第05讲 三角形的内切圆（1个知识点+5种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第05讲 三角形的内切圆（1个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．三角形的内切圆与内心 1．（2024•浙江模拟）如图，在中，为内心，为的外接圆上一点，于点，于点．设，，若，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•西湖区校级二模）如图，点为的内心，，，若，则的长为 　　． 【分析】连接、、，令交于，作于，于，设，则，，证明，得出，设，则，，再根据三角形面积公式建立方程求解即可． 【解答】解：如图：连接、、，令交于，作于，于， 点为的内心， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， 解得：， ， 故答案为：3.75． 【点评】本题考查了三角形内心、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解答本题的关键． 3．（2023•宁波自主招生）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形．设，已知直角的直角顶点为坐标原点在第一象限），其内心为点． （1）求直线的函数解析式； （2）若，且为整点三角形，求这样的的个数． 【分析】根据三角形内心的坐标可以得出直线的函数解析式，再根据三角形内切圆的知识求得时整点三角形的个数． 【解答】解：（1）为的内心，， 平分． ， 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， ， 解得． 直线的解析式为． （2）由题可设点为，点为， 则，，， 由，可得， 代入整理即得，设，， 化简可得，共有种． 【点评】本题考查了一次函数、三角形内切圆和三角函数等知识点，解题的关键是利用三角形内心求出的解析式． 题型二、直角三角形周长，面积与内切圆半径的关系 4．（2020·浙江温州·二模）如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、根据矩形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值. 【详解】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC= ∵矩形的周长为， ∴x+y=8① ∵和分别为和的内切圆， ∴② 由矩形的对称性知， ∵， ∴， ∴， 即③ 由①、②、③联立方程组，解得： r=1，xy=14，， 作EH⊥FH于H，由勾股定理得： =36-32+8 =12， ∴EF=， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键. 5．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）图1是义乌某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图2所示，盒子上方是一段圆弧（）．D，E为手提带的固定点，与所在的圆相切，．手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与交于点F，G．若是等腰直角三角形，且点C，F到盒子底部的距离分别为1， （1）的内切圆半径为 ． （2）则所在的圆的半径为 ． 【答案】 / 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、切线的性质定理、利用垂径定理求值、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）先求出，设内切圆半径为R，根据，即可求解； （2）以的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，因为是等腰直角三角形，，得点的坐标为，可得抛物线的表达式为，把当代入抛物线表达式，求得的长，再在中，用勾股定理建立方程，求得所在的圆的半径． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， 又， ∴， ∴， 设内切圆半径为R， ∴． ∴． 故内切圆半径为； （2）如图，以的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设所在的圆的圆心为，半径为，连接交轴于点， 设抛物线的表达式为， 是等腰直角三角形，， 点的坐标为， 代入抛物线的表达式，得，， 抛物线的表达式为， 当时，即，解得， ， ，与所在的圆相切，， ， 解得， 所在的圆的半径为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆的切线的性质，三角形内切圆，待定系数法求抛物线的表达式，垂径定理，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系得出抛物线的表达式． 6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【答案】(1)2 (2)4 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】 （1）根据题意过点作于，于，于，得到点P是内切圆的圆心，根据三角形面积公式即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，进而利用全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】（1） 解：如图，过点作于，于，于，    平分，平分，，，， ，， ， 点P为三角形内切圆的圆心， ， ， ， 即内切圆的半径为2； （2） 解：在上取一点，得，连接． ∵，， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， ， 的周长为4． 【点睛】 本题考查三角形内切圆，直角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型三、三角形内心有关应用 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查三角形的内心及角平分线的性质定理，熟练掌握三角形的内心是解题的关键；设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，然后可列方程组进行求解 【详解】解：设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，如图所示： 于是依题意有： ， 解得，即P为的内心， 故选：A． 8．（2024·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、三角形内切圆的定义和性质，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、，由勾股定理得出，由三角形内切圆的性质得出平分，从而得出在的垂直平分线上，证明出、、在同一直线上，得出，推出，连接、、，设的内切圆的半径长为，根据列式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点为的内切圆的圆心， ∴平分， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， 连接、、，设的内切圆的半径长为， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·浙江嘉兴·三模）已知 内接于，为 的内心，延长交于点，交于点．