第06讲 平行线的性质（1个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第06讲 平行线的性质 课程标准 学习目标 ①平行线的性质 1. 掌握平行线的性质，并能够利用平行线的性质熟练的求相关角的度数，结合平行线的判定证明角的关系。 知识点01 平行线的性质 1. 平行线的性质： 性质 文字语言 数学语言 性质1 两直线平行，同位角 相等 ∵ ∴∠1 ＝ ∠2 性质2 两直线平行，内错角 相等 ∵ ∴∠1 ＝ ∠2 性质3 两直线平行，同旁内角 互补 ∵ ∴∠＋∠2＝ 180° 【即学即练1】 1．如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝72°，则∠D的大小为（　　） A．98° B．108° C．118° D．144° 【分析】由平行线的性质推出∠C＝∠B＝72°，∠C+∠D＝180°，即可求出∠D的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠B＝72°， ∵CB∥DE， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝108°． 故选：B． 【即学即练2】 2．一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【分析】先根据题意得出∠1+∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝35°， ∴∠1+∠BAC＝35°+30°＝65°， ∵a∥b， ∴∠2+∠ACB+∠1+∠BAC＝180°，即∠2+90°+35°+30°＝180°， ∴∠2＝25°． 故选：D． 【即学即练3】 3．如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 【分析】先求解∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，可得∠EFD′＝∠EFD＝148°，再结合角的和差可得答案． 【解答】解：∵∠EFB＝32°， ∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°， ∴∠EFD′＝∠EFD＝148°， ∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°， 故选：B． 【即学即练4】 4．如图，已知直线AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（　　） A．∠α+∠β﹣2∠γ＝180° B．∠β﹣∠α＝∠γ C．∠α+∠β+∠γ＝360° D．∠β+∠γ﹣∠α＝180° 【分析】过E作直线EF∥AB，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图，过E作直线EF∥AB， ∴∠FEA＝∠EAB＝∠α， ∴∠FED＝∠β﹣∠FEA＝∠β﹣∠α， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴FE∥CD， ∴∠γ+∠FED＝180°， 即∠β+∠γ﹣∠α＝180°， 故选：D． 【即学即练5】 5．将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠4（ 　对顶角相等　）， ∴∠2＝∠4（等量代换）． ∴CE∥BF（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠3＝ 　∠C　（两直线平行，同位角相等）． 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠3＝∠B（ 　两直线平行，内错角相等　）． ∴∠B＝∠C（ 　等量代换　）． 【分析】根据平行线的判定与性质求证即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠4（对顶角相等）， ∴∠2＝∠4（等量代换）． ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）． 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠3＝∠B（两直线平行，内错角相等）． ∴∠B＝∠C（等量代换）． 故答案为：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③∠C；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换． 题型01 利用平行线的性质求角度 【典例1】如图，AB∥CD，射线AF交CD于点E，若∠1＝105°，则∠2的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可求出∠AED的度数，然后根据对顶角相等，即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠AED＝180°， ∵∠1＝105°， ∴∠AED＝75°， ∵∠2和∠AED是对顶角， ∴∠2＝∠AED＝75°， 故选：B． 【变式1】如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝78°，则∠EGF的度数是（　　） A．39° B．51° C．78° D．102° 【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝78°， ∴∠GFD＝∠EFD＝×78°＝39°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠GFD＝39°． 故选：A． 【变式2】如图，AB∥CD，AC∥DE，∠D＝30°，则∠A的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】由平行线的性质推出∠C＝∠D＝30°，∠A+∠C＝180°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵AC∥DE， ∴∠C＝∠D＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°， ∴∠A＝150°． 故选：D． 【变式3】如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．57° C．43° D．123° 【分析】由“两直线平行，同位角相等”得到∠3＝∠1＝57°，由垂直定义得到∠3+∠2＝90°，由此即可得解． 【解答】解：如图所示： ∵AB∥CD，∠1＝57°， ∴∠3＝∠1＝57°， ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣57°＝33°． 故选：A． 题型02 平行线与直角三角板 【典例1】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1＝63°，则∠2＝（　　） A．143° B．147° C．153° D．157° 【分析】根据平行线的性质结合对顶角得∠4＝∠3＝63°，再根据三角形外角定理即可求解． 