检测6随机变量及其分布单元检测（能力卷）-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册）（人教A版2019专用）

检测6随机变量及其分布单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·山东济南·专题练习）农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·江苏·单元测试）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·湖北·期中）甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有（   ）    A．若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点 B．经过4次移动后仍在点的概率为 C．若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点有5条不同笔迹 D．经过3次移动后，到达点的条件下经过点C的概率为 10．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量，若，，则（    ） A． B． C．若，则 D．函数在上单调递减 11．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题正确的是（   ） A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B．设随机变量，若，则的最大值为 C．对于随机事件A，B，若，，，则与相互独立 D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 13．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：①；②；③;④．其中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号） 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2025高三·全国·专题练习）高科技产品适老化发展是一项重要的工作，它能使老年人在信息化发展中的获得感、幸福感和安全感稳步提升．某老年活动中心有一款新科技产品闪光球，用来开展老年健康益智活动．现将3个闪光黑球和2个闪光白球装入不透明的盒子中，第一次从盒子中任取一个球，若取出的是闪光黑球，则系统自动放入一个闪光白球替代；若取出的是闪光白球，则系统自动放入一个闪光黑球替代，可重复操作． (1)求某人第2次取出的球为闪光黑球的概率； (2)若该老年活动中心的闪光球来自甲、乙两个厂家，其中甲厂家占，乙厂家占，且甲厂产品为一等品的概率为，其余为合格品，乙厂产品为一等品的概率为，其余为合格品．现随机抽取4个闪光球，设抽到的闪光球是一等品的件数为X，求X的分布列和数学期望． 16. (15分) （24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 17. (15分) （2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 18. (17分) （24-25高三上·河北邢台·阶段练习）某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． (1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； (2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 19. (17分) （24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测6随机变量及其分布单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·山东济南·专题练习）农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 5．（24-25高二上·辽宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·江苏·单元测试）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁·期末）某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·湖北·期中）甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有（   ）    A．若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点 B．经过4次移动后仍在点的概率为 C．若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点有5条不同笔迹 D．经过3次移动后，到达点的条件下经过点C的概率为 10．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量，若，，则（    ） A． B． C．若，则 D．函数在上单调递减 11．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题正确的是（   ） A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B．设随机变量，若，则的最大值为 C．对于随机事件A，B，若，，，则与相互独立 D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津河西·期末）甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是 ；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是 . 13．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：①；②；③;④．其中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号） 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2025高三·全国·专题练习）高科技产品适老化发展是一项重要的工作，它能使老年人在信息化发展中的获得感、幸福感和安全感稳步提升．某老年活动中心有一款新科技产品闪光球，用来开展老年健康益智活动．现将3个闪光黑球和2个闪光白球装入不透明的盒子中，第一次从盒子中任取一个球，若取出的是闪光黑球，则系统自动放入一个闪光白球替代；若取出的是闪光白球，则系统自动放入一个闪光黑球替代，可重复操作． (1)求某人第2次取出的球为闪光黑球的概率； (2)若该老年活动中心的闪光球来自甲、乙两个厂家，其中甲厂家占，乙厂家占，且甲厂产品为一等品的概率为，其余为合格品，乙厂产品为一等品的概率为，其余为合格品．现随机抽取4个闪光球，设抽到的闪光球是一等品的件数为X，求X的分布列和数学期望． 16. (15分) （24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 17. (15分) （2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 18. (17分) （24-25高三上·河北邢台·阶段练习）某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． (1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； (2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 19. (17分) （24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 《6》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B C A A A BCD AC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 2．