连结 ， ， ． (1)若 求 的度数； (2)设 四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题． ①求证∶ ②已知 求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【知识点】三角形内心有关应用、圆周角定理、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据三角形内心的性质可得，即可求解； （2）①过点作的垂线，垂足为，根据垂径定理可得，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； ②过点作于点，证明得出，根据得出，则，解方程得出，进而根据三角形的面积公式得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 又∵为 的内心，， ∴ （2）①证明：如图所示，过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； ②解：如图所示，过点作于点， ∵是的内心 ∴， 设 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，则到的距离相等，设到的距离为，设到的距离为， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 由①可得 又． ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内心的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形；熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型四、三角形内切圆与外接圆综合 10．（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、三角形内切圆与外接圆综合、等边三角形的判定和性质 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 11．（23-24九年级下·浙江·自主招生）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，则的内心与外心之间的距离是 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、坐标与图形、三角形内切圆与外接圆综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】 本题根据题意画出图形分析，根据，推出的中点为外接圆圆心，得到的坐标，记为内切圆圆心，连接、、、得到四边形正方形，根据正方形性质和切线长定理，得到，解出，，得到的坐标，利用勾股定理求出的距离，即可解题． 【详解】解： A、B两点的坐标分别为、， ，， ， ， 为外接圆的直径， 取的中点为，即为外接圆圆心， ， 记为内切圆圆心，连接、、、 内切于， ，，，， ， ， 四边形正方形， ， ，， ， ，解得， ， ． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质和判定，切线长定理，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键． 12．（2024·浙江台州·二模）如图1，在中 ，，是的外接圆，连结并延长交于点 D． (1)求证：； (2)如图2，点E是线段上的动点，连结并延长交分别交，于点F，M，连结， ①当点 E与重合时（如图3），求证：； ②在①的条件下，若，求的长度； ③若， 求的最大值，并写出此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③的最大值为，此时 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、根据三线合一证明、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】（1）连接，，证明，得到，根据题意得到，根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）①利用等边对等角及角平分线的性质，证明，列出比例式，即可得证； ②根据题意，证明，列出比例式，代入求值即可解答；③根据，得到，推出的最大值即为的最大值，设，则，根据，得到的最大值为．此时，连接，先证明是的中线，再证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，，， ， ， 延长交于点 D， ， ， 是等腰三角形， ； （2）①证明：，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：，，，， ， 解得（负值已舍去）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； ③解：， ， 的最大值即为的最大值， ，设，则， ， ， 当时，的最大值， 的最大值为． ， 连接， ， 点是的中点， 由（1）得：点是的中点， 是的中线， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，二次函数最值的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五、圆的综合问题 13．（2024·浙江·模拟预测）如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内心有关应用、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形的外接圆，相似三角形的判定与性质等知识，连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，先证明，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，如图： ∵I为的内心， ∵平分， ∴， 又∵I为的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ， ∴，即， 故选：A． 14．（22-23九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与几何综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求出点A、B、C、D坐标，得出，以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点，根据圆的内接四边形对角互补可推出点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，，将逆时针旋转，交x轴于点T，使，证明，得出，，则，当取最小值时，最小，过点T作的垂线，交于点P，交于点Q，此时点T、P、Q共线，且，取最小值，解直角三角形，求出，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∴，则， 以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，， 将逆时针旋转，交x轴于点T，使， ∵，， ∴， ∴，则，， 则点T为定点， ∴， 当取最小值时，最小， 过点T作的垂线，交于点P，交于点Q， 此时点T、P、Q共线，且，取最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求解． 15．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②存在，最小值为6 【知识点】应用切线长定理求解、切线的性质定理、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可； （2）由切线长连接，过点D作于点G，根据已知条件证明C、D在线段的垂直平分线上，证明平分， 根据角平分线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等积法求出即可； （3）①由切线长推出经过中点M，此时垂直平分，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证； ②证明，得出，证明，得出，证明，求出，说明点M在以为直径的圆上运动，取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：如图，连接、． ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴ ∴劣弧为； （2）解：连接，过点D作于点G，如图所示： ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴C、D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）解：①连接，，，如图所示： 根据解析（2）可知：垂直平分， ∵点M为的中点， ∴点M在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可得，C、D、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴为定值， ∵， ∴点M在以为直径的圆上运动， 取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，四边形内角和，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 分层练习 一、单选题 1．如图，点D为的内心，过点D作一条平分面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】连接，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质可知：也是一条角平分线，为的内心，则有，根据平分的面积以此来列等式即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，作于点，作于点，   的两条内角平分线相交于点， 也是的角平分线， 则点为的内心， ， 设平分的面积，则， ，，，，， ， ， ， ， ， 即这条直线分成的两个图形的周长比是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形中三条角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等是解答本题的关键． 2．在中，为边上的高，则的内切圆的半径之和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、直角三角形内切圆的半径公式、三角形面积公式，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，由三角形等面积法得出，根据直角三角形的内切圆的半径公式得出的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，相加即可得出答案，熟练掌握在中，，，则内切圆半径，是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ， 为直角三角形， ， 画出图如图所示， 为边上的高， ，， ， 的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，的内切圆的半径为， 的内切圆的半径之和为， 故选：D． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以AB为斜边另作Rt△APB，连接PC，当点P在AC左侧时，下列结论正确的是（　　） A．的度数不确定 B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【知识点】其他问题(圆的综合问题) 【分析】因为∠ACB=∠APB=90°，可得A，P，C，B四点共圆，即∠CPB=∠CAB=45°，可得∠APC=∠APB+∠CPB=90°+45°=135°，故选项A错误；过点C作CP的垂线交PB于点K，证明△BCK≌△ACP，得AP=BK，所以PB=PC+PA，故选项B错误；当PA=1时和PA=PC时，结合PB=PC+PA的关系式，即可对选项C，D作出判断． 【详解】解：∵∠ACB=∠APB=90°， ∴A，P，C，B四点共圆， ∵AC=BC， ∴∠CAB=45°， ∴∠CPB=∠CAB=45°， ∴∠APC=∠APB+∠CPB=90°+45°=135°， ∴选项A错误； 如图，过点C作CP的垂线交PB于点K， ∵∠CPK=45°， ∴∠CKP=∠CPK=45°， ∴PC=KC，∠CKB=∠CPA=135°， ∵∠PCK=∠ACB=90°， ∴∠BCK=∠ACP， ∴△BCK≌△ACP（（ASA）， ∴AP=BK， ∵PK=PC， ∴PB=PC+PA， ∴选项B错误； 当PA=1时， ∵AC=BC=， ∴AB=2， ∴PB== ， ∵PB=PC+PA， ∴=PC+1， 解得PC=， ∴选项C错误； 当PA=PC时， PB=（+1）PA， ∵PA2+PB2=AB2， ∴（-1）2PB2+PB2=4， 解得PB2=2+ ∴选项D正确． 故选D． 【点睛】本题考查图形的旋转，三角形全等判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造全等三角形得出关系式：PB=PC+PA． 4．如图所示，图中共有相似三角形（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定 【分析】分析：可以运用相似三角形的判定方法进行验证． 【详解】∵， ∴，且 ∴； ∵， ∴； ， ∴； ∵， ∴； 综上所述可知：相似的三角形共有4对，分别是：、、、 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握圆内接多边形角的性质是解决问题的关键 5．如图，P是直径AB上的一点，且PA＝2，PB＝6，CD是过点P的弦，那么下列PC的长度，符合题意的是     （　　） A．PC＝1；PD＝12 B．PC＝3；PD＝5 C．PC＝7；PD＝ D．PC＝；PD＝ 【答案】D 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】求出直径AB的长，连接AC，BD，易证ΔAPC∽ΔDPB,得出PA×PB=PC×PD，代入即可判断答案正确与否． 【详解】∵PA=2，PB=6， AB=2+6=8， 即圆O的直径是8， ∵CD是圆O的弦， ∴CD≤AB， 连接AC，BD， ∵∠A=∠D,∠C=∠B, ∴ΔAPC∽ΔDPB, ∴，即PA×PB=PC×PD， A、CD=PC+PD=13，故本选项错误； B、符合CD≤AB，且PD×PC≠PA×PB，故本选项错误； C、CD=PD+PC=8>8，PA×PB=PC×PD=12，故本选项错误； D、CD=PD+PC=5<AB，PC×PD=2×3=12，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了直径和弦的大小关系，用到了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质. 6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点M，若AC=8，BM=4，则⊙O的半径等于（ ） A．2 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【详解】试题分析：作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，推出∠HCA=∠HBA=90°，证出四边形HBMC为平行四边形，求出HC，根据垂径定理求出AF，根据中位线得出OF，再根据勾股定理求出OA即可． 