八年级数学开学摸底考（上海专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2025届八年级下学期开学摸底考试卷（上海专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 A B C C D C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7． 8． 9．（答案不唯一） 10．到角的两边的距离相等的点在角平分线上 11． 12．8或0 13． 14． 15． 16．100 17． 18．或 三、解答题（第19-21题每小题3分，第22-25每小题4分，第26-27题5分，第28题6分，第29题8分，第30题9分，共58分） 19．解： ． (3分) 20．解：（1）∵； ∴， 则， ∴， ∴或， ∴， （2）∵ ∴整理得， 则， ∴， ∴，． (3分) 21．证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3分) 22．（1）根据题意，得， ， ； (1分) （2）是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． (4分) 23．解：（1）由题意可得， 第二季度的营业额为：120×（1＋25%）＝120×＝150（万元）， (1分) 答：该店第二季度的营业额为150万元； （2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x， 150（1＋x）2＝216， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%． （4分) 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 24． 已知：如图，在ΔABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB． 求证：ΔABC是直角三角形． 证明：∵ CD是AB边上的中线， ∴ AD=BD=AB， 又CD=AB， ∵ AD=BD=CD， ∴ ∠A=∠1，∠2=∠B， ∴∠1+∠2=∠A+∠B， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． （4分) 25．（1）解：∵与成正比例， ∴设， 当时，, 所以, 解得，， ∴ ∴， 故y与x之间的函数关系式：； （2分) （2）解：由（1）知：， 所以将图象向上平移5个单位后得到直线， ∴直线对应的函数解析式为，即， 当时，故点不在直线上． （4分) 26．解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴=OB•AB==， ∴， ∴点A的坐标为（2，），把A（2，）代入， 得=， ∴； （2分) （2）∵当x=1时，y=1；当时，， 又∵反比例函数在时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为． （5分) 27．（1）解：如下图，点即为所求； （2分) （2）由（1）可知，为的角平分线， 过点作，垂足为，如图， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （5分) 28．（1）证明：联结MD． ∵， ∴ ∵点M是AE的中点， ∴．同理可证：， ∴． ∵点F是CD中点， ∴． （2分) （2）证明：∵， ∴． ∵点M是AE的中点， ∴． ∵， ∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上． ∴CM是线段AD的垂直平分线． ∴，． ∴． ∴中， ∴． （6分) 29．（1）解：当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形； ∵∠BAC=90°， ∴α=90°−30°=60°； 当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形， ∵∠C=30°， ∴∠CAM=∠AMC=75°， ∵∠BAC=90°， ∴α=15°， 综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形， 故答案为：60°或15°； （2分) （2）证明：由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC， ∵将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°）， ∴∠BAM=∠FAN， 在△ABM与△AFN中， ， ∴△ABM≌△AFN(ASA)， ∴AM=AN， ∵AE=AC， ∴EM=CN， 在△MPE与△NPC中， ， ∴△MPE≌△NPC(AAS)， ∴PE=PC， ∴点P在CE的垂直平分线上， ∵AE=AC， ∴点A在CE的垂直平分线上， ∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线； （5分) （3）解：△CPN能成为直角三角形． 如图1所示：当∠CNP=90°时， ∵∠CNP=90°， ∴∠ANF=90°． 又∵∠AFN=60°， ∴∠FAN=180° -60° -90°=30°． ∴=30°． 如图2所示：当∠CPN=90°时， ∵∠C=30°，∠CPN=90°， ∴∠CNP=60°， ∴∠ANF=60°， 又∵∠F=60°， ∴∠FAN=60°， ∴=60°． 综上所述，=30°或60°． （8分) 30．（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （3分) （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （5分) （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． （9分) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届八年级下学期开学摸底考试卷（上海专用） 数学•全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版八年级第一学期+第20章。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项.） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义：“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”． 【解析】解：A．方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．方程，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【解析】解：A．与不是同类二次根式， B．与是同类二次根式， C．与不是同类二次根式， D．与不是同类二次根式， 故选：B． 3．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【解析】解：A、， k＜0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； B、， k＜0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； C、，k=-5＜0，在每个象限里，y随x的增大而增大，故该选项符合题意； D、，k=＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 4．在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【解析】解答：解：， ， 故A能，不符合题意； ，， ， ， 故B能，不符合题意； ，， ， 故C不能，符合题意； ， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 5．下列结论正确的是（   ） A． B．不是最简二次根式 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，最简二次根式的定义，二次根式的除法计算，根据可判断A、C；被开方数不含有分母且被开方数不含有开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可判断B；根据二次根式除法计算法则可判断D． 【解析】解：A、，原结论错误，不符合题意； B、是最简二次根式，原结论错误，不符合题意； C、，原结论错误，不符合题意； D、，原结论正确，符合题意； 故选：D． 6．在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程 的解是 C．当时， D．不等式 的解集是 【答案】C 【分析】根据函数的图象直接进行解答即可． 【解析】解：由函数的图象可知， 当时，，A选项错误，不符合题意； 方程 的解是，B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式 的解集是，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分.） 7．若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可． 【解析】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，注意自变量x的系数不能等于0这个条件． 8．已知一次函数，则 ． 【答案】 【分析】将代入函数解析式进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 9．写出二次根式的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化． 二次根式的有理化的目的就是去掉根号，利用平方差公式可以得到的一个有理化因式是． 【解析】解：∵， ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 10．“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】到角的两边的距离相等的点在角平分线上 【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题. 