第07讲 定义、命题、定理（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第07讲 定义、命题、定理 课程标准 学习目标 ①定义与命题 ②定理与证明 1. 掌握命题的定义及其分类，能够熟练的判断命题，真命题，假命题。 2. 能够对命题进行改写，准确的写出命题的题设与结论部分。 3. 能够熟练掌握定理的定义，并对其证明。 知识点01 定义与命题 1. 定义： 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 2. 命题的定义： 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 3. 命题的组成： 命题由 题设 与 结论 两部分组成。 题设 是已知事项， 结论 是由已知事项推出的事项。 4. 命题的改写： 命题通常可以改写成 如果......，那么...... 的形式。如果后面跟题设部分 ，那么后面跟结论部分。 有些题设或结论不明显的命题在改写时，需要调整顺序或者增减词语。 5. 命题的分类： 根据命题判定的真假可以把命题分为 真命题 和 假命题 。 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题：命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 【即学即练1】 1．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好 （2）这本书你看完了吗？ （3）如果a＝﹣b，那么a2＝b2 （4）奇数不能被2整除． 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【解答】解：（1）今天的天气真好，是陈述句，不是命题； （2）这本书你看完了吗？不是命题； （3）如果a＝﹣b，那么a2＝b2是命题， （4）奇数不能被2整除，是命题． 【即学即练2】 2．下列命题中，真命题的个数有（　　） ①同一平面内，两条直线一定互相平行； ②有一条公共边的角叫邻补角； ③内错角相等． ④对顶角相等； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据同一平面内两直线的位置关系、邻补角、平行线的性质、对顶角及点到直线的距离等知识性质逐一进行判断即可． 【解答】解：①同一平面内两直线的位置关系有相交、平行、重合，故错误，不是真命题； ②两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，所以有一条公共边的角叫邻补角错误，不是真命题； ③只有两条直线平行，内错角相等，所以只说内错角相等错误，不是真命题； ④对顶角相等是真命题； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离是假命题； 所以④为真命题； 故选：B． 【即学即练3】 3．下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）两直线平行，同位角相等． （2）若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则∠A＝∠C． （3）不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答． 【解答】解：（1）条件：两直线平行；结论：同位角相等； （2）条件：∠A＝∠B，∠B＝∠C，结论：∠A＝∠C； （3）条件：不等式的两边同乘一个负数，结论：不等号方向改变． 【即学即练4】 4．把下列命题改成“如果…那么…”的形式． （1）不相交的两条直线是平行线 （2）对顶角相等 （3）经过一点有且只有一条垂线 （4）直角都相等． 【分析】（1）先分清命题“不相交的两条直线是平行线”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式； （2）先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式； （3）先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式； （4）先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式． 【解答】解：（1）不相交的两条直线是平行线，∵原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”， ∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”． （2）相等的两个角是对顶角， ∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （3）经过一点有且只有一条垂线， ∵原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂线”， ∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”． （4）直角都相等． ∵原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”， ∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”． 知识点02 定理与证明 1. 定理的定义： 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 2. 证明： 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 【即学即练1】 5．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这三个命题中，真命题的个数为 　3　； （2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） 如图，已知 　①∠1＝∠2，②∠C＝∠D　， 求证：　③∠A＝∠F　 证明：　∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠2（等量代换）， ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．　 【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性； （2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论． 【解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确， 故答案为3 （2）已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F， 证明：如图所示： ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠2（等量代换）， ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 证明步骤同上． 故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F； 题型01 判断命题以及判断真假命题 【典例1】下列语句中，不是命题的是（　　） A．如果a＞b，那么b＜a B．同位角相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线OA 【分析】根据命题的定义一一判断即可． 