作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，如图所示： ∵AH为直径， ∴∠HCA=∠HBA=90°， ∵CN⊥AB，BE⊥AC， ∴∠CNA=∠BEA=90° ∴∠HBA=∠CNA，∠HCA=∠BEA， ∴HB∥CN，HC∥BE， ∴四边形HBMC为平行四边形， ∴BM=HC=4， ∵OF⊥CC，OF过O， ∴根据垂径定理：CF=FA=AC=4， ∵AO=OH， ∴OF为△ACH的中位线， ∴OF=HC=2， ∴在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=22+42=20， ∴AC=2； 考点：(1)、三角形的外接圆与外心；(2)、圆周角定理． 7．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题)、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴， 又， ∴， ∴， 故选D． 8．下列说法中，正确的是（    ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．所有的正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 【答案】B 【分析】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以A不正确；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，所以B是对的；一个图形绕中心旋转180度能与自身重合则称此图形为中心对称图形，正五边形不是，所以C不正确；三角形的内心是三个内角平分线的交点，根据角平分线上的点的特点，D是错误的． 【详解】解：A．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故A错误； B．三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，故B正确； C．一个图形绕中心旋转180度能与自身重合则称此图形为中心对称图形，正五边形不是，故C错误； D．三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，故D错误． 故选B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形的内心及轴对称和中心对称的概念，要求学生对这些概念熟练掌握． 9．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值． 【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG， ∵，， ∴， ∵G是BE的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长， ． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值． 10．如图，AB是的直径，AB＝10，点M在上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】由题意作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK．证明△ONK是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK． 则∠MAB=∠KAB=20°， ∵OA=OM=OK=5， ∴∠AMO-∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°， ∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°，∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°， ∵， ∴∠MON=∠NOB=20°， ∴∠KON=60°， ∵ON=OK， ∴△NKO是等边三角形， ∴NK=ON=5， ∵M，K关于AB对称， ∴PM=PK， ∴PN+PM=PN+PK≥NK=5， ∴PM+PN的最小值为5， ∴△PMN的周长的最小值=PM+PN+MN=5+2=7. 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，最短问题，等边三角形的判定，轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换解决最短问题． 二、填空题 11．在平面直角坐标系xOy中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90° （1）线段的长等于 （用含m的代数式表示）； （2）m的最小值为 ． 【答案】 m 3 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【详解】试题分析：（1）∵OA=OB=m，∴OP=AB=m； （2）连结OC交⊙C于D，则OD最短，∵OC==5，∴OD=OC－r=5－2=3．∴m的最小值为3． 故答案为（1）m；（2）3． 考点：直角三角形斜边上的中线． 12．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②连接，，若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的序号是 ；    【答案】①②③④ 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、等腰三角形的性质和判定、角平分线性质的实际应用、三角形内角和定理的应用 【分析】根据内心的定义和性质可求判定结论①；如图所示，连接，根据内心的定义和性质，三角形的内角和可判定结论②；根据题意，证明,可判定结论③；根据同弧或等弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：结论①， ∵点是的内心，即是的角平分线， ∴， ∵， ∴，故结论①正确； 结论②连接，，若，则， 如图所示，连接，    ∵点是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，，故结论②正确； 结论③若点为的中点，则， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴ 即，故结论③正确； 结论④， 根据题意，平分， ∴， ∵， ∴，（三角形的外角性质）， ∴， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握三角形内心的定义（角平分线的交点）和性质，同弧（或等弧）所对圆周角相等，三角形内角和，外角和，等腰三角形的判和性质等知识的的综合运用是解题的关键． 13．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是 ． 【答案】2+1 【知识点】圆与函数的综合(圆的综合问题)、判断点与圆的位置关系、与三角形中位线有关的求解问题、反比例函数与几何综合 【分析】易求点P(4，4)，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以 AC=OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q'时，OQ最大，由此即可解决问题. 【详解】点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等， ∴可设P(x，x)( x>0)，则x=解得x=±4(负值舍去）， 点P(4, 4)如图，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大， ∵，，点C是QB的中点， ∴OA=AB，CB=CQ，AC=OQ， 当Q动到Q'时，OQ最大，此时AC的最大值AC'=OQ'= (OP+P Q') =2+1， 故答案为：2+1. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 14．