专题01 曲线运动和运动的合成与分解 【六大题型】-【压轴题】2024-2025 学年高中物理同步培优训练（人教版2019必修第二册）

专题01 曲线运动和运动的合成与分解 【六大题型】 一．曲线运动瞬时速度的方向（共2小题） 二．物体做曲线运动的条件（共6小题） 三．合运动与分运动的关系（共9小题） 四．一个匀速直线和一个变速直线运动的合成（共3小题） 五．关联速度问题（共9小题） 六．小船过河问题（共9小题） 一．曲线运动瞬时速度的方向（共2小题） 1．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动，下列说法正确的是（　　） A．物体做变加速曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小为50m/s D．物体运动的初速度大小为10m/s 【答案】C 【解答】解：AB、由图可知，x方向的初速度沿x轴正方向，y方向的初速度沿y轴负方向，则合运动的初速度方向不在y轴方向上；x轴方向的分运动是匀速直线运动，加速度为零，y轴方向的分运动是匀变速直线运动，加速度沿y轴方向，所以合运动的加速度沿y轴方向，与合运动的初速度方向不在同一直线上，因此物体做曲线运动。由于物体的加速度不变，所以物体做匀变速曲线运动，故AB错误。 CD、根据图象可知物体的初速度为：v0＝＝m/s＝50m/s，故C正确，D错误。 故选：C。 2．一质点做曲线运动，如图所示，先后经过A、B、C、D四点，速度分别是vA、vB、vC、vD，试在图中标出各点的速度方向． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：做曲线运动的物体，其方向沿轨迹的切线方向．依次做出ABCD各点的运动的方向如图． 答：如图 二．物体做曲线运动的条件（共6小题） 3．关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．物体受到变力作用时就做曲线运动 B．做曲线运动的物体受到的合外力可以为零 C．做曲线运动的物体速度方向保持不变 D．曲线运动一定是变速运动 【答案】D 【解答】解：A、物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在同一条直线上，而合力的大小可以变，也可以不变，例如平抛运动，合力不变，故A错误； B、物体做曲线运动的条件是所受的合力的方向与速度方向不在同一条直线上，故合外力一定不为零，故B错误； CD、依据曲线运动特征可知：物体做曲线运动时，任意时刻的速度方向是曲线上该点的切线方向上，曲线运动速度方向不断改变，速度是矢量，所以曲线运动一定是变速运动，故C错误、D正确。 故选：D。 4．在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2N力水平旋转60°，则关于物体运动情况的叙述正确的是（　　） A．物体做速度大小不变的曲线运动 B．物体做加速度为在1m/s2的匀变速曲线运动 C．物体做加速度为在m/s2的匀变速曲线运动 D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大 【答案】B 【解答】解：A、将与速度反方向的2N的作用力水平旋转60°时，该力与其余力的合力夹角为120°，这时物体的合力大小为2N，方向与速度的夹角为60°，物体做速度增大的曲线运动，故A错误。 BCD、根据牛顿第二定律得加速度a＝＝＝1m/s2，所以物体做加速度为1m/s2的匀变速曲线运动，速度增大，故B正确，CD错误； 故选：B。 5．关于物体的运动，下列说法正确的是（　　） A．物体做简谐运动，其所受的合外力等于回复力 B．做匀速圆周运动的物体，其速度不变，加速度不变 C．物体做曲线运动时，其速度与加速度的夹角一定随时间而变化 D．从某点抛出一个物体，不计空气阻力，该物体在落地前动量的变化率恒定 【答案】D 【解答】解：A．单摆运动为简谐运动时摆球做竖直面内的变速圆周运动，摆球运动的合外力的径向分力提供向心力，切向分力提供回复力，故A错误； B．做匀速圆周运动的物体，其速度大小不变，加速度大小不变，方向时刻改变，故B错误； C．匀速圆周运动也为曲线运动，物体做匀速圆周运动时，其速度与加速度垂直，夹角不随时间而变化，故C错误； D．从某点抛出一个物体，不计空气阻力，注意分解思想，水平方向不受力，动量的变化率一定0，仅竖直方向改变，根据动量定理可知，该物体在落地前动量的变化率为，其动量的变化率恒定，故D正确； 故选：D。 6．（多选）物体在几个外力的作用下做匀速直线运动，如果撤掉其中的一个力，它可能做（ ） A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀减速直线运动 D．匀速圆周运动 【答案】BC 【解答】解：A、B、C、撤去其中的一个力，其余力的合力与该力等值、反向、共线，与速度方向不共线时，物体做匀变速曲线运动，共线时做匀变速直线运动，故BC正确，A错误； D、匀速圆周运动的合外力的方向始终指向圆心，是变力，在恒力的作用下不可能做匀速圆周运动。故D错误。 故选：BC。 7．（多选）物体运动时，若其加速度大小和方向都不变，则物体（　　） A．一定做匀变速直线运动 B．一定做曲线运动 C．可能做曲线运动 D．可能做匀变速直线运动 【答案】CD 【解答】解：加速度恒定，物体做匀变速运动，当速度方向与加速度在同一直线上，就是匀变速直线运动，当速度方向与加速度方向不在同一直线上，就是匀变速曲线运动，故AB错误、CD正确。 故选：CD。 8．一可视为质点的小球置于光滑的水平面上，处于静止状态．质量为m．现给它一个初速V0的同时施加一恒力F，方向与速度垂直，如图所示，经时间t后把恒力方向改变180°，大小不变．又经时间t，把恒力F撤去，再经时间t． （1）正确画出3t时间内小球的运动轨迹． （2）试求出3t时间内的位移．（用题所给的物理量表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一个时间t，小球做类平抛运动，第二个时间t粒子做曲线运动，经时间t之后沿F方向速度为零，末速度方向与初速度v0方向相同，最后时间t内小球做匀速运动．轨迹如图所示． （2）3t时间内的位移为从A到D的有向线段，根据沿F方向的位移为y＝＝ 沿初速度方向的位移为：x＝3V0t 根据几何关系得：3t时间内的位移s＝＝，方向由A指向D． 答：（1）轨迹如图所示；（2）3t时间内的位移为，方向由A指向D． 三．合运动与分运动的关系（共9小题） 9．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1．由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2．则（　　） A．t2＞t1，v2＝ B．t2＞t1，v2＝ C．t2＝t1，v2＝ D．t2＝t1，v2＝ 【答案】C 【解答】解：由运动的独立性，船对水的航速v不变，航向也不变，则渡河时间为：t＝； 河宽为d，航速v不变，故有：t2＝t1。 船做匀速运动，运动时间为：t＝， 故有：v2＝ 又t2＝t1＝ 联立解得：v2＝，故C正确，ABD错误。 故选：C。 10．（多选）一快艇从离岸边25m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图象如图乙所示，则（　　） A．快艇的运动轨迹一定为直线 B．快艇的运动轨迹一定为曲线 C．快艇最快到达岸边，经过的位移为25m D．快艇最快到达岸边，所用的时间为10s 【答案】BD 【解答】解：AB、两分运动一个做匀加速直线运动，一个做匀速直线运动，知合加速度的方向与合速度的方向不在同一条直线上，合运动为曲线运动，故A错误、B正确； CD、静水速垂直于河岸时，时间最短，在垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d＝at2得，t＝10s； 在沿河岸方向上的位移x＝v2t＝3×10m＝30m，所以最终位移s＝＝m＝5m，故C错误，D正确； 故选：BD。 11．（多选）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，货车以速度v向左做匀速直线运动，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（　　） A．货箱处于超重状态 B．货箱处于失重状态 C．货箱上升的速度为vcosθ D．货箱上升的速度为vtanθ 【答案】AC 【解答】解：将货车的速度进行正交分解，如图所示： 由于绳子不可伸长，货物向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故： vm＝vcosθ 由于θ不断减小，故货物向上做加速运动，加速度向上； 由分析可知，到达图示位置时，货箱向上运动的速度等于vcosθ； 由于货物向上做加速运动，因此货箱处于超重状态， 综上所述，故AC正确，BD错误； 故选：AC。 