6.2.4 向量的数量积 （第1课时）（分层作业)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.4 向量的数量积 第1课时 分层作业 1、 题型研究 题型1： 两向量的数量积 【练习1】若是边长为的正三角形，则（    ） A． B． C． D． 题型2： 两向量的夹角 【练习2】已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 题型3： 投影向量 【练习3】已知，，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型4： 向量的模 【练习4】已知向量，满足，，，则（    ） A．0 B．2 C． D． 2、 基础达标 1.已知向量满足，则（   ） A． B． C．2 D． 2.以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4.已知平面向量，满足，，则（    ） A．5 B． C．3 D． 5.已知单位向量、满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6.已知的每条边长均为2，D，E分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．3 7.已知是单位向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．－2 8.下列说法不正确的是 A．，为不共线向量，若，则 B．若，为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为 C．若∥，∥，则与不一定共线 D． 3、 能力提升 1.已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（    ） A．60° B．120° C．135° D．150° 2.已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3.如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 5.在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作DM的垂线，垂足为H，若，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6.已知单位向量、，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 7.“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.已知，，，，那么向量、的夹角不能是（    ） A． B． C． D． 4、 直击高考 1.（2024·广东深圳·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 2.（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（2024高三·全国·专题练习）在中，若，，，则的取值范围为 ． 4.（2024·四川成都·三模）已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4 向量的数量积 第1课时 分层作业 1、 题型研究 题型1： 两向量的数量积 【练习1】若是边长为的正三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由数量积的定义求解即可 【详解】因为是边长为的正三角形， 所以 故选：B. 题型2： 两向量的夹角 【练习2】已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】先由得到，再根据数量积公式得到，进而结合向量夹角的范围进行求解. 【详解】设向量向量，的夹角为， 由，得， 即， 因为，， 所以，解得， 又因为，所以， 即向量，的夹角的大小为30°． 故选：A． 题型3： 投影向量 【练习3】已知，，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】先求出，，则在方向上的投影向量为，即可求解． 【详解】由，，，，得，， 所以在方向上的投影向量为 . 故选：A. 题型4： 向量的模 【练习4】已知向量，满足，，，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、平面向量数量积的定义及辨析 【解析】根据向量数量积的运算,代入化简即可求解. 【详解】因为向量,满足,, 则 故选:D 【点睛】本题考查了向量数量积的运算,属于基础题. 2、 基础达标 1.已知向量满足，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】利用平方的方法求得，进而求得. 【详解】由两边平方得， 化简得， 所以. 故选：D 2.以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的性质判断各选项即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； 结果是与共线的向量，而的结果是与共线的向量，故D错误. 故选：C 3.已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】先计算，再根据投影向量的定义求得答案. 【详解】由题意可得， ， 故向量在向量方向上的投影向量为 ， 故选：D 4.已知平面向量，满足，，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知模求数量积 【分析】根据题意，化简，代入即可求解. 【详解】由题意，向量，满足，， 可得， 可得，即． 故选：B 5.已知单位向量、满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将等式两边平方，可求得与夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】设与的夹角为，由题意可知， 在等式两边平方得， 可得，解得， ，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的模长关系求平面向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 6.已知的每条边长均为2，D，E分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用三角形中位线定理，结合平面向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为是的中位线， 所以，，．， 又，所以． 故选：C 7.已知是单位向量，若，则（    ） A． B．2 C． D．－2 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据垂直向量数量积为0结合数量积的运算求解即可. 【详解】因为是单位向量，且，所以，所以. 故选：B． 8.下列说法不正确的是 A．，为不共线向量，若，则 B．若，为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为 C．若∥，∥，则与不一定共线 D． 【答案】B 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、平行向量（共线向量） 【分析】对于A，利用向量的加减法法则结合其性质判断，对于B，由平面向量基本定理判断，对于C，由共线向量定理判断，对于D，利用向量数乘的运算法则判断. 【详解】A选项中，，为不共线向量，则两向量均为非零向量，表示以向量，模长为邻边的平行四边形两对角线长度相等，则该平行四边形为矩形，则邻边垂直，正确； B选项，由平面向量的基本定理知，一组非零且不共线的向量可以表示出平面内的任意向量，，为平面内两个不相等向量，若共线仍无法作为一组基底表示，错误； C选项，若，，均为非零向量，则与共线，若为零向量，则与不一定共线，因为零向量与平面内的任意向量共线，正确； D选项，符合向量数乘的运算法则，正确. 故选：B. 3、 能力提升 1.已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（    ） A．60° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据向量在向量上投影向量的定义计算即可得解. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，即，解得， 由知，. 故选：B 2.已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】由数量积运算求得，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角． 【详解】，所以， ，而，所以． 故选：C． 3.如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、零向量与单位向量 【分析】根据单位向量的定义，向量数量积的定义等即可判断各结论的真假． 【详解】对于A，若向量，的方向不同时，，A不一定正确； 对于B，若向量，不共线时，，B不一定正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确． 故选：D． 4.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律 【分析】利用平面向量的线性运算和数量积运算解答. 【详解】因为四边形是边长为2的菱形，， 所以. 所以 故选：A 5.在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作DM的垂线，垂足为H，若，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据题意可得，再利用数量积的定义化简求出. 【详解】在平行四边形ABCD中，, 所以 . 故选：D. 6.已知单位向量、，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【知识点】数量积的运算律 【分析】化简得到，计算得到答案. 【详解】由题意得． 故选：C 7.“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、平行向量（共线向量）、判断命题的必要不充分条件 【分析】 根据平面向量数量积的定义，向量平行的定义以及充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或； 若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行． 综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件． 故选：B． 8.已知，，，，那么向量、的夹角不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算 【分析】设向量、的夹角为，则，根据可得出关于的二次不等式，根据求出的取值范围，结合即可得解. 【详解】设向量、的夹角为，则， 由可得，整理可得， 即，即， 因为，使得成立， 则，解得， 因为，则. 故选：C. 4、 直击高考 1.（2024·广东深圳·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 2.（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式得到，再利用投影的定义，结合数量积的运算法则得到夹角的余弦值关于的表达式，从而得解. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，取等号， 设的夹角为，由题意得， 因为向量非零且不垂直，所以且， 所以， 所以夹角的余弦值的最小值为. 故选：A. 3.（2024高三·全国·专题练习）在中，若，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积 【分析】要求的取值范围，只需要研究动向量在定向量的投影向量的模的最值，然后利用数形结合思想，来找到最值点和，然后利用已知数据就可以计算出结果. 【详解】因为，所以为的外心， 且为外接圆上一动点，又，， 由余弦定理得：， 所以外接圆的半径， 可得，即四边形是菱形，可得， 如图，作，垂足为，则在方向上的投影向量是， 当点在圆上运动时，作，垂足可能不在线段上， 而是在直线上，所以， 所以当与圆相切时，取到最大值和最小值， 即在（直线与圆的另一个交点）处取最大值， 此时， 在（与重合）处取最小值， 此时， 所以的取值范围为． 故答案为：． 4.（2024·四川成都·三模）已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及基本不等式求解即可. 【详解】设， 则，， 由平面向量数量积的运算可得： ， ， 又， 所以，即， 即，当且仅当时取等， 又，即，即， 则 . 故选：D.    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$