已知点，，为直线上的一个动点，当取最大值时，点坐标是 ．    【答案】（3,2） 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】设直线l与x轴y轴的交点分别为M、N，过A、B两点作圆O，圆O与直线相切于点C，与BP交于点E，连接AE、AC和BC，根据圆周角定理和三角形外角的性质可得∠ACB≥∠APB（当且仅当点P与点C重合时，取等号），即当取最大值时，点与点C重合，然后利用切割线定理即可求出MC，利用锐角三角函数即可求出点C的坐标，即可得出结论． 【详解】解：设直线l与x轴y轴的交点分别为M、N，过A、B两点作圆O，圆O与直线相切于点C，与BP交于点E，连接AE、AC和BC    ∴∠AEB=∠ACB 如图所示：当点P不与点C重合时，∠AEB＞∠APB，当点P与点C重合时，∠AEB=∠APB ∴∠ACB≥∠APB（当且仅当点P与点C重合时，取等号） ∴∠APB的最大值即为∠ACB的度数，此时点P与点C重合 将x=0代入中，解得：y=5；将y=0代入中，解得：x=5． ∴点N坐标为（0,5），点M的坐标为（5,0） ∴△NOM为等腰直角三角形 ∴∠NMO=45° ∵点， ∴MA=5－1=4，MB=5－3=2 根据切割线定理可得MC2=MA·MB=8 解得：MC=，过点C作CD⊥x轴于D，MD=MC·cos∠NMO=2，CD=MC·sin∠NMO=2 ∴点D和点B重合，OD=OM－MD=3 ∴点C的坐标为（3,2） 即取最大值时，点坐标是（3,2） 故答案为（3,2）． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、三角形外角的性质、等腰直角三角形的判定及性质、切割线定理和锐角三角函数，掌握同弧所对的圆周角相等、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角、切割线定理和锐角三角函数是解决此题的关键． 15．如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，则的坐标是 ；第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，   点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2023次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8093， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 16．如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M．E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 = ．现给出以下结论： （1）△ADE与△BEC一定相似； （2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离； （3）OM的最大值是； （4）当OM最大时，CD = ． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】（1）（3）（4） 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】利用“一线三垂直”可以判定△ADE与△BEC相似，进而可判定（1）；进一步可得，即可得出OM最大值为，即可判定（2）、（3）、（4）． 【详解】解：∵∠A = ∠B = 90°，∠CED = 90°， ∴∠AED = ∠BCE， ∴△ADE∼△BEC． 故（1）正确； 当点E与圆心O重合时，如图， 在四边形AOMD和四边形ABCD中， ∵∠OMD= 90°，∠A= 90°，∠B= 90°， ∴∠ADM+∠AOM=180°，∠ADM+∠MCB=180°， ∴∠AOM=∠MCB， 由（1）知，∠AED = ∠BCE，即∠AOD = ∠BCO ∴∠AOM-∠AOD = ∠MCB-∠BCO，即∠MOD = ∠MCO， ∵∠OMD = ∠OMC= 90°， ∴△OMD∼△CMO． ∴ 由（1）知△ADE∼△BEC，即△ADO∼△BOC ∴ ∴， ∴ ∵△ADE∼△BEC． ∴ ∴ ∴， 即， ∴ ∴当AE=，即AE=BE=时，OM值最大，最大值为． ∴以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD不可能相离， 故（2）错误，（3）正确， 当OM最大时，如图， ∵， ∴设CE=4x，DE=3x，且x＞0， ∵∠CED=90°， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，故（4）错误， 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形、直线与圆的位置关系以及利用二次函数解决最值问题等知识，熟练的进行边的比值的转化时本题的解题关键． 三、解答题 17．已知：△ABC（如图）, （1）求作：作△ABC的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）． （2）在题（1）已经作好的图中，若∠BAC=88°，求∠BIC的度数. 【答案】（1）作图见解析；（2）134°． 【知识点】圆 【详解】试题分析：（1）分别作出∠BAC、∠ABC的平分线，两平分线的交点即为△ABC的内切圆的圆心I，过点I向BC作垂线，垂足为H，垂足与I之间的距离即为⊙I的半径，以I为圆心，IH为半径画圆即可； （2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB的度数，由三角形内角和定理即可求解． 试题解析：（1）①以A为圆心任意长为半径画圆，分别交AC、AB于点H、G； ②分别以H、G为圆心，以大于HG为半径画圆，两圆相交于K点，连接AK，则AK即为∠BAC的平分线； ③同理作出∠ABC的平分线BF，交AK于点I，则I即为△ABC内切圆的圆心； ④过I作IH⊥BC于H，以I为圆心，IH为半径画，则⊙I即为所求圆． （2）∵∠BAC=88°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°， ∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=×92°=46°， ∴∠BIC=180°-46°=134°． 考点: 三角形的内切圆与内心． 18．（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）可以．画图见解析，，⊙O的半径为 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置，过点作于，于，于，连接，，，过点作于，设，的半径为，则，再根据勾股定理列出关于的方程得，则，进而得，则，然后根据，得，据此可得的半径． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）可以． 三角形内最大的圆是三角形的内切圆， 所求圆的圆心是△的内心， 作和的平分线，交于点， 则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，，，过点作于，如图所示： 设，的半径为， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 点为的内心， ， ， ， 即， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心，勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解决问题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，顶点在抛物线上，且抛物线交轴于另一点． （1）则= ，= ； （2）已知为边上一个动点（不与、重合），连结交于点，过点作轴的平行线分别交抛物线、直线于、． ①求线段的最大值，此时的面积为； ②若以点为圆心，为半径作⊙O，试判断直线与⊙O的能否相切，若能请求出点坐标，若不能请说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②直线AE能与⊙O相切，点E的坐标为（3，2）． 