难点突破专题(一) 根的判别式及根与系数的关系的综合运用～21.3 第1课时 传播问题-【名师学案】2024-2025学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

21.2.3因式分解法 知识储备 乘积0降次 A基础练 1.x=2,x4=-72.D3.(1)①.x(x+3)②.x=0x+3=0③0-3A(2) ①解：x(x-3)=0,x=0或x-3=0,∴x1=0,x=3②解：(x十1)2=0，x=x:= -1.③解：(x-3十5)(x-3-5)=0,∴.x+2=0或x-8=0,∴.x1=-2,x2=8. 4.未考虑x-2=0x=25.A6.(1)①直接开平方②配方③公式④因式分 解（2)0解：-1)=号-1=±号=2=-分@解a=1,6 =-2c=-1…6-4uc=(-2》-4X1X(-1D）=8..x=2生8-2生2E-1士 2 2 √反，∴.x1=1十√2，x=1-2.③解：原方程变形，得x(x-7)十8(x-7)=0,.(x -7)(x+8)=0,.x-7=0或x+8=0.∴x1=7,x2=-8.7.B8.3√59.-1或 1.510.(1)解：(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0,(5x+2)(x+2)=0,∴.x1=-0.4,x =-2.(2)解：2(x-3)°-(x+3)(x-3)=0,(x-3)(2x-6-x-3)=0,(x-3)(x -9)=0,∴.x1=3,x:=9. 微专题二用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【例】(2)00解：(x-5)(x-1)=0..x1=5,x=1. 【针对练习1.C2.0,士6，士15 回归教材专题（一）一元二次方程的解法 1.(1)解：(x-3)=49,x-3=±7.∴.x1=10,x:=-4.(2)解：△=b-4ac=(-2) -4x2x(-1）-12x-2生厘5-15-1 2 2 2 。(3)解： (2x+1+2yr=0.(2r+3)=0.,==-是(4)解：-6x+9=100.(- 3)=10000,x-3=士100.x=103,x,=-97.2.1)解：4x2=9,x=9. T.s 3 万.三-2.(2)整理，得x2十4x=1x2+4x十4=3，即(x+2)=3.“文+2 ±5..x1=-2+5,x,=-2-√5.(3)解：3(x+2)-(x+2)(x-2)=0,(x十2) (3x+6-x+2)=0,x1=-2,x=-4.3.(1)-4(x-5)(x+1)5-1(2)① 解：(x+2)(x十3)=0，∴.x=-2,x:=-3.②解：(x-9)(x十8)=0..x1=9,x= -8.4.解：设2y-1=a,则原方程可变形为a-a-2=0.解得：a1=2,au=一1.当 a1=2时，2y-1=2,解得y=1.5:当a:=-1时，2y-1=一1，解得y=0..y=0,y2 =1.5. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识储备 -b+-4ac-b--Aac b c 2a 2a aa A基础练 1.A2.(1)3(2)-23.(1)解：原方程变形为x2-2x-5=0,x1十x=2,x1x= -5.(2)解：原方程变形为3x-2=0x十=0=-子 4.(1)A(2) 一235.解：由题意可知x1十x=5,x1x2=-2.(1)xi+x:”=(x1十x)-2xx= 5-2x(-2)=28.22+产-马2=-吾.6.c1m>7 8.解：设另 一个根是x,由根与系数的关系，得一2十x1=一2，一2·x=m,解得x2=0,m=0. 答：另-个根是0，m的值是0.9,310.A山.-3012.1)号一之(2)-号 2 （3)解：由题意，得m,m是一元二次方程2x-3一1=0的两，m十n=号mm =-合：m-m)r=a+m)-m=(号》-4X(-2）-只a-m=士平 2 ↓=”=m=士. m n mn 微专题三一元二次方程的根及根与系数的关系的应用 【列】53b+51010101036 【针对练习】1.B2.B3.-4 难点突破专题（一）根的判别式及根与系数的关系的综合运用 【例】解：(1)：x2-4x-2m十5=0有两个实数根，.△=b-4ac≥0.∴.(-4)2-4×1 -168 X(-2m+5)≥0.∴m>号：(2)”是该方程的两个根，十x,=4,。= 2m十5.“十十n=m2+6-2m+5+4=m+6.∴m=-3或1.：m≥分， ,∴.m=1 【针对练习】1.解：(1)，△=[-(2k+1)]-4×1×(k一1)=4k+4k十1一4k+4= 4k+5,“方程总有两个不相等的实数根，∴4k十5>0，解得>一年(2)由根与系数 的关系得出x1+x2=2k+1,x1x2=k-1,,x1-x2=-2k+1,∴.(x1-x)2=4k 4k十1..(x1十x2)2-4.x1x=4k-4k+1.∴.(2k+1)-4(k2-1)=4k-4k+1.解得 k=1-万或1+厄.