣b，即3（a﹣c）＝d﹣b，故③正确； ④当x＝1时，y1＝a+b，y2＝c+d，由图象可知y1＞y2，∴a+b＞c+d，故④错误； 综上①②③都正确，故答案为：①②③． 【点评】考查一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 11．【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，AE＝2，∴AC＝2AE＝4，AD＝CD， ∵△ABC的周长为13，∴AB+BC+AC＝13，∴AB+BC＝13﹣AC＝13﹣4＝9， ∴△ABD的周长＝AB+（AD+BD）＝AB+BC＝9．故答案为：9． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 12．【解答】解：∵A、B两点坐标分别为（a，7）、（5，b），∴a＜5，b＜7，∴6﹣a＞0，b﹣10＜0， ∴点C（6﹣a，b﹣10）在此坐标系中的第四象限，故答案为：四． 【点评】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， 由勾股定理得，AB＝＝5， （2）原式＝2×﹣（2﹣）+9﹣3＝1﹣2++9﹣3＝5+． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 18．【解答】解：（1）x2＝，x＝ x＝﹣； （2）x+1＝﹣3，x＝﹣4。 【点评】本题考查立方根与平方根的定义，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型． 19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形； （2）将点P（a，b）向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到点的坐标为（a+4，b﹣5），则点（a+4，b﹣5）关于y轴的对称点为：（﹣a﹣4，b﹣5）；故答案为：（﹣a﹣4，b﹣5）； （3）△ABC的面积为＝，故答案为：2.5； （4）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点Q，连接AQ，如图所示： 根据对称性可知，A′的坐标为（1，1），AQ＝A′Q，∴AQ+AC+CQ＝A′Q+CQ+AC， ∵两点之间线段最短，∴此时△ACQ的周长最小，设直线A′C的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 把A′（1，1），C（﹣2，4）代入得：，解得：，∴直线A′C的解析式为 y＝﹣x+2，把x＝0代入得：y＝2，∴点Q的坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）． 【点评】本题主要考查了平移、轴对称变换，轴对称的性质，求一次函数解析，三角形的面积的计算，解题的关键是作出对应的位置，熟记轴对称的性质． 20．【解答】解：如图，以OD所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，点为O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A（﹣7.5，1.5），D（﹣10，0）． 设直线DC的函数表达式为y＝kx+b，得，解得． 所以函数表达式y＝0.6x+6．当x＝0时，y＝6．答：电灯泡与地面距离6m． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 21．【解答】解：（1）设y＝kx（0≤x≤5），由图可知点（5，20）在该段函数图象上， ∴20＝5k，∴k＝4，∴当0≤x≤5时，y关于x的关系式为y＝4x； （2）根据图象可得，进水速度为＝4（L/min）， 同时打开一根进水管和一根出水管的速度为：＝（L/min）， 则出水速度为4﹣＝（L/min）． 【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用，根据题意，能正确分析函数图象是解题关键． 22．【解答】解：（1）如图： DE为所作； （2）①∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5， 设CD为x，则BD为4﹣x．在Rt△ACD中，32+x2＝（4﹣x）2， 解得，∴，∴，∴； ②∠CAD＜∠BAD， 理由：解法1：∵∠C＝∠AED＝90°，∴点A，E，D，C在以AD为直径的圆上， ∵DE＞CD，∴∠CAD＜∠BAD． 解法2：作∠CAB的平分线交BC于F，过F作FG⊥AB于G， ∵∠C＝90°，∴CF＝FG，∵AD＝AD，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL）， ∴AG＝AC＝3，∴BG＝AB﹣AG＝2，设CF＝FG＝y， 在Rt△BGF中，BF2＝FG2+BG2，即（4﹣y）2＝y2+22，解得：y＝1.5， ∵CD＝，∴CD＜CF，∴∠CAD＜∠CAF＝∠BAF＜∠BAD． 【点评】本题考查了基本作图，掌握勾股定理是解题的关键． 23．【解答】（1）证明：∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠ECD＝90°， 综上，当0＜k＜1，x≠﹣2；当k≥1时，x＞﹣2． 【点评】本题主要考查函数的图象、函数的概念、一次函数的图象与性质，学会利用数形结合思想问题解决问题是解题关键． 25．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝|2×（﹣2）﹣4|﹣3＝8﹣3＝5，∴a＝5． 当x＝4时，y＝×4﹣4＝2﹣4＝﹣2，∴b＝﹣2．故，表格中a＝5，b＝﹣2． （2）函数C的图象如图所示， 由图象可知，该函数的最小值是﹣3． （3）在平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x﹣1、y＝﹣x+m（m＞﹣1）与函数C的图象，如图所示， 由图象可知，当m＞﹣1时，一次函数y＝﹣x+m与函数C的图象有2个交点． 【点评】本题考查新定义函数的性质探究，根据表格画出函数图象是解题的关键． 26．【解答】解：（1）如图所示，连接MC，MD， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M是AB的中点．∴Rt△ABC中，CM＝AB， Rt△ABD中，DM＝AB，∴MC＝MD，又∵N是CD的中点，∴MN⊥CD． （2）∵AB＝50，∴MD＝×50＝25，∵CD＝48，∴ND＝×48＝24， 又∵MN⊥CD，∴Rt△MND中，MN＝＝＝7． 【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质以及等腰三角形的性质的运用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 27．【解答】解：（1）∵甲到B地后立即返回，乙到A地后停止行驶， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$