【解答】解：A、如果a＞b，那么b＜a，是命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，是命题，本选项不符合题意； C、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意； D、反向延长射线OA，不是命题，本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】下列句子中是命题的是（　　） A．美丽的天空 B．对顶角相等 C．你的作业做完了吗？ D．作线段AB＝CD 【分析】根据命题的定义分别进行判断． 【解答】解：A、美丽的天空是描述性语句，不是命题； B、对顶角相等，对问题作出了判断，是命题； C、你的作业做完了吗？是疑问句，不是命题； D、作线段AB＝CD是描述性语句，不是命题； 故选：B． 【典例2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【分析】利用平行线的判定方法，对顶角的定义，平行线的性质以及点到直线的距离的定义，分别判断即可解答． 【解答】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故A符合题意； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行的前提是在同一平面内，故B不符合题意； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才能相等，故C不符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故D不符合题意， 故选：A． 【变式1】下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0 D．两直线平行，内错角相等 【分析】根据对顶角的性质，实数的性质，平行线的性质判断即可． 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故不符合题意； B、若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故不符合题意； C、若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＞0，故不符合题意； D、两直线平行，内错角相等，故符合题意； 故选：D． 【典例3】下列命题中，是假命题的是（　　） A．三个角都是60°的三角形是等边三角形 B．两个锐角的和是钝角 C．若|a|＝3，则a＝±3 D．在同一平面内，若直线a⊥l，b⊥l，则a∥b 【分析】根据等边三角形的判定，平行线的判定，绝对值的定义，角的和差定义一一判断即可、 【解答】解：A、三个角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题，本选项不符合题意； B、两个锐角的和是钝角，是假命题，30°+30°＝60°，60°是锐角，本选项符合题意； C、若|a|＝3，则a＝±3，是真命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，若直线a⊥l，b⊥l，则a∥b，是真命题，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列命题中，是假命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 D．两点确定一条直线 【分析】利用对顶角的定义、垂线的性质、两直线的位置关系及确定直线的条件分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意； B、垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意； C、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，正确，是真命题，不符合题意； D、两点确定一条直线，正确，是真命题，不符合题意， 故选：A． 题型02 对命题进行改写 【典例1】把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式 　如果两个角是对顶角，那么它们相等　，它是 　真　命题（填“真”或“假”）． 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 正确，是真命题． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等，真． 【变式1】将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　同一平面内，如果的两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　． 【分析】首先分清原命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 【解答】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式， 是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【变式2】把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： 　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行　． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【变式3】将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出它们的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数． 【分析】将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论． 【解答】解：（1）如果一个数是有理数，那么这个数一定是自然数． 题设：一个数是有理数．结论：这个数一定是自然数，是假命题； （2）如果一个数是几个负数之和，那么这个数是负数． 题设：一个数是几个数的之和，结论：这个数是负数．是真命题． 题型03 对定理进行证明 【典例1】如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【解答】已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C 求证：∠A＝∠D 证明：∵∠1＝∠3 又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠2 ∴EC∥BF ∴∠AEC＝∠B 又∵∠B＝∠C ∴∠AEC＝∠C ∴AB∥CD ∴∠A＝∠D 【变式1】如图所示，现有下列4个事项： （1）∠1＝∠2，（2）∠3＝∠B，（3）FG⊥AB于G，（4）CD⊥AB于D． 以上述4个事项中的（1）、（2）、（3）三个作为一个命题的已知条件，（4）作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题． 【分析】先由平行线的判定定理得出DE∥BC，GF∥CD，再由FG⊥AB于G得出∠BGF＝90°，进而可得出结论． 【解答】证明：∵∠3＝∠B， ∴DE∥BC， ∴∠1＝∠BCD． ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BCD， ∴GF∥CD， ∴∠CDB＝∠BGF． ∵FG⊥AB， ∴∠BGF＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB． 