12．一物体在光滑水平面上运动，它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图象如图所示。 （1）判断物体的运动性质； （2）计算物体的初速度大小； （3）计算物体在前3s内和前6s内的位移大小。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可看出，物体沿x方向的分运动为匀速直线运动，加速度为0．沿y方向的分运动为匀变速直线运动，加速度不变，加速度方向沿y轴正方向，合运动的初速度与加速度不在同一直线上，故物体做匀变速曲线运动。 （2）物体的初速度为：v0＝＝m/s＝50m/s。 由tanα＝＝＝，得α＝53°，故物体的初速度方向与x轴成53°。 （3）根据图象的面积表示位移，可得物体在前3s内： x轴方向的分位移为 sx3＝vx•t＝30×3m＝90m y轴方向的分位移为 sy3＝＝60m 故物体在前3s内的位移大小 s3＝＝＝30m 在前6s内，可得： x轴方向的分位移为 sx6＝vx•t＝30×6m＝180m y轴方向的分位移为 sy36＝0m 故物体在前6s内的位移大小 s36＝sx6＝180m 答：（1）物体的运动性质为匀变速曲线运动 （2）物体的初速度大小为50m/s； （3）物体在前3s内和前6s内的位移大小分别为30m，180m。 13．湖岸MN为一条直线，有一小船自岸边的A点处沿与湖岸成23°角方向匀速向湖中驶去。有一人自A点同时出发，他先沿岸跑一段再跃入水中游泳去追船。已知其在岸上跑的速度V1＝4m/s，在水中游的速度V2＝2m/s，求船的速度至多为多大，此人才能追上船？（已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A点为圆心、以v2t为半径的半圆中的任一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t时间内可以到达AK＝v1t中的任一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t时间内到达图中△AEK中的任一点，所以，他若能够追上船，船也必须在t时间内到达这个区域；由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK线的交点B是船以最大速度运动且又能被人追上的地点。 在Rt△AEK中，由于AK＝2AE，所以∠AKE＝30° 于是∠ABK＝180°﹣23°﹣30°＝127° 在△ABK中，根据正弦定理可得：||＝＝ 而 解得：vmax＝m/s＝2.5m/s。 答：船的速度至多为2.5m/s，此人才能追上船。 14．如图所示，船从A处出发，横渡一条河，如果船头保持沿与河岸垂直的方向匀速航行，那么出发后经10min到达对岸C处，C位于A的正对岸B处下游100m处，如果保持船速不变，船头沿AB连线成α角匀速航行，那么经过12.5min到达B处，求： （1）船在静水中的速度； （2）河宽． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设船在静水中的速度为v，河宽为d． 船头保持沿与河岸垂直的方向匀速航行的是为：t1＝， 水流的速度为：v水＝， 船头沿AB连线成α角匀速航行的时间为：t2＝， 此时船在静水中的速度与水流的速度之间的关系为：vsinα＝v水， 四式联立得：v＝16.7 m/min， d＝167 m． 答：（1）船在静水中的速度为16.7 m/min （2）河宽为167 m 15．在一次抗洪抢险中，消防员正在河宽d＝100m的河中央抢救溺水伤员，已知船在静水中的速度V1＝5m/s，水流速度V2＝3m/s． （1）如果消防员想最快的将伤员送上岸应怎样行驶，用了多少时间？ （2）如果消防员想垂直到达对岸的救治点应怎样行驶，用了多少时间？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短，则知： tmin＝＝＝20s （2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，设与河岸的夹角为θ， 则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得：cosθ＝＝， 这时船头与河水速度夹角为θ＝53° 那么船垂直河岸行驶的速度为v＝； 所以渡河时间t＝＝25s； 答（1）如果消防员想最快的将伤员送上岸，船头应该与河岸垂直，用了20时间； （2）如果消防员想垂直到达对岸的救治点，船头指向应该与河岸成53°角，用了25s时间． 16．如图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．无风力的作用时，高尔夫球恰好落在距击球点水平距离为2L的B洞．设重力加速度为g，求： （1）该球从击出到洞口的时间；该球被击出时初速的大小； （2）若该球受到水平风力的作用，以相同的初速度将该球击出，高尔夫球恰好落在距击球点水平距离为L的A洞．求水平风力的大小及球落地时的速度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据运动的分解：高尔夫球竖直方向做自由落体运动，故 ； 该球从击出到洞口的时间 ； 水平方向做匀速直线运动 2L＝v0t； 故被击出时初速的大小 ． （2）有风时，水平方向做匀减速直线运动，有 ，得到，； 故水平风力 ； 落地时水平分速度为 vx＝v0﹣axt＝0，落地时竖直分速度为； 故落地时的速度大小为：，方向竖直向下． 17．评述题 如图所示，水流在管截面为S的水管中以速率v斜向冲入水槽AB中．水槽AB水平放置，且两端口A和B均敞开．水管与水槽成θ角．设水流冲入水槽时，不存在溅出槽外的现象．求水在槽口呈稳定排放时，水槽两端A和B排出水的质量之比． 以下是某同学的解题思路与解题过程： （1）解题思路 ①设时间t内从水管中流出水的质量为M，则M＝ρV＝ρSvt， ②又设在时间t内由槽口A流出水的质量为MA，槽口B流出水的质量为MB，当水垂直冲入水槽时，MA＝MB＝， ③本题水管中水流可等价地分成水平流向和垂直流向，水的流速v可以分解成水平和垂直两个水流分速，水平水流速v1＝vcosθ，垂直水流速v2＝vsinθ，因此水管中水平方向流出水量为ρSvtcosθ，垂直方向流出水量为ρSvtsinθ． （2）解题过程：基于以上分析，该同学题解如下： 设时间t内从水管中流出水的质量为M＝ρSvt，可等效分成垂直水流量ρSvtsinθ和水平水流量ρSvtcosθ． 因此，槽A端水流出量MA＝ρSvtcosθ+ρSvtsinθ＝ρSvt（cosθ+sinθ），槽B端水流出量MB＝ρSvtsinθ． 稳定排放时，水槽A、B两端水排出量之比＝ρSvt（cosθ+sinθ）：ρSvtsinθ＝1+2cotθ． 检验：当θ→0时，→∞，全部由A槽口流出，θ＝时，＝1，水槽A、B两端水等量地分别流出．均符合问题情景．故题解＝1+2cotθ正确． 针对上述解题思路与题解，请你进行评述： 该同学的题解是否正确？若不正确，请分析原因，并给出你的题解过程和结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：该同学解错，错在水流分解为水平与垂直方向时要满足水量守恒． 设时间t内从水管中流出水的质量为：M＝ρSvt， 把水流分解为水平与垂直两部分，垂直部分流出水的质量为：M1＝ρS⊥vtsinθ＝ρSvtsin2θ， 水平部分流出水的质量为：M2＝ρSvtcos2θ， 槽A端水流出量为：MA＝ρSvtcos2θ+ρSvtsin2θ， 槽B端水流出量为：MB＝ρSvtsin2θ， 质量之比为：＝1+2cot2θ， 答：不正确，错在水流分解为水平与垂直方向时要满足水量守恒．过程见解析过程． 四．一个匀速直线和一个变速直线运动的合成（共3小题） 18．（多选）一个质量为m的质点以速度v0做匀速直线运动，某时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为．质点从受到恒力作用到速度减至最小值的过程（　　） A．质点做变加速曲线运动 B．质点做类平抛运动 C．速度最小时，速度与力F垂直 D．经历的时间为 【答案】CD 【解答】解：AB、质点开始做匀速直线运动，当受到恒定的外力时，加速度恒定，质点减速运动的最小速度不为0，说明质点不是做直线运动，是做匀变速曲线运动，故AB错误； C、质点的速度先减小后增大，其最小值为，分析可知初速度与恒力的夹角为120°，当速度最小时，沿合外力方向的速度为零，即速度最小时，速度与力F垂直，故C正确； D、沿恒力方向根据牛顿第二定律可得加速度为：a＝，在沿恒力方向上有：v0sin30°﹣at＝0，解得质点从受到恒力作用到速度减至最小值的过程经历的时间为，故D正确； 故选：CD。 