第05讲等比数列的前n项和公式（3大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第05讲 等比数列的前n项和公式 目录 题型归纳 1 题型01 求等比数列前n项和 2 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 4 题型03 等比数列片段和性质及应用 6 题型04 等比数列前n项和的其他性质 8 题型05 前n项和与通项关系 10 题型06 等比数列的简单应用 12 题型07 数列的求和 14 分层练习 16 夯实基础 16 能力提升 26 知识点01等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 知识点02等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 知识点03等比数列前n 项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 题型01求等比数列前n项和 【例1】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知正项等比数列的前和为，，则（   ） A．85 B．62 C．32 D．31 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】利用等比数列性质计算可得，可得，代入前和公式计算即可. 【详解】根据题意设等比数列的公比为， 由可得，即； 因此，解得，所以； 可得. 故选：B 【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等比数列中，，，则（    ） A． B． C．5 D．1 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】由等比数列前项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得. 【详解】设公比为，显然，则由题意得，两式相除得， 所以， 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知，则数列前11项之和为 ． 【答案】377 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】由通项公式依次写出11项，求和即可. 【详解】由题意：，， 所以前11项之和为， 故答案为：377 【变式3】（22-23高二上·广东广州·期中）记为等比数列的前项和．若，，则 ． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列的性质得成等比数列，从而得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，， 由等比数列的性质可知：成等比数列， 即成等比数列，所以，解得：， 故答案为：. 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式和性质，即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍.已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？”该女子第一天织布的尺数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】依题意利用等比数列前项和公式计算即可得出. 【详解】根据题意可知该女子每天分别织布的尺数成等比数列，且公比为， 设该女子第一天织布的尺数是， 由等比数列前项和公式可知，解得. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期中）设是数列的前项和，,，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、由定义判定等比数列 【分析】利用对数的运算性质可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用等比数列求和公式可求得的值. 【详解】因为是数列的前项和，，， 所以，，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为， 则，解得. 故选：A. 【变式3】（22-23高二上·湖北·期末）中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第三天走的路程为 里． 【答案】32 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、写出等比数列的通项公式 【分析】先根据题意转化为等比数列问题，利用等比数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】由题意得此人每天走的路程依次可构成公比为的等比数列，且前6项和为252． 设首项为，则有，解得， 所以. 故答案为： 题型03 等比数列片段和性质及应用 【例3】（24-25高二上·河北衡水·期末）正项等比数列的前n项和为，则等于（   ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列定义以及前n项和公式计算可得结果. 【详解】由题意可得，设等比数列的公比为q， 可得． 故选：D． 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 . 【答案】 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可. 【详解】由题意可得成等比数列， 由，，得， 得，所以， 则，所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·广东·期末）等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】28 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由题可知的公比不为，故成等比数列，列式即可求出答案. 【详解】由题可知的公比不为，故成等比数列， 所以，因为，解得， 故答案为：28 题型04 等比数列前n项和的其他性质 【例4】（21-22高二上·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【知识点】等比数列前n项和的其他性质 【分析】根据等比数列前项和的性质进行求解即可. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，即成等比数列， 显然， 故选：B 【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的其他性质、等比数列片段和性质及应用、等比中项的应用 【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 【变式2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，．设t为实数，为该数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，则t的值为  （    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的其他性质、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比和首项，求出，由条件可得数列以首项为1，公比为4的等比数列，求，由即可求出. 【详解】因为等比数列中，，， 所以， 所以，， 所以， 由等比数列，， 所以数列以首项为1，公比为4的等比数列， 所以， 所以，即． 故选：C． 【变式3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的其他性质 【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案. 【详解】法一：因为等比数列的公比为， 则，， 所以，解得. 法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为， 所以，即，解得.. 