【知识点】圆与函数的综合(圆的综合问题)、其他问题(二次函数综合) 【详解】试题分析：（1）把B、D两点的坐标代入抛物线的解析式得，解方程组即可求出a、b的值；（2）①由O、B两点可得直线OB的解析式，设点E的坐标为（m，2），则点F的坐标为（m，），点G的坐标为（m，），可求FG=（）-=，从而得当m=2时，线段FG的最大值为1，求出此时的面积即可；直线AE能与⊙O相切，当直线AE与⊙O相切时，则OB⊥AE，∴△ABE∽△OAB，求得BE=1，进而可求得点E的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线经过点B（4，2），D（6，0），∴，解得；（2）①由点O（0，0）、B（4，2）两点可得直线OB的解析式为，设点E的坐标为（m，2），则点F的坐标为（m，），点G的坐标为（m，），∴FG=（）-=，∴当m=2时，线段FG的最大值为1．此时过E（2，2）、A（4，0）两点直线AE的解析式为y=-x+4，∴直线OB与直线AE的交点P的坐标为（，），∴边FG边上的高为，∴的面积为；②直线AE能与⊙O相切，当直线AE与⊙O相切时，则OB⊥AE，∴△ABE∽△OAB，∴，即，∴BE=1，CE=3，∴点E的坐标为（3，2）． 考点：二次函数综合题． 20．如图，为的直径，，为上不同于，的两点，过点作的切线交直线于点，直线于点． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2）半径为3． 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，等腰的一个外角等于，由垂直证明两直线平行，从而证明=，从而得证． （2）先证，设半径为，由相似线段成比例关系，解方程即可求得半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ， ∴， ∴， 解得， ∴半径为3. . 【点睛】本题考查圆的综合题，考查了圆的性质，圆的切线判定和性质，勾股定理，相似三角形性质，三角函数值等，要求学生能熟练运用所学知识解答，形成数学解题能力, 熟练掌握并运用知识是解题的关键． 21．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB的长度； （2）计算； （3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）． 【答案】（1）2（2）（3）、、 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【详解】试题分析：（1）OA和AB的长度是一元二次方程的根，所以利用韦达定理即可求出AB的长度． （2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的长度即可． （3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等． 试题解析：（1）由题意知：OA和AB的长度是x2﹣4x+a=0的两个实数根， ∴OA+AB=﹣=4， ∵OA=2， ∴AB=2； （2）过点C作OC⊥AB于点C， ∵OA=AB=OB=2， ∴△AOB是等边三角形， ∴AC=AB=1 在Rt△ACO中， 由勾股定理可得：OC= ∴S△AOB=ABOC=×2×= （3）延长AO交⊙O于点D， 由于△AOB与△POA有公共边OA， 当S△POA=S△AOB时， ∴△AOB与△POA高相等， 由（2）可知：等边△AOB的高为， ∴点P到直线OA的距离为，这样点共有3个 ①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1， ∴∠BOP1=60°， ∴此时点P经过的弧长为：， ②作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称， ∴∠P2OD=60°， ∴此时点P经过的弧长为：， ③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称， ∴∠P3OP2=60°， ∴此时P经过的弧长为：， 综上所述：当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是、、． 考点：一元二次方程与圆的综合知识 22．【问题探究】如图， (1)如图1，已知中，，，求周长的最大值． (2)西安市计划用一块空地为城市居民新建一个四边形的公园，如图2，是公园的设计示意图．已知，，，，点为公园内的活动舞台中心，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计）且满足，．为了让居民更好地锻炼身体，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为米，理由见解析 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）延长至点使得，连接，以为边在上方做等边三角形，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接，根据“最长的弦是直径”，得出经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大，计算出此时的周长即可； （2）将绕点顺时针旋转得到，延长和交于点，以为底作顶角为的等腰三角形，过作于点，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接，根据“最长的弦是直径”，得出经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大，结合解直角三角形的知识，计算出此时即可． 【详解】（1）解：如图，延长至点使得，连接，以为边在上方做等边三角形，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接， ∴周长， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴点在以为圆心、为半径的上运动， ∴经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大， ∴此时周长取得最大值； （2）解：存在三条步道长度和的最大值，最大值为米，理由如下， ∵，，，，． ∴， 如图，将绕点顺时针旋转得到，延长和交于点，以为底作顶角为的等腰三角形，过作于点，以点为圆心、为半径画，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴点在以点为圆心、为半径的上运动， ∴经过圆心，即点运动到点，点与点重合时，为直径时最大， ∴此时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时（米）， ∴存在三条步道长度和的最大值，最大值为米． 【点睛】本题是圆的综合应用题，考查了圆周角与圆心角的性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的性质等知识，根据圆的性质作出辅助圆图形是解题的关键． 23．问题探究 （1）如图①．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝5，BC＝6，则△BCD的面积为　 　． （2）如图②，半圆O的直径AB＝10，C、D为半圆上两点，∠COD＝90°＝5，P为直径AB上一动点，请求出PC+PD的最小值． 