“>-子k的值是1-万或1+反.2.1证明：4=[- (2m+1)]-4(m2+m)=4m2+4m+1一4m2一4m=1>0,∴.无论m取何值时，方程 都有两个不相等的实数根：(2)解：该方程的两个实数根为a,b,.a十b=2m十1，ab =m+m,:(2a+b)(a+2b)=2a°+4ab+ab+2b=2(a2+2ab+b)+ab=2(a+b) +ab,∴.2(a十b)+ab=20,∴.2(2m十1)2+m”+m=20.整理得：m2+m-2=0.解得： m=-2,m:=1.∴m的值为-2或1.3（1m>号 解：(2)设x1,x是方程的两 根，根据盟意得十=>0，=一2m十5>0，解得m<号.m的花围为子< 5 m<乞，·m为整数m=1或m=2.当m=1时，方程两根分别为1,3，都是整数： 当m=2时，方程两根分别为2+√，2一5，都不是整数.∴.整数m的值为1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题 A基础练 1.(1)11110121(2)(1十x)=1442.(1)C(2)103.解：(1)设每轮传染中 平均一个人传染了x个人，由题意，得(x十1)2=64.解得x1=7,x=一9（不符合题 意，舍).答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)600一(64十64×7)=88（个）. 答：第三轮后还有88个人未被传染.4.(1)B(2)75.C6.解：设这个两位数十 位上的数为x,则个位上的数为x+3.由题意，得10x十x+3=(x+3),解得x1=2, x2=3.当x=2时，x+3=5:当x=3时，x十3=6.∴.这个两位数是25或36.7.5 8.39.解：设这个最小数为x,则最大数为(x十8)，依题意，得x(x十8)=65，整理得： x2十8x一65=0，解得x1=5,x:=一13（不合题意，舍去）.答：这个最小数为5.10 (1)(x十1)(x一3)解：(2)由题意，得100(x十1)十10(x一3)+x=20x(x+1)十 25,整理，得20x2-91x-45=0,解得.x=5(负值已舍去)，则x十1=6，x-3=2,∴.该 三位数是625. 1.1015(2y=子(x-）128(3)解：设该班共有n名 女学生，由题意，得2u(n-1)=190.解得1=20，=-19（舍去）.答：该班共有20 名女生 第2课时平均变化率问题与销售问题 知识储备 2.总成本总销量 A基础练 1.60(1-x)60(1-x)260(1-x)=48.62.B3.(1)160解：(2)设十一，十二 这两个月销售额月平均增长率是x,由题意，得160(1+x)=193.6,解得x1=0.1,x =一2.1（不符合题意，舍去）.答：这两个月销售额的月平均增长率是10%.4.D 5.(1)①(20一x)20x(100+20.x)②(20-x)(100+20x)=2880(2)解：设售 价涨价x元时，每天的利润为140元，根据题意，得：(9+x一5)(32-4x)=140,解得： x=3,x:=1.答：该纪念品的售价涨价3元或1元时，每天的利润为140元.6.B 7.解：(1)设投资“改水工程”的年平均增长率为x,根据题意，得600十600(1十x)十 600(1十x)2=2184,解得x1=0.2=20%,x=一3.2（舍去）.答：投资“改水工程”的 年平均增长率是20%.(2)根据题意，得600(1+20%)=1036.8（万元）.答：2024年 要再投资“改水工程”1036.8万元.8.(1)y=10x+100解：(2)由题意，得(60一x -40)(10x+100)=2090,整理，得x-10x+9=0,解得x1=1,x:=9.,要让顾客得 到更大的实惠，∴x=9.答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9 元.9.解：(1)设每件小商品的售价是x元，由题意，得(x一40)[20+2(60一x)]= (60一40)×20.解得x1=50,x2=60(舍去).答：每件小商品的售价是50元：(2)设该小 商品需打a折，由题意，得62.5×号<50.解得ua<8,答：该小商品至少打8折销售。 169-难点突破专题(一) 根的判别式及根与系数的关系的综合运用 解题技巧 2.(2023·湖北联考)已知关于x的一元二次方 2022版课标要求中新增“了解根与系数的关 程x?-(2n+1)x+n+m-0. 系,”根的判别式及根与系数的关系的综合应用是部 (1)求证:无论取何值时,方程都有两个不 分地区中考命题的热点,赏以选择题或解答题的形式 呈现,解题时一定要注意隐含条件b*一4ac二0.在利 相等的实数根; 用根与系数的关系求得待定系数的值后,须代入^} (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十b) 4ac中验证. (a十2b)一20,求n的值. 【例】(2024·湖北模拟)已知关于x的一元二次 方程x-4x-2n+5-0有两个实数根 (1)求实数n的取值范围; (2)若x,x。是该方程的两个根,且满足xx。十 x.+x。-n{}十6,求n的值. 3.