第4章立体几何2单元练习-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一上册

第4章 立体几何2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择（共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必 4．下列命题中，正确的是（    ） A．两条直线可以确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．相交于一点的三条直线一定共面 D．两条平行线一定共面 5．在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．不重合的两个平面可以把空间分成（    ）部分 A．2 B．3或4 C．4 D．2或3或4 7．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 8．若直线与平面平行，则（    ） A．直线与平面内无数多条直线平行 B．只与平面内一条直线平行 C．与平面内所有直线都异面 D．直线与平面内所有直线平行 9．下列说法：①二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系；②当二面角的平面角为直角时，称为直二面角；③两个相交平面形成四个二面角．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线不相交 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 12．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 13．两条相交直线确定 个平面. 14．已知一条直线与平面所成的角为，则的取值范围为 ． 15．在长方体中，，则对角线与底面所成的角的大小是 . 三、解答题（共3小题，每小题15分，共45分） 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，求异面直线与所成角的余弦值.    17．如图所示，在棱长为2的正方体中，中平面把正方体分成两部分. (1)直线与平面所成的角的度数； (2)平面与底面所成的角的正切值. 18．如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 立体几何2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择（共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本性质判断即可. 【详解】过空间中两条平行（或相交）的直线有且只有一个平面，A错； 过空间不在同一直线上的三点有且只有一个平面，B错； 若两平面平行时，这两个平面没有公共直线，C错， 过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面，D正确. 故选:D. 2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】ABD均可举出反例， 由线面垂直的性质可得得到C正确. 【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误； 对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2， 满足，，但相交，B错误； 对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确； 对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面， 如图3，满足，，但相交，故D错误. 故选：C. 3．“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必 【答案】C 【分析】由线面平行的定义分析可得答案. 【详解】直线l与平面没有公共点，则直线l与平面平行，反之，也成立， 故“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的充要条件. 故选：C 4．下列命题中，正确的是（    ） A．两条直线可以确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．相交于一点的三条直线一定共面 D．两条平行线一定共面 【答案】D 【分析】当两直线为异面直线时，不能确定一个平面，故A错误；空间四边形不是平面图形，故B错误；长方体同一顶点出发的三条棱不共面，故C错误；由公理3的推论可知，D正确. 【详解】对A选项，当两直线为异面直线时，不能确定一个平面，故A错误； 对B选项，空间四边形不是平面图形，故B错误； 对C选项，例如长方体同一顶点出发的三条棱不共面，故C错误； 对D选项，由公理3的推论可知，D正确. 故选：D 5．在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方体性质确定线面角且求，进而求出长度. 【详解】根据长方体性质知面，故为直线与平面所成的角的平面角， 所以，则，可得，如下图示， 所以在中，符合题设. 故选：B 6．不重合的两个平面可以把空间分成（    ）部分 A．2 B．3或4 C．4 D．2或3或4 【答案】B 【分析】分两个平面平行和相交两种情况进行分析，得出答案. 【详解】当两个平面相互平行时，把空间分成3部分. 当两个平面相交时，把空间分成4部分. 所以不重合的两个平面可以把空间分成3或4部分 故选：B 【点睛】本题考查空间平面把空间分成几部分的问题，属于基础题. 7．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解. 【详解】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即， 由于为等边三角形，故，进而, 又, 由余弦定理可得, 由于,所以即为直线与所成角或其补角， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：B    8．若直线与平面平行，则（    ） A．直线与平面内无数多条直线平行 B．只与平面内一条直线平行 C．与平面内所有直线都异面 D．直线与平面内所有直线平行 【答案】A 【分析】根据线面平行的性质逐一进行判断即可 【详解】对于AB，若直线与平面平行，则平面内存在无数条平行的直线与之平行，故A选项正确，B选项错误； 对于C，若直线与平面平行，则平面内有与之平行的直线，也有与之异面的直线，故C选项错误； 对于D，若直线与平面平行，则平面内有与之异面的直线，故D选项错误. 故选：A. 9．下列说法：①二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系；②当二面角的平面角为直角时，称为直二面角；③两个相交平面形成四个二面角．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二面角的定义分析即可. 【详解】二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，①错误， 当二面角的平面角为直角时，称为直二面角，②正确， 两个相交平面形成四个二面角，③正确， 所以正确的个数为:2. 故选:C. 10．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线不相交 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行的判定定理可知. 【详解】直线与平面平行即直线与平面没有公共点， 所以直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的任意一条直线都不相交． 故选：C. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】当两点在平面的异侧时，利用中点的性质即可求解到平面的距离． 【详解】当两点在平面的异侧时，如图， 所以点到平面的距离为1； 故答案为：1． 12．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 【答案】既不充分也不必要 【分析】以正方体为例，举例说明，结合充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】以正方体为例，举例说明即可. 如图，在正方体中，，但是异面，即不相交； ，但是、不垂直. 故答案为：既不充分也不必要. 13．两条相交直线确定 个平面. 【答案】 【分析】根据确定平面的依据，即可求解. 【详解】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面. 故答案为：. 14．已知一条直线与平面所成的角为，则的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】根据直线与平面所成角的范围直接得结果. 【详解】由直线与平面的所成的角的范围可知，， 故答案为：． 15．在长方体中，，则对角线与底面所成的角的大小是 . 【答案】 【分析】根据长方体的几何特征找出线面角，再根据锐角三角函数中正切的定义求线面角的正切值，然后求出线面角的大小即可. 【详解】 如图：连接、，因为在长方体中，平面， 又平面，所以，则在底面的投影为， 所以是与底面所成的角， 在直角三角形中，， 所以，又， 所以. 故答案为：. 三、解答题（共3小题，每小题15分，共45分） 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，求异面直线与所成角的余弦值.    【答案】 【分析】将异面直线与转化为相交直线，再由余弦定理求解余弦值即可. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 则是的中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，则有， 又，则是异面直线与所成的角或其补角， 因为，，则有， 设，则， ， 平面，平面，所以， ，， ,,， 故， 则异面直线与所成角的余弦值为.    17．如图所示，在棱长为2的正方体中，中平面把正方体分成两部分. (1)直线与平面所成的角的度数； (2)平面与底面所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面平行的定义可得平面，即可求解. （2）根据二面角的定义可知是平面与底面所成的角，在直角三角形中，，即可求得平面与底面所成的角的正切值. 【详解】（1）如图：连接，在正方体中， 因为，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角的度数为. （2）如图：连接交于点O，连接， 因为在正方体中，， 所以三角形是等边三角形， 又O为的中点，所以， 又，所以， 所以是平面与底面所成的角， 因为平面，平面，所以， 在直角三角形中，， 所以. 18．如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量、数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果． （2）利用平面的法向量的求法列方程组解得平的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据点面距离与所求向量夹角之间的关系得结果． 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为为的中点，所以， 从而， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 同理可得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$