故选：C 题型05 前n项和与通项关系 【例5】（22-23高二上·河北邯郸·期末）若数列的前n项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】前n项和与通项关系 【分析】根据递推公式和首项可求出结果. 【详解】因为，， 所以，则， ，则. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、前n项和与通项关系 【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解. 【详解】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期末）数列是等比数列，且前项和为，则实数 ． 【答案】 【知识点】前n项和与通项关系 【分析】由作差求出的通项，再由是等比数列，求出. 【详解】因为，当时， 当时，所以， 则， 又数列是等比数列，所以，解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、前n项和与通项关系 【分析】由，分别求出，进而利用等比中项即可求解. 【详解】根据题意，等比数列中，有， 则，， ， 因为是等比数列，则有，即，解可得. 故答案为：. 题型06 等比数列的简单应用 【例6】（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【答案】A 【知识点】等比数列的简单应用 【分析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：， 解得， 则第三天走的路程为里. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第n次着地后经过的路程为， 即，结合选项，检验时，，时，成立， 故选：A 【变式2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）一个小球从54米高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，则小球第2次落地时，经过的路程是 米；小球第次落地时，经过的路程是 米． 【答案】 90 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列的简单应用 【分析】先求出通项公式，再利用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】设小球第1次落地时经过的路程为，小球从第次落地到第n次落地时经过的路程为米， 则， 所以小球第2次落地时，经过的路程是米， 小球第次落地时，经过的路程是 米． 【变式3】（23-24高二上·广东深圳·期末）一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【答案】/ 【知识点】等比数列的简单应用 【分析】由已知条件列算式计算数据. 【详解】依题意可得，第3次着地时，乒乓球经过的总路程为. 故答案为： 题型07 数列的求和 【例7】（23-24高二上·广东湛江·期中）数列的前n项和为，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和 【分析】根据给定的通项公式，利用裂项相法求和即得. 【详解】依题意，， 则， 所以. 故选：D 【变式1】（22-23高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答. 【详解】令数列的前n项和为，因为， 则， 则有 两式相减得：， 因此，有， 所以数列的前100项之和为. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）数列满足，则数列的前10项的和为 ． 【答案】 【知识点】分组（并项）法求和 【分析】根据条件，代入数值，即可求解. 【详解】 . 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·安徽六安·期末）若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【知识点】错位相减法求和 【分析】利用错位相减法求和即可得解. 【详解】因为， 所以， ， ， 得，所以. 故答案为： 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得， 则，化简可得，解得或， 故选：D. 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据裂项相消法求和即可求解. 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D 3．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．1023 B．1124 C．2146 D．2145 【答案】C 【分析】分析奇数项和偶数项的特点，分组求和即可. 【详解】根据递推公式可知：数列的奇数项依次为：，，，…，为等比数列； 数列的偶数项为：，，，…，为等差数列. 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件，可求和的值，再利用等比数列求和公式可得的表达式. 【详解】设等比数列的公比为，则由，所以， 又. 所以． 故选：A 二、多选题 5．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 【答案】AB 【分析】将代入判断A；关系及等比数列定义求通项，并确定前n项和判断B、C；根据分析及等差数列前n项和公式判断D. 【详解】A：令，则，对； B：由，若时，作差可得， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列，则，对； C：由B分析知，，错； D：由上知，，错. 故选：AB 6．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若， B．若，则当时，是等比数列 C．若数列为等差数列，，，则 D．若数列为等差数列，，，则时，最大 【答案】AD 【分析】利用题设条件及等差等比数列性质以及前项和公式，一一验证即可. 【详解】对于A：，， 两式相减得：，所以，故A正确； 对于选项B：当时，，此时， 数列不是等比数列，故选项B错误； 对于选项C：若数列为等差数列，，， ，，，故C错误； 对于选项D：数列为等差数列，，，， ，即数列前8项为正值，从第9项开始为负， 时，最大，故选项D正确； 综上所述：选项AD正确. 故选：AD. 三、填空题 7．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 【答案】1 【分析】根据等比数列的定义，得到数列是公比为等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足，知，否则，与矛盾， 所以数列为等比数列，且公比为， 又由，解得. 故答案为：1. 8．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】160 【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则，解得或（舍去）， 则，解得． 故答案为：160 9．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ． 【答案】1 【分析】由等比数列前项和以及等比数列基本量的计算可先算的公比，从而由即可得解. 【详解】设公比为，由题意， 所以，又， 所以，解得满足题意， 所以. 故答案为：1. 四、解答题 10．（23-24高二上·湖北孝感·期末）递增等比数列中，，. (1)求； (2)若，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的性质得到，，进而求出公比和首项，得到通项公式； （2）得到是等比数列，利用等比数列求和公式求出答案 【详解】（1）在递增等比数列中，， 解得，， 设公比为q，则， 又因为为递增数列，故，所以，， 所以. （2）由题，则且， 所以数列是等比数列， 故. 11．