6.3.5平面向量数量积的坐标表示（第1课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示（第1课时） 1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(　　) A．－　　　　　 B. C．2 D．6 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．3 B．0 C．－3 D．－11 3．已知点A(1，－1)，B(－2，3)，则与向量方向相同的单位向量为(　　) A. B. C. D. 4.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a，b的夹角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 5．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则实数t＝________，·＝________． 6．已知向量a＝(x，2)，b＝(－1，1)，若|a－b|＝|a＋b|，则x的值为________． 7．若|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________. 8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)． (1)若a与b的夹角是钝角，则λ∈________． (2)若a与b夹角是锐角，则λ∈________． 9．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－1)． (1)求|a－2b|； (2)求与a垂直的单位向量； (3)求与b平行的单位向量． 10．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，ka－b与a＋b的夹角为120°？ 11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 12．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 13．已知a＝(4，2)，b为单位向量． (1)若b∥a，则b＝________． (2)若b⊥a，则b＝________． 14．设平面向量a＝(1，2)，若a∥b，且|b|＝5，则|4a－b|＝________． 15．已知在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　) A．6 B．9 C．12 D．－6 16．已知向量a＝(1，m)，b＝(2，n)． (1)若m＝3，n＝－1，且a⊥(a＋λb)，求实数λ的值； (2)若|a＋b|＝5，求a·b的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.5平面向量数量积的坐标表示（第1课时） 1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(　　) A．－　　　　　 B. C．2 D．6 答案　D 解析　a·b＝3×2＋m×(－1)＝6－m＝0，∴m＝6. 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．3 B．0 C．－3 D．－11 答案　C 解析　∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)， ∴(a＋2b)·c＝(1－6，－2＋8)·(3，2)＝－15＋12＝－3.故应选C. 3．已知点A(1，－1)，B(－2，3)，则与向量方向相同的单位向量为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意得＝(－3，4)． 设与向量方向相同的单位向量为a，则a＝λ＝λ(－3，4)＝(－3λ，4λ)，其中λ>0，所以|a|＝＝1，解得λ＝或λ＝－(舍去)， 所以与向量方向相同的单位向量为a＝.故选A. 4.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a，b的夹角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 答案　A 解析　将向量b平移，建立如图所示的平面直角坐标系．设每个小正方形的边长为1， 则a＝(3，1)，b＝(1，2)． 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.故选A. 5．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则实数t＝________，·＝________． 答案　3　2 解析　由＝(2，3)，＝(3，t)可知＝－＝(1，t－3)． ∵||＝1，∴＝1，解得t＝3. ∴·＝(2，3)·(1，0)＝2＋0＝2. 6．已知向量a＝(x，2)，b＝(－1，1)，若|a－b|＝|a＋b|，则x的值为________． 答案　2 解析　∵|a－b|＝|a＋b|， ∴(a－b)2＝(a＋b)2， 即a2－2a·b＋b2＝a2＋2a·b＋b2， ∴a·b＝0，又a·b＝－x＋2， ∴－x＋2＝0，x＝2. 7．若|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________. 答案　 解析　∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1. 于是|a＋b|＝＝＝＝. 8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)． (1)若a与b的夹角是钝角，则λ∈________． (2)若a与b夹角是锐角，则λ∈________． 答案　(1)　(2)∪ 解析　a·b＝(λ，2)·(－3，5)＝－3λ＋10. (1)∵a，b的夹角为钝角， ∴－3λ＋10<0，∴λ>. 又当a与b反向时，λ不存在，∴λ∈. (2)设a，b夹角为θ，由题意得θ为锐角， ∴a·b＝|a|·|b|·cos θ>0. ∴－3λ＋10>0，∴λ<. 又当λ＝－时，θ＝0°不合题意． ∴λ的范围为∪. 9．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－1)． (1)求|a－2b|； (2)求与a垂直的单位向量； (3)求与b平行的单位向量． 解析　(1)方法一：因为a＝(1，2)，b＝(3，－1)，所以a－2b＝(－5，4)， 于是|a－2b|＝＝. 方法二：因为a＝(1，2)，b＝(3，－1)， 所以|a|＝，|b|＝，a·b＝1. 于是|a－2b|＝＝＝＝. (2)因为a＝(1，2)，所以|a|＝. 因此与a垂直的单位向量的坐标是±(2，－1)，即或. (3)因为b＝(3，－1)，所以|b|＝，因此与b平行的单位向量的坐标是±b，即或. 10．已知a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，ka－b与a＋b的夹角为120°？ 解析　∵ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，a＋b＝(1，－1)， ∴|ka－b|＝，|a＋b|＝＝， (ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2. 而ka－b与a＋b的夹角为120°， ∴cos 120°＝，即－＝. 化简，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±. 11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　设c＝(x，y), a与c的夹角为θ.a＋b＝(－1，－2)，且|a|＝，|c|＝. ∵(a＋b)·c＝，∴(－1，－2)·(x，y)＝. ∴－x－2y＝，∴x＋2y＝－. ∴cos θ＝＝＝－. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.故选C. 12．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵四边形OABC是平行四边形， ∴＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)， ∴a＝6，∵＝(4，2)，＝(2，6)， 设向量与的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. 13．已知a＝(4，2)，b为单位向量． (1)若b∥a，则b＝________． (2)若b⊥a，则b＝________． 答案　(1)或 (2)或 解析　(1)b＝±＝±＝±. (2)方法一：设b＝(x，y)，则(4，2)·(x，y)＝0. 即4x＋2y＝0，又x2＋y2＝1. 解得或 ∴b＝或. 方法二：b＝±·(2，－4)＝±(2，－4)＝±. 14．设平面向量a＝(1，2)，若a∥b，且|b|＝5，则|4a－b|＝________． 答案　或9 解析　向量a＝(1，2)，由a∥b可设b＝λa(λ∈R)，则b＝(λ，2λ)，由|b|＝5可知＝5，因此λ＝±5. 当λ＝5时，b＝(5，10)，此时4a－b＝(－1，－2)，则|4a－b|＝； 当λ＝－5时，b＝(－5，－10)，此时4a－b＝(9，18)，则|4a－b|＝9. 15．已知在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　) A．6 B．9 C．12 D．－6 答案　A 解析　方法一：因为＝，所以－＝(－)，可得＝＋，所以·＝·＝·＋2＝×3×3×cos 60°＋×32＝6.故选A. 方法二：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直BC的直线为y轴建立平面直角坐标系．则C(3，0)，A，由＝，得D(1，0)，所以＝，＝，所以·＝－×＋＝6.故选A. 16．已知向量a＝(1，m)，b＝(2，n)． (1)若m＝3，n＝－1，且a⊥(a＋λb)，求实数λ的值； (2)若|a＋b|＝5，求a·b的最大值． 解析　(1)当m＝3，n＝－1时，a＝(1，3)，b＝(2，－1)， 所以a＋λb＝(1，3)＋λ(2，－1)＝(1＋2λ，3－λ)． 若a⊥(a＋λb)，则a·(a＋λb)＝0，即(1＋2λ)＋3(3－λ)＝0，解得λ＝10. (2)因为a＝(1，m)，b＝(2，n)， 所以a＋b＝(3，m＋n)． 因为|a＋b|＝5，所以32＋(m＋n)2＝52，则(m＋n)2＝16， 所以a·b＝1×2＋mn≤2＋(m＋n)2＝2＋×16＝6，当且仅当m＝n＝±2时，等号成立． 故当m＝n＝2或m＝n＝－2时，a·b的最大值为6. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$