【解答】解：如图，两条平行线记为a，b， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝63°， ∴∠4＝∠3＝63°， ∴∠2＝90°+∠4＝153°， 故选：C． 【变式1】如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3等于（　　） A．20° B．30° C．36° D．65° 【分析】由平行线的性质得到∠4＝∠2＝50°，由三角形外角的性质，即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠4＝∠2＝50°， ∵∠4＝∠1+∠3， ∴∠3＝∠4﹣∠1＝50°﹣30°＝20°． 故选：A． 【变式2】如图，已知a∥b，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．135° 【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可． 【解答】解：如图， ∵∠BAC＝90°，∠1＝25°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠1＝115°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠BAD＝115°， 故选：A． 【变式3】已知直线m∥n，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若∠2＝35°，则∠1的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】求出∠3＝90°﹣∠2＝55°，由平行线的性质推出∠1＝∠3＝55°． 【解答】解：∵∠2＝35°， ∴∠3＝90°﹣∠2＝55°， ∵m∥n， ∴∠1＝∠3＝55°． 故选：C． 题型03 平行线与折叠 【典例1】将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【解答】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2+∠3+∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 【变式1】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　68°　． 【分析】先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的大小． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE＝56°， 由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°， ∴∠DEG＝112°， ∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68° 【变式2】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．55° 【分析】已知四边形ABCD是矩形，则可得AB∥CD，∠C＝90°；联系折叠的性质易得∠BDC′、∠DC′B的度数，由平行线的性质可求出∠ABD的度数；接下来在△BC′D中利用三角形内角和即可求出∠2． 【解答】解：由题意可知： ∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠1＝35° 由折叠的性质可知： ∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°． ∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°． 故选：A． 【变式3】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若∠ABE＝24°，那么∠DEF的度数为（　　） A．66° B．60° C．57° D．55° 【分析】先根据长方形的性质可得∠A＝90°，AD∥BC，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AEB＝66°，再利用平角定义可得∠DEB＝114°，最后根据折叠的性质可得：∠DEF＝∠DEB＝57°． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵∠ABE＝24°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝66°， ∴∠DEB＝180°﹣∠AEB＝114°， 由折叠得：∠DEF＝∠DEB＝57°， 故选：C． 【变式4】如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 【分析】先由翻折变换的性质求出∠FEG的度数，再根据平行线的性质求出∠AGE的度数即可． 【解答】解：由翻折变换的性质可知∠FEG＝∠FEC， ∵∠FEC＝30°， ∴∠FEG＝30°， ∴∠CEG＝∠FEC+∠FEG＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠AGE＝∠CEG＝60°． 故选：B． 题型04 平行线之间的拐点问题 【典例1】如图，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，则∠APC的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 【分析】过P点作PE∥AB，得到∠APC＝∠APE+∠CPE，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：过P点作PE∥AB， ∴∠PAB+∠APE＝180°， ∵∠PAB＝130°， ∴∠APE＝180°﹣130°＝50°， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PCD＝120°， ∴∠CPE＝180°﹣120°＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°， 故选：D． 【变式1】如图，直线AB∥CD，E，M分别为直线AB、CD上的点，N为两平行线间的点，连接NE、NM，过点N作NG平分∠ENM交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG，交直线CD于点F，若∠BEN＝160°，则∠MNG+∠NFG的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 【分析】过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，如图，由平行线的性质得∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°，进而由NG平分∠ENM和∠BEN＝160°得∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝200°，再由NF⊥NG可变形推得∠GNM+∠NFG＝110°． 