6.2.3 向量的数乘运算（教学设计)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.3 向量的数乘运算 教学设计 1、 教学目标 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算； 2.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. 3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 4.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行； 2、 重点难点 1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 2.教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 3、 学情分析&教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。 向量的数乘运算是继向量的加、减运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛.本节内容教材共安排两个课时，主要研究向量的线性运算、向量共线定理及其应用. 向量的数乘运算，可看成是加法运算的推广及简化，得出向量的数乘的定义及运算律，并用非严格推理的方法推出向量共线的判定及性质，由此得到向量共线的充要条件. 本节所涉及的主要核心素养有：数学抽象、数学运算、逻辑推理等. 学情分析 学生在学习本节内容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、减运算，并且初步体会了研究向量运算的一般方法，即先由特殊模型抽象出概念，然后再从概念出发，还在与实数运算类比的基础上研究了向量加法的运算律.这为学生学习向量的数乘运算做了很好的铺垫，使学生更容易接受. 4、 学习目标 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 5、 导入新知 问题1：向量加法的三角形法则和平行四边形法则各是什么？ 问题2：向量减法的几何意义是什么？ 【师生互动】师生共同回顾前面所学过的向量加法和减法的相关知识. 【设计意图】学习新知识前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备. ◆探究 已知非零向量，作出和．它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图6.2-14，．类比数的乘法，我们把记作，即．显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即|． 类似地，由图6.2-14可知，，我们把记作，即．显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即． 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作，它的长度与方向规定如下： (1)； (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反． 由(1)可知，当时，． 由(1)(2)可知， ． 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. 2λaa≠0的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 注意点： (1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 思考 如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？ 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的． 设，为实数，那么 （1）； （2）； （3）． 特别地，我们有 ， ． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量，，以及任意实数，μ1，μ2，恒有 总结：数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 6、 应用新知 例5 计算： （1）； （2）； （3）． 解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝． 【变式】已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解. 【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得， 所以，即， 又因为是两个不共线的向量，所以， 解得 故答案为：. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 注意点： (1)向量共线定理中规定a≠0． (2)λ的值是唯一存在的． 例6 如图6.2-15，□ABCD的两条对角线相交于点，且，，用，表示，，和． 解：在□ABCD中， ，． 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 ， ， ，． 【变式】在△ABC中，点D满足，点E满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由平面向量的线性运算法则求解． 【详解】如图1， . 故选：C 用已知向量表示未知向量的求解思路 将待表示的向量通常放在三角形或平行四边形中，利用向量的加法、减法、数乘的几何意义向已知向量转化．　 例7 如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，．猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想． 分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断，，三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立． 解：分别作向量，，，过点，作直线(图6.2-17)．观察发现，不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想，，三点共线． 事实上，因为 ， ， 所以． 因此，，，三点共线． 【变式】已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若和共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）通过平行，必存在实数使，列方程组求出实数的值. 【详解】（1）， 又， ，，又， A，B，D三点共线； （2）向量和共线， 存在实数使， 又，是不共线，， 解得. 例8 已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值． 解：由，不共线，易知向量为非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，即． 由，不共线，必有． 否则，不妨设，则． 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾． 由，解得． 因此，当向量，共线时，． 【变式】已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则实数t的值为 . 【答案】2 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线定理即可求解. 【详解】向量，共线，所以存在实数，使得， 由于，是两个不共线的向量，所以 且，所以， 故答案为：2 关于向量共线定理 (1)向量共线定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0， 当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数； 当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在． （2）当向量a，b同向时，λ>0，当向量a，b反向时，λ<0. 7、 能力提升 题型一、向量的数乘运算 【练习1】（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 【答案】AB 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量的数乘运算一一判定选项即可. 【详解】由数乘向量运算律，得A，B均正确； 对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误； 对于D，若，由，未必一定有，错误． 故选：AB． 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．　　　　 （3）λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模． 题型二、向量的线性运算 【练习2】已知平行四边形中，为边的中点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】先由平面几何得到，再利用平面向量的线性运算得到，从而得解. 【详解】为边的中点，， ， 又，. 故选：A. . 反思感悟　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． （3）向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用．　　　　 题型三、用已知向量表示其他向量 【练习3】已知在中，为的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， ． 故选：D 反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 题型四、向量共线定理 【练习4】在中，，，与交于点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可. 【详解】因为，则为的中点，可得， 注意到三点共线，可得， 又因为三点共线，则∥， 则存在实数，使得，即， 则，可得， 综上所述：，解得，可得. 故选：B. 反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解． 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量． 9、 作业设计 教材第15页练习第1〜3题. 习题6.2 8.（2）（3）（4）,9题 10、 板书设计 练习（第15页） 1．任画一向量，分别求作向量，． 1．如图 2．点在线段上，且，则，． 2．答案：，. 3．把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积： （1），； （2），； （3），； （4），． 3．解析：(1)＝2；(2) ＝；(3) ＝；(4) ＝． ◆探究 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线． 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线． 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有． 综上，我们有如下定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使． 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示． 练习（第16页） 1．判断下列各小题中的向量与是否共线： (1)，； (2)，． 1．解析：（1）因为，所以，共线．（2）因为，所以，共线． 2．化简： (1)； (2)； (3)． 2．答案：(1)； (2) ； (3)． 3．已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值． 3．解析：由，是两个不共线的向量，易证；否则，向量，共线．由与是共线向量可知，存在实数，使 ，即， ， 由，不共线，必有．否则，不妨设，则， 由两个向量共线的充要条件，知，共线，与已知矛盾． 由，解得．因此，当与共线时，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$