6.3.1平面向量基本定理（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.3.1平面向量基本定理 1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 答案　B 解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A、C、D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B. 2．如图，向量a－b等于(　　) A．－4e1－2e2　　 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2　 D．3e1－e2 答案　C 3．如图，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 答案　A 解析　＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)． 4．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　) A.b＋c　　　　 B.c－b C.b－c D.b＋c 答案　A 解析　由＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c.故选A. 5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝－ D.＝－＋ 答案　D 解析　依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D. 6.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a＋b 答案　D 解析　＝＝－a－b. ＝a＋b，∴＝＋＝a＋b. 7．已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 答案　3 解析　因为{a，b}是一个基底， 所以a与b不共线，由平面向量基本定理得所以所以x－y＝3. 8．a，b是不共线向量，＝a＋xb，＝ya＋b(x，y∈R)，则A，B，C三点共线的条件是________． 答案　xy＝1 解析　若A，B，C三点共线，则＝λ，λ∈R，∴a＋xb＝λ(ya＋b)，∴(1－λy)a＋(x－λ)b＝0. 又a，b不共线，∴得xy＝1. 9.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________． 答案　 解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b， 又∵＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 10．设e1，e2是不共线的向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 解析　(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得所以λ不存在． 故a与b不共线，{a，b}可以作为一个基底． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 11．已知向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则实数x，y满足的关系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　A 解析　由＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2. 12．在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，e1＝，e2＝.若＝xe1＋ye2，则x＋y的值为(　　) A．2 B．4 C．5 D．7 答案　D 解析　∵在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，∴根据勾股定理可得AD＝4. ∵e1＝，e2＝，∴＝3e1，＝＝4e2， ∴＝＋＝3e1＋4e2，∴x＝3，y＝4，所以x＋y＝7.故选D. 13.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°.且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 答案　6 解析　以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上． ∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°， ∴在Rt△COF中，||＝2，∠OCF＝30°. ∴CF＝＝＝4，∴OF＝2. 又||＝||＝1，∴＝4，＝2. ∴＝＋＝4＋2，由平面向量基本定理，可得λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6. 14．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________． 答案　3 解析　∵·＝0，∴⊥. 不妨设||＝2，过C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，则四边形ODCE是矩形，＝＋＝＋. ∵||＝2，∠COD＝30°，∴||＝1，||＝.又∵||＝，||＝1，故＝，＝.∴＝＋，此时m＝，n＝.∴＝＝3. 15．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角形中，＝，则下列关系中正确的是(　　) A.－＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝ 答案　A 解析　－＝－＝＝，故A正确；＋＝＋＝＝，故B错误；－＝－＝＝，故C错误；＋＝＋，＝＝－，若＋＝，则＝0，不合题意，故D错误．故选A. 16.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 答案　2 解析　在△ABC中，连接AO，由于O是BC的中点，因此＝(＋)＝＋. 由于＝m，＝n，则＝m＋n. 由于M，O，N三点共线，则m＋n＝1，从而m＋n＝2. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1平面向量基本定理 1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 2．如图，向量a－b等于(　　) A．－4e1－2e2　　 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2　 D．3e1－e2 3．如图，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 4．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　) A.b＋c　　　　 B.c－b C.b－c D.b＋c 5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝－ D.＝－＋ 6.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a＋b 7．已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 8．a，b是不共线向量，＝a＋xb，＝ya＋b(x，y∈R)，则A，B，C三点共线的条件是________． 9.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________． 10．设e1，e2是不共线的向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 11．已知向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则实数x，y满足的关系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 12．在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，e1＝，e2＝.若＝xe1＋ye2，则x＋y的值为(　　) A．2 B．4 C．5 D．7 13.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°.且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________． 14．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________． 15．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角形中，＝，则下列关系中正确的是(　　) A.－＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝ 16.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$