19．（多选）如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升飞机，A用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B．在直升飞机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l＝H﹣t2（式中H为直升飞机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位）规律变化，则在这段时间内（　　） A．伤员做加速度大小和方向均不变的曲线运动 B．悬索是竖直的 C．悬索的拉力等于伤员的重力 D．伤员做速度大小增加的曲线运动 【答案】ABD 【解答】解：A、B实际的运动是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上匀加速直线运动的合运动。是加速度不变的曲线运动。故A正确。 B、直升飞机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动，所以绳索是竖直的。故B正确。 C、在竖直方向上有向上的加速度，根据牛顿第二定律有F﹣mg＝ma．知拉力大于重力。故C错误。 D、伤员在水平方向上的速度不变，在竖直方向的速度逐渐增大，所以合速度大小逐渐增大。故D正确。 故选：ABD。 20．一质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h， 求：（1）飞机受到的升力大小； （2）上升至h高度时飞机的速度。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）飞机水平速度不变，故： l＝v0t y方向加速度恒定，故： h＝ 消去t，即得： a＝ 由牛顿第二定律，得： F﹣mg＝ma 解得： F＝ （2）在h处，竖直分速度为 vy＝at＝ 合速度为： v＝ 方向： 与水平方向的夹角的正切为： tanθ＝＝ 答：（1）飞机受到的升力大小为； （2）上升至h高度时飞机的速度为，与水平方向的夹角的正切为。 五．关联速度问题（共9小题） 21．如图所示，小球A、B用一根长为L的轻杆相连，竖直放置在光滑水平地面上，小球C挨着小球B放置在地面上。由于微小扰动，小球A沿光滑的竖直墙面下滑，小球B、C在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹角为θ，小球A和墙面恰好分离，最后小球A落到水平地面上。下列说法中不正确的是（　　） A．当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零 B．小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度先增大后减小 C．当小球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C也恰好分离 D．当小球A和墙面恰好分离时，A、B两球的速率之比为tanθ：1 【答案】B 【解答】解：B．从静止开始到小球A和墙面恰好分离的过程，对A、B、C三个小球组成的系统，由于受到竖直墙面向右的弹力，根据动量定理可得Ft＝（mB+mC）vB， 所以小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度一直增大，故B错误； A．对A、B、C三个小球组成的系统，机械能守恒，由B项的分析可知，球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C速度最大，则其加速度最小，机械能最大，则此时A球机械能最小， 所以当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零，故A正确； C．当小球A与墙面分离后，水平方向动量守恒，小球A在水平方向的速度会不断增大，B球在水平方向的速度会不断减小，所以在小球A与墙面分离瞬间，小球 C球和小球B分离，故C正确； D．当小球A和墙面恰好分离时，两球的速度分解如图所示： 两球的速度关联，沿杆方向的速度相等，有vAcosθ＝vBsinθ，可得：，故D正确。 本题选错误的， 故选：B。 22．压缩机通过活塞在气缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘以角速度ω匀速转动。如图所示，OC⊥OA，OB⊥AB，则（　　） A．杆越长，活塞运动的范围越大 B．圆盘从图示位置转过θ角的过程中活塞移动的距离比再转过θ角大 C．图示位置时的活塞速度小于圆盘转过θ角时的活塞速度 D．图示位置时的活塞速度等于圆盘转过θ角时的活塞速度 【答案】B 【解答】解：A.当B点在圆心左侧水平位置时，活塞运动到最左位置，距离O点为：s1＝L+r 当B点在圆心右侧水平位置时，活塞运动到最右位置，距离O点为：s2＝L﹣r 活塞运动范围为：s2﹣s1＝2r，此距离与杆长L无关，与r成正比。故A错误； CD.图示位置时，即当OB垂直于AB时，此时B点的速度方向一定沿杆，则 vAcosθ＝vB＝ωr 圆盘转过θ角时，即当OB垂直AO，活塞速度方向与圆盘上B点速度方向相同，活塞速度方向与杆夹角为θ，有 v'Acosθ＝vBcosθ 解得：v'A＝vB＝ωr 可得：vA＞v'A，故图示位置时的活塞速度大于圆盘转过θ角时的活塞速度，故CD错误； B.设轻杆长度为L＝nr，（n＞1），则tanθ＝＝ 设圆盘从图示位置转过θ角的过程中活塞移动的距离为Δx，由勾股定理可得： Δx1＝＝ 设圆盘再转过θ角时，OA的距离为x，由余弦定理得： x2+r2﹣2xrcos（90°+θ）＝L2，解得：x＝ 设圆盘再转过θ角的过程中活塞移动的距离为Δx2，由勾股定理可得： Δx2＝﹣x＝ 因：Δx1﹣Δx2＝﹣＝＞0 故：Δx1＞Δx2，故B正确。 故选：B。 23．如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方0点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与o点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平（转过了90°角）。下列有关此过程的说法中正确的是（　　） A．重物M做匀速直线运动 B．重物M做匀变速直线运动 C．整个过程中重物一直处于失重状态 D．重物M的速度先增大后减小，最大速度为ωL 【答案】D 【解答】解：设C点线速度方向与绳子沿线的夹角为θ（锐角），由题知C点的线速度为vC＝ωL，该线速度在绳子方向上的分速度就为v绳＝ωLcosθ．θ的变化规律是开始最大（90°）然后逐渐变小，所以，v绳＝ωLcosθ逐渐变大，直至绳子和杆垂直，θ变为零度，绳子的速度变为最大，为ωL；然后，θ又逐渐增大，v绳＝ωLcosθ逐渐变小，绳子的速度变慢。所以知重物的速度先增大后减小，最大速度为ωL，那么重物先超重，后失重。故D正确，ABC错误。 故选：D。 24．（多选）如图所示，倾角θ＝37o的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1kg的物体A和B用一劲度系数k＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住。用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α＝53o，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为d＝0.2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行。现让环C从位置R由静止释放，且环C在下落过程中绳始终未松弛。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。以下说法正确的是（　　） A．小环C的质量为0.72kg B．小环C通过位置S时的动能Ek＝1.08J C．环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT＝0.3J D．小环C运动到位置Q的速率v＝3m/s 【答案】AC 【解答】解：A、先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为： T＝2mgsinθ＝2×10×sin37°＝12N 以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图1所示， 则根据平衡条件可得：T•cos53°＝Mg 代入数据得：M＝0.72kg，故A正确； B、考虑到本题中弹簧有不同的形变量，所以需要先计算不同情况下弹簧的形变量，然后判断出是否需要使用弹簧的弹性势能的表达式．所以需要先计算出弹簧开始时的形变量． 由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态； 根据B沿斜面方向的受力情况可知弹簧弹力：F1＝mgsinθ＝1×10×sin37°N＝6N 弹簧的伸长量：Δx1＝＝m＝0.025m 由题图中的几何关系可知：＝＝＝＝m＝0.25m 所以C由R点运动到S点的过程中，弹簧将缩短：x＝﹣＝0.25m﹣0.20m＝0.05m＞0.025m 可知弹簧将由开始时的伸长状态变成压缩状态，压缩量：Δx2＝x﹣Δx1＝0.05m﹣0.025m＝0.025m＝Δx1 由于弹簧的压缩量等于弹簧开始时的伸长量，所以当C运动到S点时，弹簧的弹性势能与开始时的弹性势能是相等的．而A下降的距离等于弹簧缩短的距离x，即0.05m． 在C从R点运动到S点的过程中，C受到的重力、A受到的重力对A与C组成的系统做功．当C到达S点时，C沿绳子方向的分速度是0，所以A的速度是0，A与C减小的重力势能转化为C的动能，由机械能守恒定律得： Mg•+mg•x•sinθ＝ 代入数据求得环C的动能：Ek＝1.38J，故B错误； C、环下降的过程中重力和绳子的拉力对环做功，由动能定理得：Mg•+WT＝Ek，代入数据得：WT＝0.3J，故C正确； D、结合B选项的分析可知，当环到达Q点时，由于＝，所以，物体A恰好又回到了开始时的位置，弹簧的长度又回到了最初的长度，所以环从R到S的过程中，只有环的重力势能减小，其他的物体的势能保持不变！ 对环在Q点的速度进行分解如图2所示； 由图可知，物体A上升的速度即沿绳子方向的速度，是环C的一个分速度，它们之间的关系：vA＝vcosα＝vcos53°＝0.6v 由功能关系可得：Mg•＝+，代入数据解得：v＝2m/s，故D错误。 故选：AC。 25．（多选）如图所示，一根长为L的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当轻杆以不变的角速度ω顺时针转动至轻杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是（　　） A．小球A的线速度大小为 B．A点与B点角速度相同 C．物块向右运动的速度v＝ D．随着轻杆与水平方向夹角的减小，物块速度先增大后减小 【答案】BC 【解答】解：A、轻杆以不变的角速度ω顺时针转动，根据v＝rω，则有小球A的线速度大小为：vA＝ωL，故A错误； B、A点与B点同处于一直杆，因此它们的角速度相同，故B正确； C、如图所示，根据运动的合成与分解可知，接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度vB＝v，沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v2和v1，其中v2＝vBsinθ＝vsinθ；为B点做圆周运动的线速度，v1＝vBcosθ为B点沿杆运动的速度。当杆与水平方向夹角为θ时，OB＝。 由于B点的线速度为v2＝vsinθ＝OBω＝， 所以物块向右运动的速度：v＝．故C正确； D、随着轻杆与水平方向夹角的减小，由物块向右运动的速度公式：v＝，可知，物块速度一直增大，故D错误。 故选：BC。 26．如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量都不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1kg的物体，A和B用一劲度系数k＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板挡住，用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为d＝0.2m，位置R与位置Q关于S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行，现让环C从位置R由静止释放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2．求： （1）小环C的质量M （2）小环C通过位置S时的动能Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT （3）小环C运动到位置Q的速率v。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力。支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为： T＝2mgsinθ＝2×10×sin37°＝12N 以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图， 则有：T•cos53°＝Mg 代入数据得：M＝0.72kg （2）考虑到本题中弹簧有不同的形变量，所以需要先计算不同情况下弹簧的形变量，然后判断出是否需要使用弹簧的弹性势能的表达式。所以需要先计算出弹簧开始时的形变量。 由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力： F1＝mgsinθ＝1×10×sin37°＝6N 弹簧的伸长量：Δx1＝＝m＝0.025m 由题图中的几何关系可知：＝＝＝＝m＝0.25m 所以C由R点运动到S点的过程中，弹簧将缩短：x＝﹣＝0.25﹣0.20＝0.05m＞0.025m 可知弹簧将由开始时的伸长状态变成压缩状态，压缩量：Δx2＝x﹣Δx1＝0.05﹣0.025＝0.025m＝Δx1 由于弹簧的压缩量等于弹簧开始时的伸长量，所以当C运动到S点时，弹簧的弹性势能与开始时的弹性势能是相等的。而A下降的距离等于弹簧缩短的距离x，即0.05m。 在C从R点运动到S点的过程中，C受到的重力、A受到的重力对A与C组成的系统 做功。当C到达S点时，C沿绳子方向的分速度是0，所以A的速度是0，A与C减小的重力势能转化为C的动能，由机械能守恒定律得： Mg•+mg•x•sinθ＝M 代入数据求得环C的动能：Ek＝M＝1.38J 环下降的过程中重力和绳子的拉力对环做功，由动能定理得： Mg•+WT＝Ek 代入数据得：WT＝0.3J （3）结合第二步的分析可知，当环到达Q点时，由于＝，所以，物体A恰好又回到了开始时的位置，弹簧的长度又回到了最初的长度，所以环从R到S的过程中，只有环的重力势能减小，其他的物体的势能保持不变！ 对环在Q点的速度进行分解如下图，则： 由图可知，物体A上升的速度即沿绳子方向的速度，是环C的一个分速度，它们之间的关系： ＝cosα＝cos53°＝0.6 所以：vA＝0.6vQ 由功能关系：Mg•＝+ 代入数据解得：vQ＝2m/s 答： （1）小环C的质量M是0.72kg； （2）小环C通过位置S时的动能Ek是1.38J，环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT是0.3J； （3）小环C运动到位置Q的速率是2m/s。 27．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为l．先将杆AB竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为 时，A、B两球的速度v1和v2的大小，（不计一切摩擦） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当小球A沿墙下滑距离为l时，A球的速度为v1，B球的速度为v2． 根据系统机械能守恒定律得： 两球沿杆子方向上的速度相等，则有：v1cos60°＝v2cos30°． 联立两式解得：v1＝，v2＝ 答：A、B两球的速度v1和v2的大小分别为、． 28．如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1kg的体A和B用一劲度系数Bk＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面P的挡板P挡住．用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零．图中SD水平且长度为d＝0.2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现让环C从位置R由静止释放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2．