6.2.1 向量的加法运算（教学设计) -【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

6.2.1向量的加法运算 教学设计 1、 教学目标 1. 培养学生数学抽象的能力：能利用位移和力的合成将平面向量具体化 2. 通过探究活动培养学生的逻辑推理的能力 3. 培养学生数学建模的能力：掌握平面向量加法运算法则，利用加法法则解决问题 2、 重点难点 教学重点：1.向量加法的运算法则及其几何意义； 2.向量加法的三角形法则及平行四边形法则、向量加法 的交换律与结合律. 教学难点：1.对向量加法运算法则的理解； 2. 向量加法的三角形法则及平行四边形法则的拓展应用. 3、 学情分析&教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。 本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。 本节内容是在学习了向量的实际背景及基本概念后， 进一步探究学习向量的加法、向量加法的三角形法则、向 量加法的平行四边形法则以及向量加法的运算律，初步展 现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他 知识奠定了基础.同时，向量的加法又是解决物理学、工程 技术中有关问题的重要方法之一，体现了数学来源于实 践，又应用于实践的思想. 4、 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 5、 导入新知 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算． 1.向量加法法则概念的形成 1.1背景引入，引发思考 【物理背景】在物理学中，我们知道一个质点从点移动到点，再从点移动到点，与从点直接到点的位移结果相同.这说明位移这一矢量是可以合成的，即矢量是可以做加法运算的. 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成．能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 思考 如图6.2-1，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 问题1：(1) 物理中的矢量与我们所学的向量有什么区别和联系？(2) 我们能不能把物理中位移的合成的有关方法和经验用于向量的合成？ 物理知识告诉我们，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同．因此，位移可以看成是位移与合成的．数的加法启发我们，从运算的角度看，可以看作与的和，即位移的合成可以看作向量的加法． 【预设的答案】 联系：矢量和向量都是既有大小又有方向的量；区别：物理学中矢量通常是有作用点的，如：力、位移等，但是数学中向量是自由向量，可以任意平移的.即向量的应用范围是更广的. 能 【设计意图】对向量的加法运算这一概念并不是凭空产生的，在物理的学习中，其实学生已经认识到位移、力等矢量是可以进行合成的.同时我们可以将物理中矢量的合成的有关经验和方法用于数学中向量的合成. 1.2 探究典例，形成概念 【数学情境】假设在平面内任取一点，做，，那么你能说出的和向量是什么吗？ 如图6.2-2，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做与的和，记作，即． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． 我们再来看力的合成问题． 【设计意图】创设数学实例，让学生借助位移的合成的有关经验，得出向量合成的一种方式——三角形法则. 问题2：求上面两个向量的和向量时 ，你发现了什么特征吗？ 【活动预设】看这两个向量(有向线段)以及和向量(有向线段)的书写方式，探究出向量加法的三角形法则运算规律. 【设计意图】引导学生归纳概括出三角形法则的有关特征：首尾相连的两个向量. 思考 如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力吗？ 我们知道，合力在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长．从运算的角度看，可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法． 【活动预设】感受在力的合成过程中，三角形法则就不太方便了，需要探究新的向量加法的运算方法. 【设计意图】为引入平行四边形法则做铺垫. 问题3：现在这两个向量具有什么特征？能否用三角形法则来对其求和？如果不行，有没有什么处理方法？ 【活动预设】 (1) 根据图象，这两个向量并不是首尾相连的，而是具有公共起点的两个向量，因而不能直接使用三角形法则； (2) 三角形法则适用于首尾相连的两个向量，故考虑将其中一个向量的起点平行移动到另一个向量的终点处.在利用三角形法则进行求和. 【设计意图】解决实际问题出发，灵活应用向量加法的三角形法则，从中得出平行四边形法则的概念. 问题4：观察下图，将平移到处，根据三角形法则可知：即为与的和向量.那你发现四边形是什么四边形了吗？ 如图6.2-4，以同一点O为起点的两个已知向量，，以OA，OB为邻边作□OACB，则以O为起点的向量（OC是□OACB的对角线）就是向量与的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 【活动预设】 (1) 借助三角形法则画出图像，找到和向量； (2) 进一步分析共起点的两个向量的和向量的平行四边形法则. 教师讲授：四边形是一个平行四边形.因此，以同一点为起点的两个向量与，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量就是向量与的和向量.我们把这样的方法称为向量的平行四边法则. 【设计意图】归纳特征，总结平行四边形法则的概念. 问题5：你能分析一下平行四边形法则和三角形法则的区别与联系吗？ 【预设的答案】此处通过列表呈现三角形法则、平行四边形法则之间的关系。 三角形法则 平行四边形法则 适用条件 首尾相连的两个向量 有公共起点的两个向量 作法 在平面内任取一点，作，，则 作，，以为邻边作平行四边形，连接，则 结论 是与的和向量 对角线是与的和向量 图形 联系 平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的 【设计意图】对向量加法法则的理解和归纳总结； 思考 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 对于零向量与任意向量，我们规定 ． 例1 如图6.2-5，已知向量，，求作向量． 作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，．则． 作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，．以OA，OB为邻边作□OACB，连接OC，则． 【设计意图】 (1) 让学生学会用向量的加法法则进行作图运算 (2) 根据三角形两边之和大于第三边得出向量加法的三角不等式 【变式】如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)  (2)  (3)   【解析】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.    （2）解：作，，，则即为所求作的向量.    （3）解：作，，，则即为所求作的向量.        