【变式2】如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． （1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题； （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 【分析】（1）以三个条件的任意2个为题设，另外一个为结论组成命题即可； （2）根据平行线的性质进行证明． 【解答】解：（1）命题1：∵AB∥CD，AM∥EN； ∴∠BAM＝∠CEN； 命题2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN； ∴AM∥EN； 命题3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN； ∴AB∥CD； （2）证明命题1： ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CEA， ∵AM∥EN， ∴∠3＝∠4， ∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4， 即∠BAM＝∠CEN． 【变式3】已知如图，BC与DE相交于点O，给出下面三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE； ③BC∥EF．请以其中的两个论断为条件，填入“题设”栏中；剩下的论断为结论， 填入“结论”栏中，使之成为一个真命题，并加以证明． 题设：已知：如图，BC与DE相交于点O，　②　，　③　（填序号）． 结论：　①　（填序号）． 证明： 【分析】根据AB∥DE推出∠B＝∠COD，推出∠E＝∠COD，再根据等量代换得出∠B＝∠E． 【解答】解：题设：②、③； 结论：①； 证明过程如下： ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠COD， 又∵BC∥EF， ∴∠E＝∠COD， ∴∠B＝∠E． 故答案为②，③，①． 1．下列语句，不是命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 2．下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．直角都相等 C．同位角相等 D．全等三角形的对应角相等 【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据直角的定义对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据全等三角形的性质对D进行判断． 【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题； B、直角都相等，所以B选项为真命题； C、两直线平行，内错角相等，所以C选项为假命题； D、全等三角形的对应角相等，所以D选项为真命题． 故选：C． 3．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定判断即可． 【解答】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 4．以下正确的命题共有（　　） ①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线OA与射线AO为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用确定直线的条件、及直线的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①过一点可画无数条直线，正确，符合题意； ②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条或1条直线，故原命题错误，不符合题意； ③射线OA与射线AO不是同一射线，故原命题错误，不符合题意； ④三条直线两两相交，必有1个或3个交点，故原命题错误，不符合题意， 正确的有1个， 故选：A． 5．要说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣2 【分析】根据反例满足条件，结论与原结论矛盾，进行判断即可． 【解答】解：A、不满足|a|＞|b|，不符合题意； B、条件和结论都与原命题相符，不符合题意； C、条件和结论都与原命题相符，不符合题意； D、条件满足|a|＞|b|，结论与原命题矛盾，符合题意； 故选：D． 6．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 【分析】根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解． 【解答】解：A、，是真命题，故本选项不符合题意； B、，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意； C、，是真命题，故本选项不符合题意； D、，是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 7．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（　　） A．∠1＝92°，∠2＝40° B．∠1＝89°，∠2＝2° C．∠1＝110°，∠2＝30° D．∠1＝103°，∠2＝3° 【分析】根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可． 【解答】解：A、92°﹣40°＝52°，52°是锐角，故本选项不符合题意； B、89°不是钝角，故本选项不符合题意； C、110°﹣30°＝80°，80°是锐角，故本选项不符合题意； D、103°﹣3°＝100°，100°是钝角，故本选项符合题意； 故选：D． 8．要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4 【分析】根据加法法则知识进行判断即可． 【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如﹣1+（﹣3）＝﹣4， 故选：D． 9．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（　　） A．k＝1 B．k＝2 C．k＝4 D．k＝8 【分析】根据四个选项中的k值进行判断即可． 【解答】解：四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例判断如下： A、k＝1不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例； B、k＝2是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例； 选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例． 故选：B． 10．下列命题中，是假命题的是（　　） A．若AB∥EF，则∠4＝∠B B．若DE∥BC，则∠2＝∠4 C．若∠1＝∠B，则∠3＝∠C D．若∠1＝∠2，则∠2＝∠4 【分析】根据平行线的性质和判定定理判断即可． 【解答】解：A、若AB∥EF，则∠4＝∠B，是真命题，不符合题意； B、若DE∥BC，则∠2＝∠4，是真命题，不符合题意； C、当∠1＝∠B时，DE∥BC，则∠3＝∠C，故本选项命题是真命题，不符合题意； D、当∠1＝∠2时，AB∥EF，不能证明∠2＝∠4，故本选项命题是假命题，符合题意； 故选：D． 