D 【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 3．C 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为，则， 所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 4．B 【分析】分别计算小郅同学盈利和亏损的概率，再根据均值公式求解. 【详解】由题意可知：小郅同学要想盈利，必须在所有矿石含有稀有元素的条件下，探测器还能检测出来， 所以小郅同学盈利的概率，且盈利额为元， 小郅同学亏损的概率，且亏损额为元， 所以利润的均值元. 故选：B 5．C 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 6．A 【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为． 设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件， 所以甲获得冠军的概率为， 比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为, 故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为． 故选：A 7．A 【分析】运用概率分布列的性质求出，再求即可. 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以.   故选：A. 8．A 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 9．BCD 【分析】对于A.沿等路线即可判断； 对于B.分若存在重复路线和若不存在重复路线讨论，结合组合数公式计算判断； 对于C.运用列举法：分先第一次移动到和第一次移动到讨论计算共有5条路径； 对于D.先考虑重复路线：前两条路线重复：可能第一次移动到达共3条路径，后两条路径重复（即第一次移动到）同理有3条路径，其中重复，故共只有5条路径；再考虑不重复路径：只有1条路径，结合条件概率计算即可. 【详解】对于选项A，沿等路线即可，故A错误； 对于选项B，若存在重复路线，两次移动回到点可以第一次移动到达点，，C，第三次移动再从这些移动方式中选，共有9种走法，另外可以先移动两次再原路返回，第一次移动可能到达点，，C，每个点在第二次移动时都有两种移动方式，故有6种方式； 若不存在重复路线，经过点C由四条棱组成的闭合回路只有和两种，每条路都有两种经过方式，共有4种方式； 所以概率为，故B正确； 对于选项C，列举法：，，，，，故共有5条不同笔迹，故C正确； 对于选项D，先考虑重复路线： 前两条路线重复，第一次移动到达点，，C共３条路径；后两条路径重复（即第一次移动到点）同理有３条路径，其中重复，故共只有5条路径； 再考虑不重复路径：只有，1条路径， ∴三次移动后到达点A有6条路径.记事件：从点出发，三次移动后到达点；事件C：从点出发，三次移动时经过点C， 故，，故，故D确. 故选：BCD. 10．AC 【分析】利用正态分布的对称性可判断A；利用公式，可判断BC；根据正态曲线可判断D. 【详解】由随机变量，知，. 选项A：，得，所以A正确. 选项B：，所以B错误. 选项C：由，得， 所以，所以C正确. 选项D：因为随机变量，结合正态曲线， 易得函数在上单调递增，所以D错误. 故选：AC 11．BC 【分析】根据百分位数定义判断A；由二项分布数学期望、方差计算公式判断B；由条件概率公式和独立事件的定义判断C；由分层抽样样本方差的计算公式判断D. 【详解】对于A，由于，则数据的第50百分位数为，故A错误； 对于B，随机变量，由，解得， 所以方差， 即方差在单调递增，故，故B正确； 对于C，若,根据条件概率公式则有, 则,故与相互独立，故C正确； 对于D，分层抽样的平均数，， 按分层抽样样本方差的计算公式， ,故D错误. 故选：BC. 12． 【分析】根据题意可知应用古典概型及独立事件的概率乘积公式，利用全概率公式即可求解. 【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B， 若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件 则，. ； 设“从甲袋中取出的一个球为白球”， “从甲袋中取出的一个球为黑球”， “从乙袋中取出的一个球为白球”， 根据全概率公式则有 . 故答案为：；. 13． 【分析】根据条件，可知的可能取值为，进而求出相应的概率，从而得到，，即可求出结果. 【详解】依题意可知，的可能取值为， 则，，，， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 14．①②④ 【分析】应用超几何分布求出数学期望,再结合方差性质求解变形随机变量的方差. 【详解】由题意可知X服从超几何分布，也服从超几何分布， ． 又X的分布列为 X 0 1 2 P ， ． 的分布列为 1 2 3 P ， ． ， ∴①②④正确. 故答案为：①②④. 15．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式进行求解； （2）先求出随机抽取一个闪光球是一等品的概率，从而得到，求出相应的分布列及数学期望. 【详解】（1）记第i次取出的球是闪光黑球为事件，， 则， 根据全概率公式得 ， 所以第2次取出的球为闪光黑球的概率为； （2）记随机抽取一个闪光球是一等品为事件A， 则， 所以，则， ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ， （或） 16．(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可. （2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可. （3）法一：利用条件概率求解即可；法二：根据事件的含义利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意； 第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意； 所以需要下第四场比赛的概率为 （2）由题意，最终小金获胜的情况如下， 当小金第一场轮空， 第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时， 第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 则小金获胜， 当小金第一场不轮空， 第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时， 所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为， 同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为， 故小金获胜概率为 （3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则， 结合（2）知， 法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为， 第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为， 18．(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）通过互斥事件的概率加法公式可求得答案； （2）的所有可能取值为15，25，35，45，进而通过独立事件与互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望. 【详解】（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率． 若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率． 故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率． （2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则． 由题可知，，， ，， 则，，，． 的分布列为 15 25 35 45 ． 19．(1) (2) (3) 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $$