6.3.5平面向量数量积的坐标表示（第2课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示（第2课时） 1．下面给出的关系式中，正确的个数是(　　) ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2. A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B. C．2 D.或2 3．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，t)，若向量b在向量a上的投影向量为－a，则a·b＝(　　) A．2 B．－ C．－2 D. 4．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则cos〈a－b，a〉＝(　　) A. B. C. D. 5．已知向量＝(2，1)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．2 B．3 C．7 D．8 6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为线段BC的中点，F为线段CD上靠近C的四等分点，则·的值为(　　) A．4 B．8 C. D．5 7．【多选题】已知平面向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则(　　) A．|a|＝ B．(2a－b)⊥b C．a在b上的投影向量的模为 D．a与b的夹角为钝角 8．已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________． 9．平面向量a，b中，已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则a与b的夹角为________，向量b的坐标为________． 10．求与向量a＝(，－1)和b＝(1，)夹角相等且模为的向量c的坐标． 11．已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当||取最小值时，实数t＝(　　) A. B. C. D．1 12．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B．以b，c为邻边的平行四边形的面积 C．以a，b为两边的三角形的面积 D．以b，c为两边的三角形的面积 13．设a，b均为单位向量，则“a与b的夹角为”是“|a＋b|＝”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设两个向量a，b满足a＝(2，0)，b＝. (1)求a＋b方向上的单位向量； (2)若向量2ta＋7b与向量a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 15.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1. (1)当点M满足什么条件时，·＝？ (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求·的取值范围． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.5平面向量数量积的坐标表示（第2课时） 1．下面给出的关系式中，正确的个数是(　　) ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2. A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　易知①②③正确，∵|a·b|≥a·b，∴④错误，∵(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos2θ，∴⑤错误．故选C. 2．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B. C．2 D.或2 答案　C 解析　|a－b|＝＝＝＝＝＝2.故选C. 3．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，t)，若向量b在向量a上的投影向量为－a，则a·b＝(　　) A．2 B．－ C．－2 D. 答案　C 解析　因为向量b在向量a上的投影向量为a，依题意，＝－，即＝－，解得t＝1，则b＝(1，1)，于是a·b＝－2. 4．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则cos〈a－b，a〉＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为a＝(x，1)，b＝(1，－2)，又a⊥b，所以x－2＝0，得到x＝2， 所以a＝(2，1)，得到a－b＝(1，3)，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝. 5．已知向量＝(2，1)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．2 B．3 C．7 D．8 答案　C 解析　∵＝－＝(1，t－1)，||＝1，∴12＋(t－1)2＝1，解得t＝1，∴＝(3，1)，即·＝2×3＋1×1＝7.故选C. 6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为线段BC的中点，F为线段CD上靠近C的四等分点，则·的值为(　　) A．4 B．8 C. D．5 答案　B 解析　依题意，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则A(0，0)，E(2，1)， F，＝(2，1)，＝，所以·＝2×＋1×2＝8. 7．【多选题】已知平面向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，则(　　) A．|a|＝ B．(2a－b)⊥b C．a在b上的投影向量的模为 D．a与b的夹角为钝角 答案　AC 解析　由题意可得|a|＝＝，故A正确；因为2a－b＝(2，6)－(－2，1)＝(4，5)，所以(2a－b)·b＝(4，5)·(－2，1)＝－8＋5＝－3≠0，故B错误；a在b上的投影向量的模为＝＝＝，故C正确； a与b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉＝＝＝＝>0，所以夹角不是钝角，故D错误． 8．已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________． 答案　(－3，2) 解析　设点B的坐标为(x，y)， 因为⊥，||＝||，所以解得或(舍去)．故点B的坐标为(－3，2)． 9．平面向量a，b中，已知a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则a与b的夹角为________，向量b的坐标为________． 答案　0　 解析　因为a＝(4，－3)，所以|a|＝＝5，又|b|＝1，且a·b＝5，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝5cos θ＝5，解得cos θ＝1，又θ∈[0，π]，所以θ＝0，即a与b的夹角为0，所以a与b共线同向，又|b|＝1，所以b为a方向上的单位向量，即b＝＝(4，－3)＝. 10．求与向量a＝(，－1)和b＝(1，)夹角相等且模为的向量c的坐标． 解析　设c＝(x，y)，则解得或 故c＝或c＝. 11．已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当||取最小值时，实数t＝(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　由＝t得＝＋t(－)，则＝(1，0)＋t[(0，2)－(1，0)]＝(1－t，2t)，∴||＝＝＝，则当t＝时，||有最小值．故选A. 12．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B．以b，c为邻边的平行四边形的面积 C．以a，b为两边的三角形的面积 D．以b，c为两边的三角形的面积 答案　A 解析　设b，c的夹角为θ，a，b的夹角为φ.由题知a⊥c，∴|cos θ|＝|sin φ|，又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c||cos θ|＝|b||a||sin φ|.故选A. 13．设a，b均为单位向量，则“a与b的夹角为”是“|a＋b|＝”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由题可得，|a|＝|b|＝1.若a，b的夹角为，则|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×1×＋1＝3，即|a＋b|＝； 若|a＋b|＝，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝3，即a·b＝，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝＝，所以θ＝. 所以“a与b的夹角为”是“|a＋b|＝”的充要条件．故选C. 14．设两个向量a，b满足a＝(2，0)，b＝. (1)求a＋b方向上的单位向量； (2)若向量2ta＋7b与向量a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 解析　(1)∵a＋b＝(2，0)＋＝， ∴|a＋b|＝＝＝， ∴a＋b方向上的单位向量为＝. (2)由已知得a·b＝1，|a|＝2，|b|＝1， 则(2ta＋7b)·(a＋tb)＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7. 由于两向量的夹角为钝角，故(2ta＋7b)·(a＋tb)<0且向量2ta＋7b不与向量a＋tb反向共线，设2ta＋7b＝k(a＋tb)(k<0)， 则解得t＝－，从而 解得－7<t<－，且t≠－，即实数t的取值范围为∪. 15.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1. (1)当点M满足什么条件时，·＝？ (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求·的取值范围． 解析　(1)建系如图，则B(1，0)，C，D(1，)，E(0，)，F， 因为＝，设M(x，y)，所以＝(x－1，y)， 又因为·＝， 所以－(x－1)＋y＝，可得y＝x， 又因为A(0，0)，D(1，)，连接AD， 所以直线AD为y＝x， 所以M为直线AD上的任意一点． (2)设H(a，b)，因为点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则－≤a≤， 则·＝(a，b)·(1，0)＝a∈. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$