【解答】解：过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，如图所示： ∴∠BEN+∠ENH＝∠HNF+∠NFG＝180°， ∴∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG＝360°， ∴∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°， ∵∠BEN＝160°， ∴∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝200°， ∵NG平分∠ENM， ∴∠ENG＝∠GNM， ∴∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝200°， ∵NF⊥NG， ∴∠GNM+∠MNF＝∠GNF＝90°， ∴∠GNM+90°+∠NFG＝200°， ∴∠MNG+∠NFG＝110°，故A正确． 故选：A． 【变式2】如图，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，则∠EFD的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，得到FN∥EM∥CD，推出∠MEB＝∠B＝40°，∠EFN＝∠MEF，DF⊥FN，求出∠MEF＝90°﹣40°＝50°，得到∠EFN＝50°，即可求出∠EFD＝∠EFN+∠DFN＝140°． 【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴FN∥EM∥CD， ∴∠MEB＝∠B＝40°，∠EFN＝∠MEF， ∵BE⊥EF，DF⊥CD， ∴∠BEF＝90°，DF⊥FN， ∴∠MEF＝90°﹣40°＝50°， ∴∠EFN＝50°， ∴∠EFD＝∠EFN+∠DFN＝50°+90°＝140°． 故选：C． 【变式3】如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∵∠4+∠5＝∠2＝50°， ∴∠5＝50°﹣∠4＝20°， ∴∠3＝180°﹣∠5＝160°， 故选：D． 【变式4】如图，AB∥CD，，，则∠AEC与∠AFC的数量关系是（　　） A．∠AEC＝3∠AFC B．∠AEC＝4∠AFC C．∠AEC+3∠AFC＝360° D．∠AEC+4∠AFC＝360° 【分析】分别过点E，F作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可求得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∠AEC＝360°﹣∠BAE﹣∠DCE，再结合所给的条件即可求解． 【解答】解：分别过点E，F作EG∥AB，FH∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥EG∥CD，AB∥FH∥CD， ∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠CEG+∠DCE＝180°，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF ＝180°﹣∠BAE+180°﹣∠DCE ＝360°﹣∠BAE﹣∠DCE， ∠AFC＝∠BAF+∠DCF， ∵，， ∴∠EAF＝3∠BAF，∠ECF＝3∠DCF， ∴∠AEC＝360°﹣4∠BAF﹣4∠DCF＝360°﹣4（∠BAF+∠DCF）＝360°﹣4∠AFC， 即∠AEC+4∠AFC＝360°． 故选：D． 题型05 平行线的判定与性质的综合 【典例1】如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E， 试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵AD∥BC，（已知） ∴∠1＝∠　B　＝60°．（　两直线平行，同位角相等　） ∵∠1＝∠C，（已知） ∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换） ∵AD∥BC，（已知） ∴∠C+∠　ADC　＝180°．（　两直线平行，同旁内角互补　） ∴∠　ADC　＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（　角平分线定义　） ∴∠1＝∠ADE．（等量代换） ∴AB∥DE．（　内错角相等，两直线平行　） 【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵AD∥BC，（已知） ∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等） ∵∠1＝∠C，（已知） ∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换） ∵AD∥BC，（已知） ∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（角平分线的定义） ∴∠1＝∠ADE．（等量代换） ∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．） 故答案为：B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行． 【变式1】已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出∠1+∠ACD＝180°，再根据条件∠1+∠2＝180°，即可得到∠ACD＝∠2，进而判定GD∥CA． （2）根据平行线的性质，得到∠2＝∠ACD＝40°，根据角平分线的定义，可得到∠BDG＝∠2＝40°，即再根据平行线的性质即可得出∠A的度数． 【解答】解：（1）GD∥CA． 理由：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ACD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠ACD＝∠2， ∴GD∥CA； （2）∵GD∥CA， ∴∠2＝∠ACD＝40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠BDG＝∠2＝40°， ∵GD∥CA， ∴∠A＝∠BDG＝40°． 【变式2】如图，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°． （1）求证：AF∥BE； （2）若BE平分∠FEC，FA⊥MC于点A，且∠BDC＝64°，求∠C的度数． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定BD∥EF，得到∠DBE＝∠BEF，等量代换得出∠BEF+∠AFE＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解； （2）由FA⊥MC于A，AF∥BE得出∠C+∠BEC＝90°，再根据角平分线的定义及外角性质即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠BDC＝∠FEC， ∴BD∥EF， ∴∠DBE＝∠BEF， ∵∠DBE+∠AFE＝180°， ∴∠BEF+∠AFE＝180°， ∴AF∥BE； （2）解：∵FA⊥MC于A， ∴∠FAB＝90°， 由（1）知AF∥BE， ∴∠EBC＝∠FAB＝90°， ∴∠C+∠BEC＝90°， ∵BE平分∠FEC，∠DBE＝∠BEF， ∴∠DBE＝∠BEF＝∠BEC， ∵∠DBE+∠BED＝∠BDC＝64°， ∴∠BEC＝32°， ∴∠C＝90°﹣32°＝58°． 