求： （1）小环C的质量M； （2）小环C通过位置S时的动能Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT； （3）小环C运动到位置Q的速率v． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为： T＝2mgsinθ＝2×10×sin37°＝12N 以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则： T•cos53°＝Mg 代入数据得：M＝0.72kg （2）考虑到本题中弹簧有不同的形变量，所以需要先计算不同情况下弹簧的形变量，然后判断出是否需要使用弹簧的弹性势能的表达式． 所以需要先计算出弹簧开始时的形变量． 由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力： F1＝mgsinθ＝1×10×sin37°＝6N 弹簧的伸长量：m 由题图中的几何关系可知：m 所以C由R点运动到S点的过程中，弹簧将缩短：m＞0.025m 可知弹簧将由开始时的伸长状态变成压缩状态，压缩量：Δx2＝x﹣Δx1＝0.05﹣0.025＝0.025m＝Δx1 由于弹簧的压缩量等于弹簧开始时的伸长量，所以当C运动到S点时，弹簧的弹性势能与开始时的弹性势能是相等的．而A下降的距离等于弹簧缩短的距离x，即0.05m． 在C从R点运动到S点的过程中，C受到的重力、A受到的重力对A与C组成的系统 做功．当C到达S点时，C沿绳子方向的分速度是0，所以A的速度是0，A与C减小的重力势能转化为C的动能，由机械能守恒定律得： 代入数据求得环C的动能：J 环下降的过程中重力和绳子的拉力对环做功，由动能定理得： 代入数据，得：WT＝0.3J （3）结合第二步的分析可知，当环到达Q点时，由于，所以，物体A恰好又回到了开始时的位置，弹簧的长度又回到了最初的长度，所以环从R到S的过程中，只有环的重力势能减小，其他的物体的势能保持不变！ 对环在Q点的速度进行分解如下图，则： 由图可知，物体A上升的速度即沿绳子方向的速度，是环C的一个分速度，它们之间的关系： 所以：vA＝0.6vQ 由功能关系： 代入数据解得：vQ＝2m/s 答：（1）小环C的质量 是0.72kg； （2）小环C通过位置S时的动能Ek是1.38J，环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功是0.3J； （3）小环C运动到位置Q的速率是2m/s． 29．如图，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量为m的小球B连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块A连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝53°，直杆上C点与两定滑轮在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L＝1m，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C点由静止释放，（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g＝10m/s2）求： （1）连接A的细绳与直杆恰垂直时小物块A的速度大小v1； （2）小物块A在下滑距离为L时的速度大小v2； （3）小物块A能下滑的最大距离sm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）小物块从C点由静止释放，物块A与O1的距离减小，B球下降，当连接A的细绳与直杆恰垂直时，物块A与O1的距离达到最小再增大，此时小球B的速度恰为零， 由动能定理得： 解得：v1≈3.89m/s （2）小物块A在下滑距离为L时，将物块A的速度分解到沿绳子方向和垂直于绳子方向， vAcosθ＝vB 由动能定理得： 解得：v2＝3.76m/s （3）小物块A下滑到最低处时的速度为零， 根据A的重力势能减小量等于B的重力势能增加量得： mAgsmsinθ＝mBgΔh'， 根据几何关系得： 解得：sm≈7.8m 答：（1）连接A的细绳与直杆恰垂直时小物块A的速度大小是3.89m/s； （2）小物块A在下滑距离为L时的速度大小是3.76m/s； （3）小物块A能下滑的最大距离是7.8m． 六．小船过河问题（共9小题） 30．（多选）如图所示，河宽为500m，小船在静水中速度为5m/s，水的流速为3m/s，小船渡河的时间可能为（　　） A．150s B．100s C．75s D．50s 【答案】AB 【解答】解：当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短，则有：tmin＝＝s＝100s， 因此小船渡河的时间：t≥tmin，故AB正确，CD错误； 故选：AB。 31．（多选）小船在静水中的航行速度为v1，若小船在水流速度为v2的小河中渡河，已知河的宽度为d，下列说法正确的是（　　） A．船到达对岸所需的最短时间是tmin＝ B．船到达对岸所需的最短时间是tmin＝ C．船到达对岸通过的最小位移若v1≥v2，Smin＝d D．船到达对岸通过的最小位移若v1≤v2，Smin＝ 【答案】ACD 【解答】解：AB、当静水中船速度的方向与河岸垂直时，渡河的时间最短，最短时间是：tmin＝，故A正确，B错误； C、当静水速大于等于水流速，即v1≥v2时，合速度方向可以垂直于河岸，渡河位移最短，最小位移就是河的宽度，即s＝d，故C正确； D、当静水速小于等于水流速，即v1≤v2时，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，当合速度的方向与静水速的方向垂直时，渡河位移最短。 设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，sinθ＝，则渡河的最小位移是：S＝＝，故D正确。 故选：ACD。 32．（多选）如图所示，河宽L＝200m，河水的流速大小为v1＝3m/s。一小船在静水中的速度v2＝4m/s，小船自A处出发，渡河时，船头始终垂直河岸方向，到达对岸B处。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河时间为40s B．B点在A点下游120m C．A、B两点间距离为250m D．船头朝向合适时，小船可以到达A点正对岸 【答案】CD 【解答】解：A、渡河时，船头始终垂直河岸方向，则小船渡河时间：t＝＝s＝50s，故A错误； B、船随水漂流，x＝v1t＝3×50m＝150m，即B点在A点下游150m，故B错误； C、根据平行四边形定则可知，A、B两点间距离：s＝＝m＝250m，故C正确； D、分析可知，小船在静水中的速度大于河水的流速，当合速度与河岸垂直，小船到达正对岸， 设静水中速度的方向与河岸的夹角为θ，cosθ＝＝＝0.75，当θ满足上述条件时，小船可以到达A点正对岸，故D正确。 故选：CD。 33．小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速为4m/s，求：（1）当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时何处到达对岸。 （2）要是小船到达正对岸，应如何行驶？历时多长。 （3）小船过河的最短时间为多少？ （4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，怎样过河才能使船漂向下游的距离最小？最小距离是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当小船的船头始终正对对岸时，渡河时间为： t＝＝s＝50s 此过程船沿河流方向的位移为：s＝v水t＝2×50m＝100m 所以船将历时50s时在河对岸的下游100m到达对岸。 （2）要是小船到达正对岸，船在沿河岸方向上的合速度为零，即船的速度在沿河岸方向上的分量与水流的速度等大反向，设船在静水中的速度方向与河岸之间的夹角为θ，有： v船cosθ＝v水 代入数据解得：θ＝60° 到达对岸的时间为：t′＝＝＝s （3）当小船的船头始终正对对岸时，渡河时间最短，为：t＝50s （4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，因水流的速度大于船在静水中的速度，所船不能垂直于河岸对河，要使渡河距离最小，需要使船在静水中的速度方向垂直于合速度的方向，此时合速度与河岸方向之间的夹角为θ′，有：sinθ′＝＝0.6 得：θ′＝37° 此情况下渡河，船漂向下游的距离为：s′＝＝＝267m 答：（1）当小船的船头始终正对对岸时，它将在历时50s时在河对岸的下游100m处到达对岸。 （2）要是小船到达正对岸，应船头指向河上游，与河岸成60°角的方向行驶，历时s。 （3）小船过河的最短时间为50s （4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，需要使船在静水中的速度方向垂直于合速度的方向，才能使船漂向下游的距离最小，最小距离是267m。 34．一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s．若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向的位移． ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． t＝＝s＝36s ②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一角度α． 垂直河岸过河这就要求v水平＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有v2sinα＝v1 得α＝30°． 所以当船头向上游偏30°时航程最短． s＝d＝180m． 答： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝应朝垂直河岸方向，用36s； ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝上游与河岸成30°，位移，180m． 35．有一小船正在渡河，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域．假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸．求： （1）小船从现在起相对于静水的最小速度 （2）船头的指向？． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设小船到达危险水域前，恰好到达对岸，则其合位移方向如图所示，设合位移方向与河岸的夹角为α，则： tanα＝＝，即α＝37°； 小船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知，当船相对于静水的速度 v1垂直于合速度时，v1最小，由图可知，v1的最小值为： v1min＝v2sinα＝5×m/s＝3m/s 这时v1的方向与河岸的夹角β＝90°﹣α＝53°； 而在离对岸30m时，离其下游40m，则OB的方向与OA的方向夹角为53°，即为小船船头的指向． 答：（1）小船从现在起相对于静水的最小速度为3m/s； （2）船头的指向与河岸方向成53度角且斜向左上方． 36．一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示。如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：t1＝10min＝600s，t2＝12.5min＝750s 设河宽为d，河水流速为v1，船速第一次为v2，第二次为，（v2、大小相同，方向不同）船两次运动速度合成如图所示： 由题意有： 在垂直于河岸的方向上：d＝v2•t1＝•sinα•t2…① 在沿河流的方向上：SBC＝v1•t1…② ＝cosα…③ v2＝…④ 以上各式联立，代入数据可求得：河宽d＝200m 答：河的宽度为200m 37．小船在宽度为300m，水流速度为5m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为10m/s，两岸是平行的，求： （1）若要使小船最短时间过河，它将在何时何处到达对岸？ （2）若要使小船到达正对岸，最短位移为？小船应如何行驶？要用多长时间？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）船渡河时间最短，就是在垂直于河岸方向上的速度最大，即为让船头始终指向对岸，渡河时间为： tmin＝＝＝30s 船沿河流方向上的位移为：s＝v水•tmin＝5×30＝150m （2）要使船航程最短，即为让船垂直河岸渡河，船航行的实际速度垂直于河岸，如图所示 设船在静水中的速度方向与河岸间的夹角为θ，船在静水中的速度沿河岸上的分量大小与水流的速度大小相等，方向相反，有：v静•cosθ＝v水 即为：cosθ＝ 得：θ＝60° 即为船头指向上游，与河岸间的夹角为60° 此时合速度为：v合＝＝5m/s 渡河时间为：t＝＝＝20s 答：（1）若要使小船最短时间过河，它将在30s，到达偏离正对岸下游150m； （2）若要使小船到达正对岸，最短位移为300m，小船应偏向上游，要用20s时间。 38．小船在宽度为200m、水流速度为2m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4m/s，两岸是平行的，求： （1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸？ （2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应如何行驶？要用多长时间？ （3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶多长时间，在何处到达对岸． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当小船船头始终正对岸时，即静水速垂直于河岸 则渡河时间t＝＝s＝50s 那么船沿着水流的位移为x＝vst＝2×50＝100m （2）合速度的大小v＝＝m/s＝2m/s 则渡河时间t′＝＝s＝s． 设船头偏向上游的夹角为θ，则有：cosθ＝＝ 解得：θ＝60° （3）将船在静水中的速度分解成竖直河岸与平行河岸，平行河岸的速度，再与水流速度合成， 因此船过河的时间为t″＝＝＝100s； 而逆流而上的速度为v′＝2﹣2 m/s 那么偏向上游的位移为s′＝146m 答：（1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在50s，离正对岸下游100m到达对岸； （2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应偏向上游60°行驶，要用s时间； （3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶100s时间，在偏向上游146m处到达对岸． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 曲线运动和运动的合成与分解 【六大题型】 一．曲线运动瞬时速度的方向（共2小题） 二．物体做曲线运动的条件（共6小题） 三．合运动与分运动的关系（共9小题） 四．一个匀速直线和一个变速直线运动的合成（共3小题） 五．关联速度问题（共9小题） 六．小船过河问题（共9小题） 一．曲线运动瞬时速度的方向（共2小题） 1．一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动，下列说法正确的是（　　） A．物体做变加速曲线运动 B．物体做直线运动 C．物体运动的初速度大小为50m/s D．物体运动的初速度大小为10m/s 2．一质点做曲线运动，如图所示，先后经过A、B、C、D四点，速度分别是vA、vB、vC、vD，试在图中标出各点的速度方向． 二．物体做曲线运动的条件（共6小题） 3．关于曲线运动，下列说法正确的是（　　） A．物体受到变力作用时就做曲线运动 B．做曲线运动的物体受到的合外力可以为零 C．做曲线运动的物体速度方向保持不变 D．曲线运动一定是变速运动 4．在光滑水平面上有一质量为2kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2N力水平旋转60°，则关于物体运动情况的叙述正确的是（　　） A．物体做速度大小不变的曲线运动 B．物体做加速度为在1m/s2的匀变速曲线运动 C．物体做加速度为在m/s2的匀变速曲线运动 D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大 5．关于物体的运动，下列说法正确的是（　　） A．物体做简谐运动，其所受的合外力等于回复力 B．做匀速圆周运动的物体，其速度不变，加速度不变 C．物体做曲线运动时，其速度与加速度的夹角一定随时间而变化 D．