第4章立体几何单元练习-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一上册

第4章 立体几何 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知斜线段的长是它在平面内射影长的倍，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，已知正方体，下列符号语言表达正确的是（    ）    A．点直线 B．点直线 C．点平面 D．点平面 3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 4．若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定 5．下列命题中，正确的是（    ） A．两条直线可以确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．相交于一点的三条直线一定共面 D．两条平行线一定共面 6．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系为（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．一定相交 D．平行或者相交 7．下列说法正确的是（　　） A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是50m，宽是20m C．平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念 D．10个平面比1个平面厚 8．下列图形中，满足，，，，的图形是（    ） A． B． C． D． 9．经过直线外一点作直线平行于，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．3条 C．无数条 D．2条以上 10．若直线l与平面相交，则（    ） A．平面内存在直线与异面 B．平面内存在唯一一条直线与平行 C．平面内存在唯一一条直线与垂直 D．平面内的直线与都相交 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，且，则 （填数学符号） 12．如图，在长方体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为 ．    13．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 14．已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且，，则直线a与b的位置关系是 . 15．三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是 个． 三、解答题（共3小题，每小题15分，共45分） 16．已知正方体，如图所示，求与平面所成角的度数． 17．如图所示，在棱长为2的正方体中，中平面把正方体分成两部分. (1)直线与平面所成的角的度数； (2)平面与底面所成的角的正切值. 18．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 立体几何 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知斜线段的长是它在平面内射影长的倍，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先找出斜线在平面内的射影，再找到线面角即可求解余弦值. 【详解】如图，   为斜线段，为平面的垂线段， 所以为斜线的平面内的射影， 所以为斜线与平面所成的角， 因为斜线段的长是它在平面内射影长的倍， 所以设, 所以在直角中， ， 所以与平面所成角的余弦值为. 故选:D. 2．如图，已知正方体，下列符号语言表达正确的是（    ）    A．点直线 B．点直线 C．点平面 D．点平面 【答案】A 【分析】由点，线，面的符号表示即可得解. 【详解】由点与直线和平面的位置关系可知. 点直线，故选项正确，选项错误. 点平面，故选项错误. 点平面，故选项错误. 故选：. 3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】ABD选项，可以举出反例，C选项，可以利用面面垂直的性质进行证明 【详解】A选项，若，，，则或异面，A错误； B选项，如图， 满足，，，而，故B错误； C选项，因为，设，， 所以，因为，所以， 因为，，所以，则， C正确； D选项，如图， 满足，，而，D错误. 故选：C 4．若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理即可求解. 【详解】由面面平行的性质可知，如果两个平面平行， 那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. 故选：B. 5．下列命题中，正确的是（    ） A．两条直线可以确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．相交于一点的三条直线一定共面 D．两条平行线一定共面 【答案】D 【分析】当两直线为异面直线时，不能确定一个平面，故A错误；空间四边形不是平面图形，故B错误；长方体同一顶点出发的三条棱不共面，故C错误；由公理3的推论可知，D正确. 【详解】对A选项，当两直线为异面直线时，不能确定一个平面，故A错误； 对B选项，空间四边形不是平面图形，故B错误； 对C选项，例如长方体同一顶点出发的三条棱不共面，故C错误； 对D选项，由公理3的推论可知，D正确. 故选：D 6．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系为（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．一定相交 D．平行或者相交 【答案】D 【分析】由面面位置关系即可判定结果. 【详解】若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系平行或者相交， 故选：D 7．下列说法正确的是（　　） A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是50m，宽是20m C．平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念 D．10个平面比1个平面厚 【答案】C 【分析】根据平面的定义即可求解. 【详解】对于A：因为桌面不是无限延伸的，故A错误； 对于B：平面是无厚度的，故B错误； 对于C：平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的，故C正确； 对于D：平面是无厚度的，故D错误． 故选：C． 8．下列图形中，满足，，，，的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据选项对图形表达的意思逐一分析，得到答案. 【详解】可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断. 对A不满足，故错误, 对B不满足，故错误, 对C满足条件，正确. 对D不满足，，故错误. 故选：C 【点睛】本题考查对图形的认识，考查线在面内，线线平行的图形画法，属于基础题. 9．经过直线外一点作直线平行于，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．3条 C．无数条 D．2条以上 【答案】A 【分析】根据平行公理即可求得. 【详解】根据平行公理可知经过直线外一点能有且只有一条直线平行于. 故选：A. 10．若直线l与平面相交，则（    ） A．平面内存在直线与异面 B．平面内存在唯一一条直线与平行 C．平面内存在唯一一条直线与垂直 D．平面内的直线与都相交 【答案】A 【分析】根据直线与平面位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，直线与平面相交时，直线与平面内不过交点的直线均为异面直线，故A正确； 对于B，平面内的直线与可能相交，可能异面，不可能平行，故B错误； 对于C，平面有无数条直线与直线垂直，故C错误； 对于D，平面内的直线与可能相交，也可能异面，故D错误. 故选：A. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，且，则 （填数学符号） 【答案】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】由且，即. 故答案为： 12．如图，在长方体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为 ．    【答案】5 【分析】由两条平行直线、两条相交直线确定一个平面逐一分析长方体的棱得答案. 【详解】在长方体的所有棱中， 即与共面，又与共面的棱有： 、、、、共5条. 故答案为：5. 13．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 14．已知a，b为两条不同的直线，α为一个平面，且，，则直线a与b的位置关系是 . 【答案】平行或异面 【分析】通过画图得到两直线的位置关系. 【详解】如图1，此时直线a与b平行，如图2，此时直线a与b异面.    故答案为：平行或异面 15．三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是 个． 【答案】 【分析】根据平面的基本性质，即可得到a、b、c三条直线能确定唯一的平面，即可得到答案. 【详解】由直线，可得直线可以唯一确定一个平面，设该平面为， 设，可得， 因为，所以，所以a、b、c三条直线能确定的平面的个数是个. 故答案为：. 三、解答题（共3小题，每小题15分，共45分） 16．已知正方体，如图所示，求与平面所成角的度数． 【答案】 【分析】先根据正方体得出平面，然后得出直线和平面所成角即，再在三角形中求所成角的度数． 【详解】由正方体的性质可知，，且， 平面，平面，平面，所以与平面所成角即． 在中，，，即与平面所成角的度数为． 17．如图所示，在棱长为2的正方体中，中平面把正方体分成两部分. (1)直线与平面所成的角的度数； (2)平面与底面所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面平行的定义可得平面，即可求解. （2）根据二面角的定义可知是平面与底面所成的角，在直角三角形中，，即可求得平面与底面所成的角的正切值. 【详解】（1）如图：连接，在正方体中， 因为，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角的度数为. （2）如图：连接交于点O，连接， 因为在正方体中，， 所以三角形是等边三角形， 又O为的中点，所以， 又，所以， 所以是平面与底面所成的角， 因为平面，平面，所以， 在直角三角形中，， 所以. 18．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）根据线线平行证明线面平行即可； 【详解】（1）因为 ，所以 ； 又在直三棱柱 中，有 ， 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以； （2） 设 与 交于点 ，连接 ， 易知 是 的中点，又 是 的中点， 所以 ． 因为 平面，平面， 所以 平面． 学科网（北京）股份有限公司 $$