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接AP、CP，使得AP、CP将四边形ABCD分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花同时沿着AP、CP修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望AP+CP最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：A（2，6），C（8，0），D（7，5），请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）12；（2）5；（3）存在，P（4，2） 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，即可解决问题． （2）如图2中，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P′，连接DP′，OD′，过点O作OH⊥CD′于H，连接PD′．证明∠COD′＝120°，解直角三角形求出CD′即可解决问题． （3）如图3中，如图，连接AC，BD，取BD的中点J，连接AJ，CJ，作JE∥AC，作点C关于直线JE的对称点C′，连接AC′交直线JE于点P，连接CP，则此时PA+PC的值最小，且折线AP，PC把四边形ABCD的面积分成相等的两部分． 【详解】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝6， ∴AH＝＝4， ∵AD∥BC， ∴S△BCD＝S△ABC＝×6×4＝12． 故答案为12． （2）如图2中，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P′，连接DP′，OD′，过点O作OH⊥CD′于H，连接PD′． ∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+∠DOB＝90°， ∵＝5， ∴∠AOC＝5∠BOD， ∴∠BOD＝∠BOD′＝15°， ∴∠COD′＝90°+15°+15°＝120°， ∵OC＝OD′， ∴∠OCH＝30°， ∵OH⊥CD′， ∴CD′＝2CH＝OC•cos30°＝5， ∵PC+PD＝PC+PD′≥CD′， ∴PC+PD≥5， ∴PC+PD的最小值为5． （3）如图3中，如图，连接AC，BD，取BD的中点J，连接AJ，CJ，作JE∥AC，作点C关于直线JE的对称点C′，连接AC′交直线JE于点P，连接CP，则此时PA+PC的值最小，且折线AP，PC把四边形ABCD的面积分成相等的两部分． 理由：∵BJ＝JD， ∴S△ABJ＝S△ADJ，S△BCJ＝S△CDJ， ∴S四边形ABCJ＝S四边形ADCJ， ∵AC∥JE， ∴S△ACJ＝S△ACP， ∴S四边形ABCP＝S四边形ADCP， ∵A（2，6），C（8，0），D（7，5），B（0，0），BJ＝JD， ∴J（，）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8， ∵JE∥AC， ∴JE的解析式为y＝﹣x+6， ∵C，C′关于直线JE对称， ∴C′（6，﹣2）， ∴直线AC′的解析式为y＝﹣2x+10， 由，解得， ∴P（4，2）． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，解直角三角形，轴对称最短问题，平行线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 24．问题提出： （1）如图①在中，是边的高，点是上任意一点，若则的最小值为_　　　　； （2）如图②，在等腰中，是的垂直平分线，分别交于点，，求的周长； 问题解决： （3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路和，满足点到的距离为.为了节约成本，要使得之和最短，试求的最小值(路宽忽略不计)． 【答案】（1）3；（2）；（3）的最小值为． 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、等边对等角、含30度角的直角三角形、垂线段最短 【分析】（1）根据直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短即可求解； （2）由已知和等腰三角形的性质得出，根据垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的性质可依次得出，，利用勾股定理求出AB，即可求得的周长； （3）延长到点，使得，延长到点，使得，连接，则的最小值即为的最小值；通过角的计算可得，可得点在弦所对的劣弧上；过点作于，过点作于，连接， 由即可求得结果． 【详解】解：（1）∵是边的高，， ∴，点D到直线BC的距离为3， ∵点是上任意一点， ∴，即， ∴的最小值为3， 故答案为：3． （2）， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴的周长； （3）如图，延长到点，使得，延长到点，使得，连接， ，，， 的最小值即为的最小值， ， 以为斜边向下作等腰直角三角形，则， 以点为圆心为半径作，F为圆上任意一点，则， ∵， 点在弦所对的劣弧上， 如图，过点作于过点作于，连接， 则， 设则 则，即 解得：，则， 的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质和圆的综合问题．第（3）问是综合难题，解题的关键是构造和圆O，熟练运用圆的相关知识求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形的内切圆（1个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．三角形的内切圆与内心 1．（2024•浙江模拟）如图，在中，为内心，为的外接圆上一点，于点，于点．设，，若，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•西湖区校级二模）如图，点为的内心，，，若，则的长为 　　． 3．（2023•宁波自主招生）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形．设，已知直角的直角顶点为坐标原点在第一象限），其内心为点． （1）求直线的函数解析式； （2）若，且为整点三角形，求这样的的个数． 题型二、直角三角形周长，面积与内切圆半径的关系 4．（2020·浙江温州·二模）如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级下·浙江金华·开学考试）图1是义乌某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图2所示，盒子上方是一段圆弧（）．D，E为手提带的固定点，与所在的圆相切，．手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与交于点F，G．若是等腰直角三角形，且点C，F到盒子底部的距离分别为1， （1）的内切圆半径为 ． （2）则所在的圆的半径为 ． 6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 题型三、三角形内心有关应用 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 8．（2024·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 9．（2024·浙江嘉兴·三模）已知 内接于，为 的内心，延长交于点，交于点．连结 ， ， ． (1)若 求 的度数； (2)设 四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题． ①求证∶ ②已知 求的值． 题型四、三角形内切圆与外接圆综合 10．（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 11．