11．命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”是 　真　命题（填“真”或“假”）． 【分析】利用平行线的传递性进行判断即可． 【解答】解：命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”是真命题． 故答案为：真． 12．命题“同位角相等”的条件是 　两个角是同位角　，结论是 　相等　． 【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答． 【解答】解：命题中，已知的事项是“两个角是同位角”，由已知事项推出的事项是“相等”， 所以“两个角是同位角”是命题的题设部分，“相等”是命题的结论部分． 故答案为：两个角是同位角，相等． 13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 　两个角是对顶角　，那么 　这两个角相等　． 【分析】改写成“如果……，那么……”的形式时，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论． 【解答】答案：两个角是对顶角；这两个角相等． 解：“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 14．用一组a，b的值说明命题：“若a2＝b2，则a＝b”是错误的，这组值可以是a＝ 　1　，b＝ 　﹣1（答案不唯一）　． 【分析】通过a取1，b取﹣1可说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是错误的． 【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，满足a2＝b2，但a≠b．故命题错误． 故答案为：1，﹣1（答案不唯一）． 15．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题： ①2222是“回文数”； ②所有两位数中，有9个“回文数”； ③所有三位数中，有81个“回文数”； ④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有 　①②④　．（填序号） 【分析】根据“回文数”的定义进行分析即可求解． 【解答】解：①根据定义2222正读倒读都一样，故2222是“回文数”；①是真命题； ②两位数的“回文数”为：11，22，33，44，55，66，77，88，99，合计9个；②是真命题； ③三位数的“回文数”中，百位和个位是1的为：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191，合计10个，同理百位和个位是2的有10个，依次类推，则三位数的“回文数”合计10×9＝90个；③是假命题； ④设任意四位数m的“回文数”千位，百位，十位，个位上的数字分别为a，b，c，d，则p＝1000a+100b+10c+d， 根据定义，a＝d，b＝c， ∴p＝1001a+110b＝11×91a+11×10b＝11×（91a+10b）， ∴p是11的倍数；④是真命题； 故答案为：①②④． 16．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【分析】（1）如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，由此即可得到答案； （2）画出图形，由题意即可写出已知和求证，由垂直的定义得到∠CMN＝∠ENB＝90°，由同位角相等，两直线平行推出CD∥EF． 【解答】解：（1）命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行， 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． （2）如图，已知：CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， 求证：CD∥EF， 证明：∵CD⊥AB于M，EF⊥AB于N， ∴∠CMN＝∠ENB＝90°， ∴CD∥EF． 17．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AB∥DE；③BE＝CF；④∠A＝∠D． （1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：　①②③　；求证：　④　． ②已知：　②③④　；求证：　①　． （2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法选则条件即可； （2）若已知①②③，求证④，则根据“SAS”证明△ABC≌△DEF，从而得到∠A＝∠D． 【解答】（1）解：①可以选择①②③为条件，④为结论； 故答案为：①②③，④； ②可以选择②③④为条件，①为结论； 故答案为：②③④，①； （2）已知①②③，求证④； 证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝EC+CF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠A＝∠D． 18．已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点． （1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：　①②　，结论：　③　.（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数． 【分析】（1）任选两个为条件，另一个为结论，根据平行线的性质与判定条件证明即可； （2）根据（1）的结论结合平角的定义和已知条件可得，则∠A＝72°，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案． 【解答】（1）解：①②为条件，③为结论，证明如下： ∵DF∥AE， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠FDE＝∠A， ∴∠FDE＝∠DFB， ∴DE∥BA； ①③为条件，②为结论，证明如下： ∵DF∥AE，DE∥BA， ∴∠A＝∠DFB，∠FDE＝∠DFB， ∴∠FDE＝∠A； ②③为条件，①为结论，证明如下： ∵DE∥BA， ∴∠FDE＝∠DFB， ∵∠FDE＝∠A， ∴∠A＝∠DFB， ∴DF∥AE； （2）解：∵∠FDE＝∠A，∠A＝∠BDF＝2∠EDC，∠FDE+∠BDF+∠EDC＝180°， ∴， ∴∠A＝72°， ∵DF∥AE， ∴∠AFD＝180°﹣∠A＝108°． 19．如图，直线AB、CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE， （1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 　平行　 （3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论；（要求作图证明结论） 【分析】（1）根据邻补角结合已知条件推出∠1＝∠DFE，进而得到AB∥CD，得到∠BEF＝∠CFE，推出∠3＝∠4，即可得出结论； （2）根据（1）中结论作答即可； （3）同（1）法进行证明即可． 