从某点抛出一个物体，不计空气阻力，该物体在落地前动量的变化率恒定 6．（多选）物体在几个外力的作用下做匀速直线运动，如果撤掉其中的一个力，它可能做（　　） A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动 C．匀减速直线运动 D．匀速圆周运动 7．（多选）物体运动时，若其加速度大小和方向都不变，则物体（　　） A．一定做匀变速直线运动 B．一定做曲线运动 C．可能做曲线运动 D．可能做匀变速直线运动 8．一可视为质点的小球置于光滑的水平面上，处于静止状态．质量为m．现给它一个初速V0的同时施加一恒力F，方向与速度垂直，如图所示，经时间t后把恒力方向改变180°，大小不变．又经时间t，把恒力F撤去，再经时间t． （1）正确画出3t时间内小球的运动轨迹． （2）试求出3t时间内的位移．（用题所给的物理量表示） 三．合运动与分运动的关系（共9小题） 9．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1．由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2．则（　　） A．t2＞t1，v2＝ B．t2＞t1，v2＝ C．t2＝t1，v2＝ D．t2＝t1，v2＝ 10．（多选）一快艇从离岸边25m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图象如图乙所示，则（　　） A．快艇的运动轨迹一定为直线 B．快艇的运动轨迹一定为曲线 C．快艇最快到达岸边，经过的位移为25m D．快艇最快到达岸边，所用的时间为10s 11．（多选）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，货车以速度v向左做匀速直线运动，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（　　） A．货箱处于超重状态 B．货箱处于失重状态 C．货箱上升的速度为vcosθ D．货箱上升的速度为vtanθ 12．一物体在光滑水平面上运动，它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图象如图所示。 （1）判断物体的运动性质； （2）计算物体的初速度大小； （3）计算物体在前3s内和前6s内的位移大小。 13．湖岸MN为一条直线，有一小船自岸边的A点处沿与湖岸成23°角方向匀速向湖中驶去。有一人自A点同时出发，他先沿岸跑一段再跃入水中游泳去追船。已知其在岸上跑的速度V1＝4m/s，在水中游的速度V2＝2m/s，求船的速度至多为多大，此人才能追上船？（已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6） 14．如图所示，船从A处出发，横渡一条河，如果船头保持沿与河岸垂直的方向匀速航行，那么出发后经10min到达对岸C处，C位于A的正对岸B处下游100m处，如果保持船速不变，船头沿AB连线成α角匀速航行，那么经过12.5min到达B处，求： （1）船在静水中的速度； （2）河宽． 15．在一次抗洪抢险中，消防员正在河宽d＝100m的河中央抢救溺水伤员，已知船在静水中的速度V1＝5m/s，水流速度V2＝3m/s． （1）如果消防员想最快的将伤员送上岸应怎样行驶，用了多少时间？ （2）如果消防员想垂直到达对岸的救治点应怎样行驶，用了多少时间？ 16．如图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．无风力的作用时，高尔夫球恰好落在距击球点水平距离为2L的B洞．设重力加速度为g，求： （1）该球从击出到洞口的时间；该球被击出时初速的大小； （2）若该球受到水平风力的作用，以相同的初速度将该球击出，高尔夫球恰好落在距击球点水平距离为L的A洞．求水平风力的大小及球落地时的速度． 17．评述题 如图所示，水流在管截面为S的水管中以速率v斜向冲入水槽AB中．水槽AB水平放置，且两端口A和B均敞开．水管与水槽成θ角．设水流冲入水槽时，不存在溅出槽外的现象．求水在槽口呈稳定排放时，水槽两端A和B排出水的质量之比． 以下是某同学的解题思路与解题过程： （1）解题思路 ①设时间t内从水管中流出水的质量为M，则M＝ρV＝ρSvt， ②又设在时间t内由槽口A流出水的质量为MA，槽口B流出水的质量为MB，当水垂直冲入水槽时，MA＝MB＝， ③本题水管中水流可等价地分成水平流向和垂直流向，水的流速v可以分解成水平和垂直两个水流分速，水平水流速v1＝vcosθ，垂直水流速v2＝vsinθ，因此水管中水平方向流出水量为ρSvtcosθ，垂直方向流出水量为ρSvtsinθ． （2）解题过程：基于以上分析，该同学题解如下： 设时间t内从水管中流出水的质量为M＝ρSvt，可等效分成垂直水流量ρSvtsinθ和水平水流量ρSvtcosθ． 因此，槽A端水流出量MA＝ρSvtcosθ+ρSvtsinθ＝ρSvt（cosθ+sinθ），槽B端水流出量MB＝ρSvtsinθ． 稳定排放时，水槽A、B两端水排出量之比＝ρSvt（cosθ+sinθ）：ρSvtsinθ＝1+2cotθ． 检验：当θ→0时，→∞，全部由A槽口流出，θ＝时，＝1，水槽A、B两端水等量地分别流出．均符合问题情景．故题解＝1+2cotθ正确． 针对上述解题思路与题解，请你进行评述： 该同学的题解是否正确？若不正确，请分析原因，并给出你的题解过程和结论． 四．一个匀速直线和一个变速直线运动的合成（共3小题） 18．（多选）一个质量为m的质点以速度v0做匀速直线运动，某时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为．质点从受到恒力作用到速度减至最小值的过程（　　） A．质点做变加速曲线运动 B．质点做类平抛运动 C．速度最小时，速度与力F垂直 D．经历的时间为 19．（多选）如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升飞机，A用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B．在直升飞机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l＝H﹣t2（式中H为直升飞机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位）规律变化，则在这段时间内（　　） A．伤员做加速度大小和方向均不变的曲线运动 B．悬索是竖直的 C．悬索的拉力等于伤员的重力 D．伤员做速度大小增加的曲线运动 20．一质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h， 求：（1）飞机受到的升力大小； （2）上升至h高度时飞机的速度。 五．关联速度问题（共9小题） 21．如图所示，小球A、B用一根长为L的轻杆相连，竖直放置在光滑水平地面上，小球C挨着小球B放置在地面上。由于微小扰动，小球A沿光滑的竖直墙面下滑，小球B、C在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹角为θ，小球A和墙面恰好分离，最后小球A落到水平地面上。下列说法中不正确的是（　　） A．当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零 B．小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度先增大后减小 C．当小球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C也恰好分离 D．当小球A和墙面恰好分离时，A、B两球的速率之比为tanθ：1 22．压缩机通过活塞在气缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘以角速度ω匀速转动。如图所示，OC⊥OA，OB⊥AB，则（　　） A．杆越长，活塞运动的范围越大 B．圆盘从图示位置转过θ角的过程中活塞移动的距离比再转过θ角大 C．图示位置时的活塞速度小于圆盘转过θ角时的活塞速度 D．图示位置时的活塞速度等于圆盘转过θ角时的活塞速度 23．如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方0点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与o点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平（转过了90°角）。下列有关此过程的说法中正确的是（　　） A．重物M做匀速直线运动 B．重物M做匀变速直线运动 C．