（23-24九年级下·浙江·自主招生）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，则的内心与外心之间的距离是 ． 12．（2024·浙江台州·二模）如图1，在中 ，，是的外接圆，连结并延长交于点 D． (1)求证：； (2)如图2，点E是线段上的动点，连结并延长交分别交，于点F，M，连结， ①当点 E与重合时（如图3），求证：； ②在①的条件下，若，求的长度； ③若， 求的最大值，并写出此时的值． 题型五、圆的综合问题 13．（2024·浙江·模拟预测）如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 14．（22-23九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    15．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 分层练习 一、单选题 1．如图，点D为的内心，过点D作一条平分面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（    ）    A． B． C． D． 2．在中，为边上的高，则的内切圆的半径之和为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以AB为斜边另作Rt△APB，连接PC，当点P在AC左侧时，下列结论正确的是（　　） A．的度数不确定 B． C．当时， D．当时， 4．如图所示，图中共有相似三角形（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 5．如图，P是直径AB上的一点，且PA＝2，PB＝6，CD是过点P的弦，那么下列PC的长度，符合题意的是     （　　） A．PC＝1；PD＝12 B．PC＝3；PD＝5 C．PC＝7；PD＝ D．PC＝；PD＝ 6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点M，若AC=8，BM=4，则⊙O的半径等于（ ） A．2 B．2 C．4 D．6 7．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．下列说法中，正确的是（    ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．所有的正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形 D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 9．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，AB是的直径，AB＝10，点M在上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．在平面直角坐标系xOy中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90° （1）线段的长等于 （用含m的代数式表示）； （2）m的最小值为 ． 12．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②连接，，若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的序号是 ；    13．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是 ． 14．已知点，，为直线上的一个动点，当取最大值时，点坐标是 ．    15．如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，则的坐标是 ；第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 16．如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M．E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 = ．现给出以下结论： （1）△ADE与△BEC一定相似； （2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离； （3）OM的最大值是； （4）当OM最大时，CD = ． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 17．已知：△ABC（如图）, （1）求作：作△ABC的内切圆⊙I.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）． （2）在题（1）已经作好的图中，若∠BAC=88°，求∠BIC的度数. 18．（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，顶点在抛物线上，且抛物线交轴于另一点． （1）则= ，= ； （2）已知为边上一个动点（不与、重合），连结交于点，过点作轴的平行线分别交抛物线、直线于、． ①求线段的最大值，此时的面积为； ②若以点为圆心，为半径作⊙O，试判断直线与⊙O的能否相切，若能请求出点坐标，若不能请说明理由． 20．如图，为的直径，，为上不同于，的两点，过点作的切线交直线于点，直线于点． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的半径． 21．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB的长度； （2）计算； （3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）． 22．【问题探究】如图， (1)如图1，已知中，，，求周长的最大值． (2)西安市计划用一块空地为城市居民新建一个四边形的公园，如图2，是公园的设计示意图．已知，，，，点为公园内的活动舞台中心，按照设计要求，现要沿、、修建三条笔直的步道（步道宽度忽略不计）且满足，．为了让居民更好地锻炼身体，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出步道长度和的最大值；若不存在，请说明理由． 23．问题探究 （1）如图①．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝5，BC＝6，则△BCD的面积为　 　． （2）如图②，半圆O的直径AB＝10，C、D为半圆上两点，∠COD＝90°＝5，P为直径AB上一动点，请求出PC+PD的最小值． 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P，连接AP、CP，使得AP、CP将四边形ABCD分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花同时沿着AP、CP修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望AP+CP最小．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：A（2，6），C（8，0），D（7，5），请探究是否存在满足要求的点P，若存在，请在图中作出点P，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 24．问题提出： （1）如图①在中，是边的高，点是上任意一点，若则的最小值为_　　　　； （2）如图②，在等腰中，是的垂直平分线，分别交于点，，求的周长； 问题解决： （3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路和，满足点到的距离为.为了节约成本，要使得之和最短，试求的最小值(路宽忽略不计)． 学科网（北京）股份有限公司 $$