【解答】解：（1）EM∥FN，证明如下： ∵∠2+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠DFE， ∴AB∥CD， ∴∠BEF＝∠CFE， ∵EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE， ∴， ∴∠3＝∠4， ∴EM∥FN； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； 故答案为：平行； （3）如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行，证明如下： 如图：已知AB∥CD，GI，HJ分别平分∠BGF，∠DHG， 则：∠BGF＝∠DHG，， ∴∠1＝∠2， ∴GI∥HJ， ∴如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线互相平行． 20．探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣1；（+5）※（﹣8）＝﹣3． （1）按照上述算式的规则计算： ①（+4）※（+3）＝ 　7　； ②（﹣2）※（﹣4）＝ 　6　； ③（﹣4）※（+5）＝ 　﹣1　； ④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝ 　5　.（括号的作用与有理数运算中的作用一致） （2）我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时，　同号得正，并把它们的绝对值相加　，异号两数进行※（宏）运算时 　异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值　． （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※（宏）运算中交换律和结合律是否成立？若不成立，只需举一个反例． 【分析】（1）根据题干中的例子求解即可； （2）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则； （3）据（1）中的结论分别采用有理数加法交换律和结合律计算可以解答本题． 【解答】解：（1）①（+4）※（+3）＝7； ②（﹣2）※（﹣4）＝6； ③（﹣4）※（+5）＝﹣1； ④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）] ＝（﹣2）※（﹣3） ＝5； 故答案为：①7；②6；③﹣1；④5； （2）归纳※（宏）运算的运算法则：同号两数进行※（宏）运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏）运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）交换律适用，结合律不适用，理由如下： 设这两个有理数为a，b， 若a，b均为正数，则a※b＝a+b，b※a＝a+b， ∴a※b＝b※a； 若a，b均为负数，则a※b＝+（﹣a﹣b）＝﹣a﹣b，b※a＝+（﹣a﹣b）＝﹣a﹣b， ∴a※b＝b※a； 若a，b异号，且a的绝对值大于b的绝对值，则a※b＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b，b※a＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b， ∴a※b＝b※a； ∴交换律适用； ∵（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝（﹣2）※（﹣3）＝5，（﹣2）※（+4）※（﹣1）＝（﹣2）※（﹣1）＝3，且5≠3， ∴结合律不适用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 定义、命题、定理 课程标准 学习目标 ①定义与命题 ②定理与证明 1. 掌握命题的定义及其分类，能够熟练的判断命题，真命题，假命题。 2. 能够对命题进行改写，准确的写出命题的题设与结论部分。 3. 能够熟练掌握定理的定义，并对其证明。 知识点01 定义与命题 1. 定义： 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 2. 命题的定义： 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 3. 命题的组成： 命题由 与 两部分组成。 是已知事项， 是由已知事项推出的事项。 4. 命题的改写： 命题通常可以改写成 的形式。如果后面跟题设部分 ，那么后面跟结论部分。 有些题设或结论不明显的命题在改写时，需要调整顺序或者增减词语。 5. 命题的分类： 根据命题判定的真假可以把命题分为 和 。 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题：命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 【即学即练1】 1．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果a＝﹣b，那么a2＝b2；（4）奇数不能被2整除． 【即学即练2】 2．下列命题中，真命题的个数有（　　） ①同一平面内，两条直线一定互相平行； ②有一条公共边的角叫邻补角； ③内错角相等． ④对顶角相等； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即学即练3】 3．下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）两直线平行，同位角相等． （2）若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则∠A＝∠C． （3）不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 【即学即练4】 4．把下列命题改成“如果…那么…”的形式． （1）不相交的两条直线是平行线 （2）对顶角相等 （3）经过一点有且只有一条垂线 （4）直角都相等． 知识点02 定理与证明 1. 定理的定义： 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 2. 证明： 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 【即学即练1】 5．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这三个命题中，真命题的个数为 　 ； （2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） 如图，已知 　 　， 求证：　 　 证明：　 题型01 判断命题以及判断真假命题 【典例1】下列语句中，不是命题的是（　　） A．如果a＞b，那么b＜a B．同位角相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线OA 【变式1】下列句子中是命题的是（　　） A．美丽的天空 B．对顶角相等 C．你的作业做完了吗？ D．作线段AB＝CD 【典例2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【变式1】下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0 D．两直线平行，内错角相等 【典例3】下列命题中，是假命题的是（　　） A．三个角都是60°的三角形是等边三角形 B．两个锐角的和是钝角 C．若|a|＝3，则a＝±3 D．在同一平面内，若直线a⊥l，b⊥l，则a∥b 【变式1】下列命题中，是假命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种 D．