【解析】“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的点在角平分线上”． 故答案为：到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 11．已知反比例函数的图像上有两点，如果时，那么 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【解析】解：∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∵反比例函数的图像上有两点，且， ∴； 故答案为：． 12．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 【答案】8或0 【分析】根据两点的距离公式解答即可. 【解析】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0， 故答案为：8或0. 【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键. 13．函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记的图象不经过第一象限是解题的关键．由函数的图像不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【解析】解：函数的图像不经过第一象限， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 14．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解，先令，利用求根公式求出两个根，根据分解即可． 【解析】解：令， ， ， ， ∴， 故答案为：． 15．已知直线平行于直线，且在y轴上的截距是5，那么这条直线的表达式 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行问题，解题的关键是掌握平行直线解析式的k值相等，以及截距有正负．根据平行得出，根据与y轴截距为5得出，即可解答． 【解析】解：∵直线平行于直线， ∴， ∵在y轴上的截距是5， ∴， ∴这条直线的表达式为， 故答案为：． 16．已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 【答案】100 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时的值，最后求出剩余路程． 【解析】解：设函数解析式为：， 则：， 解得：， ， 当时，， 解得：， （千米）， 故答案为：100． 17．如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，于是得解． 【解析】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为______________.    【答案】或 【分析】令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【解析】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ．    【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 三、解答题（第19-21题每小题3分，第22-25每小题4分，第26-27题5分，第28题6分，第29题8分，第30题9分，共58分） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算进行计算，即可求解． 【解析】解： ． 20．（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键． 【解析】解：（1）∵； ∴， 则， ∴， ∴或， ∴， （2）∵ ∴整理得， 则， ∴， ∴，． 21．已知如图，在中，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的小侄子，先根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到，由垂直的定义得到，则，进一步证明，得到，则． 【解析】证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程。则可求得的取值范围． 【解析】（1）根据题意，得， ， ； （2）是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 23．去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元． 求：（1）该店第二季度的营业额； （2）该店第三、第四季度营业额的增长率． 【答案】（1）150万元；（2）20% 【分析】（1）根据某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，可以计算出第二季度的营业额； （2）根据（1）中的结果和第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元，可以得到方程150（1＋x）2＝216，然后求解即可． 【解析】解：（1）由题意可得， 第二季度的营业额为：120×（1＋25%）＝120×＝150（万元）， 答：该店第二季度的营业额为150万元； （2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x， 150（1＋x）2＝216， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 24．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （提示：求证命题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…， 求证：…；3．写出证明过程．） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】如图，根据等腰三角形的性质得，∠A=∠1，∠2=∠B，根据三角形的内角和定理得出，∠1+∠2+∠A+∠B=180°，代入即可求出∠1+∠2=90°，即可推出答案． 【解析】 已知：如图，在ΔABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB． 求证：ΔABC是直角三角形． 证明：∵ CD是AB边上的中线， ∴ AD=BD=AB， 又CD=AB， ∵ AD=BD=CD， ∴ ∠A=∠1，∠2=∠B， ∴∠1+∠2=∠A+∠B， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 25．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 【答案】(1) (2)，不在 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要： （1）根据与成正比例，则，将时，代入计算即可； （2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线对应的函数表达式，进行验证即可． 【解析】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 当时，, 所以, 解得，， ∴ ∴， 故y与x之间的函数关系式：； （2）解：由（1）知：， 所以将图象向上平移5个单位后得到直线， ∴直线对应的函数解析式为，即， 当时，故点不在直线上． 26．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数（）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为． （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例函数的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； （2）先分别求出x=1和3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【解析】解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴=OB•AB==， ∴， ∴点A的坐标为（2，），把A（2，）代入， 得=， ∴； （2）∵当x=1时，y=1；当时，， 又∵反比例函数在时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为． 27．如图，已知：． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得点到的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，作射线交于点，则为的角平分线，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，即可获得答案； （2）由（1）可知，为的角平分线，过点作，垂足为，结合点是的中点，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 【解析】（1）解：如下图，点即为所求； （2）由（1）可知，为的角平分线， 过点作，垂足为，如图， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 28．中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）联结MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,根据点F是CD中点，即可判断是的垂直平分线； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而在中，，等量代换即可得 【解析】（1）证明：联结MD． ∵， ∴ ∵点M是AE的中点， ∴．