【变式3】如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°． 求证：（1）EH∥AD； （2）∠BAD＝∠H． 【分析】（1）先证DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD+∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出∠1＝∠H，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵∠CDG＝∠B， ∴DG∥AB， ∴∠1＝∠BAD， ∵∠1+∠FEA＝180°， ∴∠BAD+∠FEA＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD， ∴∠1＝∠H， ∴∠BAD＝∠H． 【变式4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F． （1）CD与EF平行吗？为什么？ （2）如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数． 【分析】（1）根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出答案； （2）先根据已知条件判断出DG∥BC，再根据两直线平行，同位角相等即可得出结论． 【解答】解：（1）CD与EF平行．理由如下： ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∵同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行， ∴CD∥EF； （2）∵CD∥EF， ∴∠2＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD， ∴DG∥BC， ∴∠ACB＝∠3＝115°． 1．如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB交直线l1于点C，若∠1＝15°，则∠2＝（　　） A．105° B．115° C．100° D．95° 【分析】利用三角形内角和定理可得的∠ADC度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，即可解答． 【解答】解：如图， ∵AC⊥AB， ∴∠A＝90°， ∵∠1＝15°， ∴∠ADC＝180°﹣90°﹣15°＝75°， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠ADC＝75°， ∴∠2＝180°﹣75°＝105°． 故选：A． 2．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠ABC＝70°，再根据角平分线的定义可得答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠ABC＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABC＝35°． 故选：B． 3．将一个含30°角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中∠C＝30°，若∠ADE＝50°，则∠FBC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】由平行线的性质可得∠ADE＝∠AFB，根据邻补角求得∠BFC，由三角形内角和定理可求出∠FBC的度数． 【解答】解：∵∠ADE＝50°，DE∥BF， ∴∠AFB＝∠ADE＝50°， ∴∠CFB＝180°﹣50°＝130°， ∵∠C＝30°， ∴∠FBC＝180°﹣∠CFB﹣∠C＝180°﹣130°﹣30°＝20°． 故选：C． 4．在同一平面内，将直尺、含45°角的三角尺和木工角尺（DE⊥DF）按如图方式摆放．若AB∥DF，则∠1的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】由平行线的性质推出∠BDF＝∠ABC＝45°，由垂直的定义得到∠EDF＝90°，由平角定义即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵AB∥DF， ∴∠BDF＝∠ABC＝45°， ∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠1＝180°﹣90°﹣45°＝45°． 故选：B． 5．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　） A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α﹣∠β+∠γ＝180° C．∠γ+∠β﹣∠α＝90° D．∠α+∠β+∠γ＝180° 【分析】根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可． 【解答】解：∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF＝∠β+∠COF， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∴∠α﹣∠β+∠γ＝180°，故B正确． 故选：B． 6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 【分析】根据平行线的性质得到∠3＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠3＝90°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α+∠1＝90°， ∴∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β+∠2＝180°， ∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°， 故选：C． 7．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠BCD；④∠B+∠BCD＝180°．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【分析】根据内错角相等，两直线平行得出AB∥CD，AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠B+∠BCD＝180°，即可作出判断． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∴①、④正确，③错误； ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， ∴②正确； 故选：D． 8．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数为（　　） A．43° B．53° C．