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）由（1）可知，，利用错位相减法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得 解得或（舍） ∴ ； （2），， 此时；          ， ， ， ， 所以. 12．（23-24高二上·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式求出，设的公差为，结合求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，，令得，解得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 化简得， 所以． 13．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由构造得，又，可证数列是等比数列； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则有， ， ， ①-②得 ， ，即. 14．（21-22高二上·山西太原·期末）已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）应用作差法可得，结合已知条件即可证结论. （2）由（1）得，再求通项公式，可得，利用错位相减法求即可. 【详解】（1）由，又， ∴，故，且， ∴是首项、公差均为的等差数列. （2）由（1），，则，又， ∴，则， ∴，， 则， ∴，. 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质计算出的值，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）为等比数列的前n项和，已知，，且公比，若存在常数，使得数列是等比数列，则的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再结合等比数列的定义判断即可. 【详解】因为，又， 所以，又， 所以， ，解得：， 所以， 假设存在常数，使得数列为等比数列， 则，即，解得：， 此时，，即数列是等比数列， 所以存在，使得数列为等比数列. 故选：D 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨取，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】不妨取，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， 所以，， 整理可得，解得. 故选：C. 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案. 【详解】即 . 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 【答案】ABD 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项，再逐项判断即得. 【详解】数列中，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即， 对于A，，A正确； 对于B，，，即成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项成等比数列，则， 整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D，，则， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 6．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，则（    ） A． B．若，则 C． D．若，则当最小时， 【答案】ACD 【分析】根据的关系，作差即可根据等比数列的性质求解公比，即可求解A,计算即可判断B，根据等比求和公式即可求解C，根据的单调性，结合时，即可求解D. 【详解】对于A，由可得，由于数列是等比数列，故公比为2， 由，则，A正确； 对于B，，则B错误； 对于C，，所以，C正确； 对于D，，所以数列单调递增，又当时，；当时，，所以当最小时，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（24-25高二上·重庆·期中）设等比数列的前项和为，，，则 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，① ，② ②①得，整理可得，解得， 故. 故答案为：. 8．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的各项均为正数，满足，，且.若在数列中去掉中的项，余下的项组成数列，记数列的前项和为，则 . 【答案】568 【分析】先构造数列得出是首项为，公比为的等比数列，再求出数列,最后应用分组求和结合等差等比求和公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即， 所以，由得， 所以， 所以 故答案为：568. 9．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为 . 【答案】、 【分析】由题意可知，数列中的奇数项和偶数项分别成等差数列和等比数列，根据为奇数和偶数分别利用求出，结合单调性代值计算可得结果. 【详解】当为奇数时，，所以，数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列， 当为偶数时，，所以，数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， 所以数列中的每一项均为整数，故数列为递增数列， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 因为， ， ， ， 因此，满足的正整数的所有取值集合为. 故答案为：、. 【点睛】关键点点睛：本题的解决关键是，分析得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列与等比数列，从而得解. 四、解答题 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等比中项公式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用对数性质，结合等比数列求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为， 由，得，则． 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以． 解方程组得 所以的通项公式为． （2）由，可得，所以． 故是以为首项，公比为的等比数列， 所以． 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式求解； （2）由（1）求得数列的通项，再综合运用分组求和与错位相减法求得前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意，得，解得， ∴或 （2）∵，由（1）知，，， 令  ① 则      ② 得 即 所以. 12．（22-23高二上·福建漳州·期末）等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解； （2）根据等差数列与等比数列的前项和公式分组求和即可. 【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ，，解得， （2）， . 综上， 13．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解； （2）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 解得， . （2）设等比数列的公比为，又，又，即， 又，解得或（舍去），即， 所以，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， . 14．