整个过程中重物一直处于失重状态 D．重物M的速度先增大后减小，最大速度为ωL 24．（多选）如图所示，倾角θ＝37o的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1kg的物体A和B用一劲度系数k＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住。用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α＝53o，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为d＝0.2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行。现让环C从位置R由静止释放，且环C在下落过程中绳始终未松弛。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。以下说法正确的是（　　） A．小环C的质量为0.72kg B．小环C通过位置S时的动能Ek＝1.08J C．环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT＝0.3J D．小环C运动到位置Q的速率v＝3m/s 25．（多选）如图所示，一根长为L的轻杆，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当轻杆以不变的角速度ω顺时针转动至轻杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是 A．小球A的线速度大小为 B．A点与B点角速度相同 C．物块向右运动的速度v＝ D．随着轻杆与水平方向夹角的减小，物块速度先增大后减小 26．如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量都不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1kg的物体，A和B用一劲度系数k＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板挡住，用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为d＝0.2m，位置R与位置Q关于S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行，现让环C从位置R由静止释放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2．求： （1）小环C的质量M （2）小环C通过位置S时的动能Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT （3）小环C运动到位置Q的速率v。 27．如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为l．先将杆AB竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为 时，A、B两球的速度v1和v2的大小，（不计一切摩擦） 28．如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1kg的体A和B用一劲度系数Bk＝240N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面P的挡板P挡住．用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零．图中SD水平且长度为d＝0.2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现让环C从位置R由静止释放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2．求： （1）小环C的质量M； （2）小环C通过位置S时的动能Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT； （3）小环C运动到位置Q的速率v． 29．如图，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量为m的小球B连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块A连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝53°，直杆上C点与两定滑轮在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L＝1m，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C点由静止释放，（sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g＝10m/s2）求： （1）连接A的细绳与直杆恰垂直时小物块A的速度大小v1； （2）小物块A在下滑距离为L时的速度大小v2； （3）小物块A能下滑的最大距离sm． 六．小船过河问题（共9小题） 30．（多选）如图所示，河宽为500m，小船在静水中速度为5m/s，水的流速为3m/s，小船渡河的时间可能为（　　） A．150s B．100s C．75s D．50s 31．（多选）小船在静水中的航行速度为v1，若小船在水流速度为v2的小河中渡河，已知河的宽度为d，下列说法正确的是（　　） A．船到达对岸所需的最短时间是tmin＝ B．船到达对岸所需的最短时间是tmin＝ C．船到达对岸通过的最小位移若v1≥v2，Smin＝d D．船到达对岸通过的最小位移若v1≤v2，Smin＝ 32．（多选）如图所示，河宽L＝200m，河水的流速大小为v1＝3m/s。一小船在静水中的速度v2＝4m/s，小船自A处出发，渡河时，船头始终垂直河岸方向，到达对岸B处。下列说法正确的是（　　） A．小船渡河时间为40s B．B点在A点下游120m C．A、B两点间距离为250m D．船头朝向合适时，小船可以到达A点正对岸 33．小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速为4m/s，求：（1）当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时何处到达对岸。 （2）要是小船到达正对岸，应如何行驶？历时多长。 （3）小船过河的最短时间为多少？ （4）若水流速度是5m/s，船在静水中的速度是3m/s，怎样过河才能使船漂向下游的距离最小？最小距离是多少？ 34．一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s．若船在静水中的速度为v2＝5m/s，求： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？位移是多少？ 35．有一小船正在渡河，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域．假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸．求： （1）小船从现在起相对于静水的最小速度 （2）船头的指向？． 36．一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示。如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。 37．小船在宽度为300m，水流速度为5m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为10m/s，两岸是平行的，求： （1）若要使小船最短时间过河，它将在何时何处到达对岸？ （2）若要使小船到达正对岸，最短位移为？小船应如何行驶？要用多长时间？ 38．小船在宽度为200m、水流速度为2m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4m/s，两岸是平行的，求： （1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸？ （2）若要使小船的船头到达正对岸，小船应如何行驶？要用多长时间？ （3）若小船航向跟上游河岸成30°角，它将行驶多长时间，在何处到达对岸． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$