同理可证：， ∴． ∵点F是CD中点， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵点M是AE的中点， ∴． ∵， ∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上． ∴CM是线段AD的垂直平分线． ∴，． ∴． ∴中， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 29．综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题． 问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角= 时，△AMC是等腰三角形； (2)深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明； (3)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)60°或15° (2)见解析 (3)能，30°或60° 【分析】（1）分AM=CM和AC=CM两种情况进行讨论求解即可； （2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，证明△MPE≌△NPC，得PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数． 【解析】（1）解：当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形； ∵∠BAC=90°， ∴α=90°−30°=60°； 当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形， ∵∠C=30°， ∴∠CAM=∠AMC=75°， ∵∠BAC=90°， ∴α=15°， 综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形， 故答案为：60°或15°； （2）证明：由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC， ∵将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°）， ∴∠BAM=∠FAN， 在△ABM与△AFN中， ， ∴△ABM≌△AFN(ASA)， ∴AM=AN， ∵AE=AC， ∴EM=CN， 在△MPE与△NPC中， ， ∴△MPE≌△NPC(AAS)， ∴PE=PC， ∴点P在CE的垂直平分线上， ∵AE=AC， ∴点A在CE的垂直平分线上， ∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线； （3）解：△CPN能成为直角三角形． 如图1所示：当∠CNP=90°时， ∵∠CNP=90°， ∴∠ANF=90°． 又∵∠AFN=60°， ∴∠FAN=180° -60° -90°=30°． ∴=30°． 如图2所示：当∠CPN=90°时， ∵∠C=30°，∠CPN=90°， ∴∠CNP=60°， ∴∠ANF=60°， 又∵∠F=60°， ∴∠FAN=60°， ∴=60°． 综上所述，=30°或60°． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 30．已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【解析】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 ) 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 24 分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ___________ _____ 18. ________________ 三、解答题 19．（3分） 三、解答题（共 86 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（3分） 21．（3分） 22．（4分） 23．（4分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（4分） 已知： 求证： 证明： 25．（4分） 26．（5分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ．（ 5 分） 2 8 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 30．（9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 24 分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题 19．（3 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（3 分） 21．（3 分） 22．（4 分） 23．（4 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（4 分） 已知： 求证： 证明： 25．（4 分） 26．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（5 分） 28．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 29．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 30．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025届八年级下学期开学摸底考试卷（上海专用） 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版八年级第一学期+第20章。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项.） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B．∠ C． D． 5．下列结论正确的是（   ） A． B．不是最简二次根式 C． D． 6．在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程 的解是 C．当时， D．不等式 的解集是 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分.） 7．若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 8．已知一次函数，则 ． 9．写出二次根式的一个有理化因式是 ． 10．“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是 ． 11．已知反比例函数的图像上有两点，如果时，那么 ．（填“”或“”） 12．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 13．函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 14．在实数范围内因式分解： ． 15．已知直线平行于直线，且在y轴上的截距是5，那么这条直线的表达式 ． 16．已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 千米． 17．如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 18．如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为______________.    三、解答题（第19-21题每小题3分，第22-25每小题4分，第26-27题5分，第28题6分，第29题8分，第30题9分，共58分） 19．计算：． 20．（1）解方程：； （2）解方程：． 21．已知如图，在中，，，，求证：． 22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 23．去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元． 求：（1）该店第二季度的营业额； （2）该店第三、第四季度营业额的增长率． 24．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （提示：求证命题的步骤：1．根据题意画出适当的图形；2．根据图形写出已知：…， 求证：…；3．写出证明过程．） 已知： 求证： 证明： 25．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 26．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数（）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为． （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例函数的图象上，求当1≤x≤3时，函数值y的取值范围． 27．如图，已知：． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得点到的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，求证：． 28．中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 29．综合与实践—探究特殊三角形中的相关问题． 问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角= 时，△AMC是等腰三角形； (2)深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明； (3)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角的度数；若不能，请说明理由． 30．已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$