(2024·黄冈模拟)已知关于x的一元二次方 【针对练习】 程-4x-2n+5-0有两个不相等的实数根 1.(2024·南充模拟)已知关于x的一元二次方 (1)则的取值范围是 : 程x-(2+1)x+-1-0. (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数, (1)若方程总有两个不相等的实数根,求的 求整数n的值 取值范围; (2)若该方程的两个实数根x1,x,满足x一 x=-2十1,求的值. 请完成重难专练(二) 助学勤敏 优质高数 16 21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题 4知识储备4 3.【教材P19“探究1”变式】某学校在校师生及 1.传播问题列方程的依据: 工作人员共600个人,其中一个学生患了某 传染源十第一轮被传染的数量十第二轮被传染 种传染病,经过两轮传染后共有64个人患了 的数量一两轮传染后的总数量, 该病. 2.数字问题列方程的依据: (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人 两位数三十位数字×10十个位数字 (2)如果不及时控制,第三轮传染后学校还有 A基础练 多少个人未被传染 必备知识梳理 知识点一 传播问题 1.(1)(答题模板)阅读教材P19探究1,完成下 列填空: 秋冬季节为流感的高发期,有1人患了流感, 第一轮传染了10个人,则第一轮传染后共有 __人患了流感,第二轮传染时平均每人 也传染10人,则第二轮传染了 人,第 知识点二 球赛问题 二轮传染后共有 人患了流感. 4.(教材P22习题T6改编) 一题多变 (2)【针对练习】有一个人患了流行性感冒,经 (1)【双循环比赛】一次足球比赛采取双循环 过两轮传染后共有144人患了流行性感冒, 比赛(即每两队之间都进行两场比赛)形式 设每轮传染中平均一个人传染了x人,可列 若共比赛72场,设有x支球队参加比赛,下 方程为 列方程符合题意的是 _~ 2.(1)【教材P22习题T4变式】某树主干长出 A.x(x+1)-72 B.x(x-1)-72 若干数目的支干,每个支干又长出同样数目 的小分支,主干、支干和小分支总数是31.若 设主干长出x个支于,则可列方程为 ) (2)【单循环比赛】为增强学生身体素质,某校 A.(x十1)②-31 B.x+2x+1-31 开展篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之 C.xc2+x+1-31 D.x(x+1)-31 间赛一场).现计划安排21场比赛,则应安排 (2)【T2(1)变式】中秋节当天,小明将收到的 支球队参赛 一条短信发送给若于人,每个收到短信的人 知识点三 数字问题 又给相同数量的人(不重复)转发了这条短 5.两个连续奇数之积是63,则这两个数为( ~ A.7,9 信,此时包括小明在内收到这条短信的人共 B.-7,-9 C.7,9或-7,-9 有111人,则小明给 人发了短信 D.都不是 17 九年数学·上册 6.一个两位数等于它个位上的数的平方,且个 (1)该三位数的百位数字为 ,十位数 字为 位上的数比十位上的数大3,求这个两位数 ;(用含x的代数式表示) (2)求该三位数 C素养练 B综合练 关键能力提升一 11.【新课标·传统文化】春节期间,九(1)班全 7.某航空公司有若于个飞机场,每两个飞机场 体同学通过打电话的方式互相拜年,如果该 之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航 班共有48名同学,若每两名同学之间仅通 线,则这个航空公司一共有飞机场 个. 过一次电话,那么全班同学共通过多少次电 8.(2024·沈阳模拟)某校团体操表演队伍有6 话呢?我们可以用下面的方式来解决问题; 行8列,后又增加了51人,使得团体操表演 用点A,A,A,..,A。分别表示第1名同 队伍增加的行、列数相同,则增加了 行. 学、第2名同学、第3名同学......第48名同 9.(2024·山西模拟)在2024年8月的日历上 学,把该班级人数x与通电话次数y之间的 用一个方框圈出4个数(如图所示),若圈出 关系用如图模型表示 的四个数中,最小数与最大数的乘积为65. ###44 求这个最小数(请用方程知识解答) 2024年 1月 -5 r-2 r-3 x-4 -6 日 多 长) y-1; y-3: y-6: 节 (1)填写图中第四个图中y的值为 7 4 。 8 5 10 , 15 16 12 13 14 第五个图中v的值为 18 21 19 20 22 23 24 (2)通过探索发现,通电话次数v与该班级 25 26 28 27 29 30 31 人数x之间的关系式为 当x-48时,对应的y一 (3)若九(1)班全体女生相互之间共通话19( 次,求该班共有多少名女生? 10.一个三位数,百位数字比个位数字大1,十位 数字比个位数字小3.已知这个三位数比百 位数字和个位数字的积的20倍大25,求这 个三位数,设这个三位数的个位数字为x. 助学助数 优质高致 18