6.2.3 向量的数乘运算（分层作业)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.3 向量的数乘运算 分层作业 1、 题型研究 题型1： 向量的数乘运算 有4个式子：①；②；③；④； 其中正确的个数为(　　) A． B． C． D． 题型2： 向量的线性运算 如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型3： 用已知向量表示其他向量 在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型4： 向量共线定理 已知P为所在平面内一点，且满足，，则　　 A． B． C． D． 2、 基础达标 1.中，设，，为中点，则（    ） A． B． C． D． 2.等于（    ） A． B． C． D． 3.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则 A． B． C． D． 4.在△ABC中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5.等于（    ） A． B． C． D． 6.在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（    ） A． B． C． D． 7.下述四个结论中，所有正确结论的编号是（    ） ①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数； ③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 8.已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 3、 能力提升 1.若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 3.化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4.已知D是的边BC上的点，且，则向量（    ）. A． B． C． D． 5.在梯形ABCD中，，，则（    ） A．5 B．6 C．－5 D．－6 6.设为中边上的中点，且为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 7.如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（    ） A． B． C． D． 8.在中，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4、 直击高考 1.（2007·北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　） A． B． C． D． 2.（2023·湖北·一模）在中，，为的中点，则 A． B． C． D． 3.（2022·广东肇庆·一模）设点D，E，F分别是的三边BC，CA，AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 4.（2019·北京西城·三模）如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3 向量的数乘运算 分层作业 1、 题型研究 题型1： 向量的数乘运算 有4个式子：①；②；③；④； 其中正确的个数为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、向量数乘的有关计算、相反向量 【分析】根据向量的数乘运算，可判断①②；根据相反向量可判断③；由向量的数量积可判断④. 【详解】由向量乘以实数仍然为向量，所以，故①正确，②错误； 由，所以，即③正确； 由，得不一定成立，故④错误. 故选C 【点睛】本题主要考查平面向量的数乘、相反向量以及向量的数量积，熟记概念即可，属于常考题型. 题型2： 向量的线性运算 如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，故A正确， 根据向量加法的平行四边形法则可得：，故B正确， 根据向量的减法法则可得：，故C错误， 由图知，，故D正确， 故选：ABD． 【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法、数乘运算在几何图形的应用，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于简单题 题型3： 用已知向量表示其他向量 在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 题型4： 向量共线定理 已知P为所在平面内一点，且满足，，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理 【分析】利用向量的平行四边形法则、向量共线定理即可得出，． 【详解】解：，在BC边的中线上， ，在边BC上， ，， ，， 则． 故选C． 【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2、 基础达标 1.中，设，，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】直接利用平面向量的线性运算法则求． 【详解】， 故选：C． 2.等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算化简即可求解. 【详解】 故选：D. 3.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的混合运算 【解析】利用向量的线性运算可得的表示形式. 【详解】， 故选：A． 【点睛】本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题. 4.在△ABC中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】由向量的加、减法及向共线向量的表示可得结果. 【详解】∵， ∴，则， 又∵， ∴，即：，， ∴. 故选：B. 5.等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】借助向量的线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：B. 6.在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、根据向量关系判断三角形的心 【分析】设的中点为点，则可以推得，故得点为的重心，即可得答案. 【详解】设的中点为点，则有，又，所以，则点在线段上，因为D为BC的中点，所以得点为的重心， 故与面积之比为. 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的运算，三角形重心的性质，属于基础题. 7.下述四个结论中，所有正确结论的编号是（    ） ①零向量没有方向；②向量的线性运算结果可以是实数； ③相等向量的方向相同；④与向量方向相反的向量，叫做的相反向量． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】运用向量有关概念逐项判断即可. 【详解】零向量长度为0，有方向，①错误； ②向量的线性运算结果仍然是向量，②错误； 相等向量的方向相同，模相等，③正确； ④与向量长度相等，方向相反的向量，叫做向量的相反向量，④错误． 故选：C. 8.已知向量，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用向量的线性运算计算即得. 【详解】. 故选：C 3、 能力提升 1.若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】由向量的加法法则即可求解 【详解】因为是的中点，由向量的平行四边形法则可得：， 故选：D 2.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】以为基底表示，从而解出，即可求得. 【详解】，， 两式联立得，，， 所以. 故选：C． 3.化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算、向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 4.已知D是的边BC上的点，且，则向量（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案. 【详解】由题意作图如下：    由，则， . 故选：C. 5.在梯形ABCD中，，，则（    ） A．5 B．6 C．－5 D．－6 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 所以. 故选：B 6.设为中边上的中点，且为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：由题意可知： . 故选：A 7.如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由题意可得，利用表示，根据即可求解. 【详解】在梯形中，，且，则， 因为在线段上，且，则， ， 所以. 故选:D. 8.在中，已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算利用表示可得，解出，再利用即可求解. 【详解】由题意可得， 解得， 所以，即， 所以， 故选：A 4、 直击高考 1.（2007·北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则 【详解】是所在平面内一点，为边中点， ∴，且， ∴，即，故选A. 2.（2023·湖北·一模）在中，，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、用基底表示向量 【解析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解. 【详解】， 故选D 【点睛】本题主要考查向量的三角形法则和平行四边形法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.（2022·广东肇庆·一模）设点D，E，F分别是的三边BC，CA，AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量数乘的有关计算 【分析】利用向量的几何运算求解即可. 【详解】 . 故选：D. 4.（2019·北京西城·三模）如图，设为内一点，且，则与的面积之比为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果. 【详解】如图，作交于点， 则，由题意，，，且， 所以 又，所以，，即， 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$