两点确定一条直线 题型02 对命题进行改写 【典例1】把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式 　 　，它是 　 　命题（填“真”或“假”）． 【变式1】将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　 　． 【变式2】把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：　 　． 【变式3】将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出它们的题设和结论，判断其真假． （1）有理数一定是自然数； （2）负数之和仍为负数． 题型03 对定理进行证明 【典例1】如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【变式1】如图所示，现有下列4个事项： （1）∠1＝∠2，（2）∠3＝∠B，（3）FG⊥AB于G，（4）CD⊥AB于D． 以上述4个事项中的（1）、（2）、（3）三个作为一个命题的已知条件，（4）作为该命题的结论，可以组成一个真命题．请你证明这个真命题． 【变式2】如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题． （1）请按照：“∵____，____，∴____”的形式，写出所有正确的命题； （2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程． 【变式3】已知如图，BC与DE相交于点O，给出下面三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE； ③BC∥EF．请以其中的两个论断为条件，填入“题设”栏中；剩下的论断为结论， 填入“结论”栏中，使之成为一个真命题，并加以证明． 题设：已知：如图，BC与DE相交于点O，　 　，　 　（填序号）． 结论：　 　（填序号）． 证明： 1．下列语句，不是命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 2．下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．直角都相等 C．同位角相等 D．全等三角形的对应角相等 3．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 4．以下正确的命题共有（　　） ①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线OA与射线AO为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．要说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题，能举的一个反例是（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣2 6．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 7．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（　　） A．∠1＝92°，∠2＝40° B．∠1＝89°，∠2＝2° C．∠1＝110°，∠2＝30° D．∠1＝103°，∠2＝3° 8．要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（　　） A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4 9．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（　　） A．k＝1 B．k＝2 C．k＝4 D．k＝8 10．下列命题中，是假命题的是（　　） A．若AB∥EF，则∠4＝∠B B．若DE∥BC，则∠2＝∠4 C．若∠1＝∠B，则∠3＝∠C D．若∠1＝∠2，则∠2＝∠4 11．命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”是 　 　命题（填“真”或“假”）． 12．命题“同位角相等”的条件是 　 　，结论是 　 　． 13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 　 　，那么 　 　． 14．用一组a，b的值说明命题：“若a2＝b2，则a＝b”是错误的，这组值可以是a＝ 　 　，b＝ 　 　． 15．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题： ①2222是“回文数”； ②所有两位数中，有9个“回文数”； ③所有三位数中，有81个“回文数”； ④任意四位数的“回文数”是11的倍数．其中，真命题有 　 　．（填序号） 16．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：　 　； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 17．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AB∥DE；③BE＝CF；④∠A＝∠D． （1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：　 　；求证：　 　． ②已知： 　；求证：　 　． （2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 18．已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点． （1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：　 　，结论：　 　.（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数． 19．如图，直线AB、CD被EF所截，∠1+∠2＝180°，EM、FN分别平分∠BEF和∠CFE， （1）判定EM与FN之间的位置关系，并证明你的结论； （2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相 　 　 （3）由此可以探究并得到：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的角平分线又具有怎样的位置关系？并证明你的结论；（要求作图证明结论） 20．探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣1；（+5）※（﹣8）＝﹣3． （1）按照上述算式的规则计算： ①（+4）※（+3）＝ 　 　； ②（﹣2）※（﹣4）＝ 　 　； ③（﹣4）※（+5）＝ 　 　； ④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝ 　 　.（括号的作用与有理数运算中的作用一致） （2）我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时，　 　，异号两数进行※（宏）运算时 　 　． （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※（宏）运算中交换律和结合律是否成立？若不成立，只需举一个反例． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$