（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，数列前项的和为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时减1，可证明等比数列. （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，得， 即， 即， 所以数列为等比数列，首项，公比 （2）由（1）得， ① ② ①-②，得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 等比数列的前n项和公式 目录 题型归纳 1 题型01 求等比数列前n项和 2 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 4 题型03 等比数列片段和性质及应用 6 题型04 等比数列前n项和的其他性质 8 题型05 前n项和与通项关系 10 题型06 等比数列的简单应用 12 题型07 数列的求和 14 分层练习 16 夯实基础 16 能力提升 26 知识点01等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 知识点02等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 知识点03等比数列前n 项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 题型01求等比数列前n项和 【例1】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知正项等比数列的前和为，，则（   ） A．85 B．62 C．32 D．31 【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）等比数列中，，，则（    ） A． B． C．5 D．1 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知，则数列前11项之和为 ． 【变式3】（22-23高二上·广东广州·期中）记为等比数列的前项和．若，，则 ． 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍.已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？”该女子第一天织布的尺数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期中）设是数列的前项和，,，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高二上·湖北·期末）中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第三天走的路程为 里． 题型03 等比数列片段和性质及应用 【例3】（24-25高二上·河北衡水·期末）正项等比数列的前n项和为，则等于（   ） A．9 B．72 C．70 D．48 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 . 【变式3】（23-24高二上·广东·期末）等比数列的前项和为，若，则 . 题型04 等比数列前n项和的其他性质 【例4】（21-22高二上·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，．设t为实数，为该数列的前2n项和，为数列的前n项和，且，则t的值为  （    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 题型05 前n项和与通项关系 【例5】（22-23高二上·河北邯郸·期末）若数列的前n项和，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·期末）数列是等比数列，且前项和为，则实数 ． 【变式3】（23-24高二上·广东潮州·期末）设等比数列的前项和为，若，则实数 ． 题型06 等比数列的简单应用 【例6】（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）一个小球从54米高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，则小球第2次落地时，经过的路程是 米；小球第次落地时，经过的路程是 米． 【变式3】（23-24高二上·广东深圳·期末）一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 题型07 数列的求和 【例7】（23-24高二上·广东湛江·期中）数列的前n项和为，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·天津河北·期末）已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）数列满足，则数列的前10项的和为 ． 【变式3】（23-24高二上·安徽六安·期末）若，则数列的前n项和 ． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．1023 B．1124 C．2146 D．2145 4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 6．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若， B．若，则当时，是等比数列 C．若数列为等差数列，，，则 D．若数列为等差数列，，，则时，最大 三、填空题 7．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 8．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则 ． 9．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·湖北孝感·期末）递增等比数列中，，. (1)求； (2)若，求数列的前n项的和. 11．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 12．（23-24高二上·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 13．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 14．（21-22高二上·山西太原·期末）已知数列满足，. (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前n项和. 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）为等比数列的前n项和，已知，，且公比，若存在常数，使得数列是等比数列，则的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 6．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前项和为，公比为，且满足，则（    ） A． B．若，则 C． D．若，则当最小时， 三、填空题 7．（24-25高二上·重庆·期中）设等比数列的前项和为，，，则 8．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的各项均为正数，满足，，且.若在数列中去掉中的项，余下的项组成数列，记数列的前项和为，则 . 9．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为 . 四、解答题 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 12．（22-23高二上·福建漳州·期末）等比数列的公比为2，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 13．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列和等比数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 14．（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，数列前项的和为，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$