在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量. ◆探究 (1)如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ (2)结合例1，探索，，之间的关系． 一般地，我们有 ， 当且仅当，方向相同时等号成立． 根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算． ◆探究 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 如图6.2-7(1)，作，，以，为邻边作□ABCD，容易发现，，故．又，所以． 由图6.2-7(2)，你能否验证 ? 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律． 6、 应用新知 例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h． (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°)． 解：(1)如图6.2-9．表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作□ABCD，则表示船实际航行的速度． (2)在中，，，于是 因为，所以利用计算工具可得． 因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°． 【变式】某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 【答案】实际前进方向为南偏东，速度为. 【分析】如图所示，河水速度为，，人的速度为，，根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，， 则，，，. 故实际前进方向为南偏东，速度为. 用向量的加法解决实际问题，一般步骤如下： （1）由题意作出相对应的几何图形，用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加法运算； (3)利用直角三角形的知识解决问题. 7、 能力提升 题型一、向量加法的三角形法则 【练习1】如图是平行四边形，则在向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，进而根据向量加法的三角形法则求解即可. 【详解】解：因为在平行四边形中，， 所以 故选：D 思维升华　(1)用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”. (2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0. 题型二、向量加法的平行四边形法则 【练习2】如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 三角形法则 平行四边形法则 适用条件 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 作法 在平面内任取一点，作，，则 作，，以为邻边作平行四边形，连接，则 结论 是与的和向量 对角线是与的和向量 图形 联系 平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 题型三、共线向量的加法与向量加法的运算律 【练习3】下列四个等式： ①；    ②；    ③；    ④． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误， 故答案为：①②③ 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 题型四、向量加法的实际应用 【练习4】如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向. 【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出. 【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图： 连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D， 则四边形ACBD为平行四边形， 所以就是小船在静水中的速度. 在中，，， ， ， ∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，. 【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题. 反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 8、 课堂总结 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.向量求和的法则 (1)向量加法的三角形法则．向量加法的三角形法则要“首尾相接”. (2)向量加法的平行四边形法则．应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”. 3.向量三角不等式． |a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. 4.向量加法的运算律． (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 4．方法归纳：数形结合法． 5．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 6.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.使用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾顺次相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0. 7.(1)要注意向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序. 　 9、 作业设计 教材第10页练习第1,3,5题. 练习（第10页） 1．如图，在下列各小题中，已知向量，，分别用两种方法求作向量． 2．当向量，满足什么条件时，（或）？ 2．解析：当，方向相反，且|时，． 当，方向相反，且时，． 3．根据图示填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．解析：（1）；（2）；（3）；（4）． 4．如图，四边形是平行四边形，点在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）． （1）． （ ） （2）． （ ） （3）． （ ） 4．解析：（1）×；（2）√；（3）×． 5．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行的速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向． 5．如图，表示水流的速度，表示小船的速度． 由已知得，，， 以，为邻边作□ABCD，则表示小船实际航行的速度，，，延长到点，使，连接，则．又，所以是等边三角形． 在中，是的中线，所以 ，从而． 在中，． 所以小船实际航行的速度的大小是，方向与河岸垂直． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$