67° D．70° 【分析】先利用平行线的性质可得∠BCE＝∠DEC＝67°，再利用角的和差关系可得∠DEF＝70°，然后利用平行线的性质可得∠ADE＝∠DEF＝70°，即可解答． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠BCE＝∠DEC＝67°， ∵∠CEF＝137°， ∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝70°， ∵AD∥EF， ∴∠ADE＝∠DEF＝70°， 故选：D． 9．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝46°，则∠2的度数为（　　） A．44° B．46° C．54° D．56° 【分析】由平角定义求出∠MAB＝88°，由平行线的性质推出∠ABN+∠MAB＝180°，求出∠ABN ＝92°，即可得到∠2的度数． 【解答】解：∵∠1＝∠3＝46°， ∴∠MAB＝180°﹣46°﹣46°＝88°， ∵a∥b， ∴∠ABN+∠MAB＝180°， ∴∠ABN ＝92°， ∵∠2＝∠4， ∴∠2＝×（180°﹣92°）＝44°． 故选：A． 10．如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且AF＝FC，GH⊥CD于点H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG＝∠CGE；③S△AFG＝S△CFG；④若∠EGH：∠ECH＝2：7，则∠EGH＝40°．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【分析】灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G， ∴∠GAC+∠GCA＝∠BAC+∠ACD＝×180°＝90°， ∴∠AGC＝90°， ∴AG⊥CG，故①正确； ∵AG⊥CG，GE⊥AC， ∴∠CGE+∠AGE＝90°，∠AGE+∠GAE＝90°， ∴∠CGE＝∠GAE， ∵AG平分∠BAC， ∴∠BAG＝∠GAE， ∴∠BAG＝∠CGE，故②正确； ∵AF＝FC， ∴S△AFG＝S△CFG，故③正确； ∵GE⊥AC，GH⊥CD， ∴∠EGH+∠ECH＝180°． 又∠EGH：∠ECH＝2：7， ∴∠EGH＝180°×＝40°，故④正确． 所以正确的是①②③④． 故选：A． 11．如图，已知∠1+∠2+∠3＝232°，AB∥DF，则∠2的度数为 　52　度． 【分析】由平行线的性质推出∠1+∠3＝180°，即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥DF， ∴∠1+∠3＝180°， ∵∠1+∠2+∠3＝232°， ∴∠2＝52°． 故答案为：52． 12．如图，将一个矩形纸片按如图折叠，若∠1＝32°，则∠2的度数是 　74°　． 【分析】结合平行线的性质得出：∠1＝∠3＝∠4＝32°，再利用翻折变换的性质得出答案． 【解答】解：如图， 由平行线的性质可得：∠1＝∠3＝∠4＝32°， 由翻折可知：． 故答案为：74°． 13．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3的度数为 　150°　． 【分析】过拐点作平行线即可得解（方法提示：平行线之间有几个拐点，就作几条平行线）． 【解答】解：如图，过A作直线m平行工作篮， ∵工作篮平行支撑平台， ∴直线m也与支撑平台平行， ∴∠1＝∠5＝30°，∠3+∠4＝180°， ∵∠2＝∠4+∠5＝60°， ∴∠4＝∠2﹣∠5＝60°﹣30°＝30°， ∴∠3＝180°﹣∠4＝150°； 故答案为：150°． 14．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为 　96°　． 【分析】延长DC交AE于点F，先利用利用三角形的外角性质得出∠EFD，进而利用平行线的性质即可解答． 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵∠DCE是△CEF的一个外角， ∴∠EFC＝∠DCE﹣∠E＝124°﹣28°＝96°， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠EFC＝96°， 故答案为：96°． 15．如图，AC∥EG，点B在AC上，点F在EG上，连结BF，BD平分∠ABE，EH平分∠BEF交BF于点H，∠EBF＝∠EFB．给出下面四个结论：①BD∥EH；②BF平分∠EBC；③∠BFE＝∠ABE；④∠BFG﹣∠BEH＝90°．上述结论中，正确结论的序号有 　①②④　． 【分析】根据平行线的判定和性质，以及图形中角度之间的数量关系，逐一进行判断即可． 【解答】解：∵AC∥EG， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CBF＝∠EFB， ∵BD平分∠ABE，EH 平分∠BEF， ∴∠ABD＝∠DBE＝∠ABE，∠BEH＝∠HEF＝∠BEF， ∴∠DBE＝∠BEH， ∴BD∥EH， 故①正确，符合题意； ∵∠EBF＝∠EFB，∠CBF＝∠EFB， ∴∠EBF＝∠CBF， ∴BF平分∠EBC， 故②正确，符合题意； ∵∠ABE+∠EBF+∠CBF＝180°，∠BEF+∠EBF+∠EFB＝180°，∠EBF＝∠CBF＝∠EFB，∠ABE＝∠BEF， ∴当∠ABE＝60°时，∠BFE＝∠ABE， 故③错误，不符合题意； ∵∠EBF+∠EFB+∠BEF＝2（∠FEH+∠EFH）＝180°， ∴∠FEH+∠EFH＝90°， ∴∠EHF＝90°， ∵∠BFG＝180°﹣∠EFB＝180°﹣（180°﹣∠HEF﹣∠EHF）， ∴∠BFG＝90°+∠HEF＝90°+∠BEH， ∴∠BFG﹣∠BEH＝90°， 故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 16．补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　两直线平行，同旁内角互补　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　EAD　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　内错角相等，两直线平行　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　垂直的定义　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　40　°．（ 　两直线平行，同位角相等　） 【分析】先证明AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得AE∥HG，则∠B＝∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行） ∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（垂直的定义） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等） 故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等． 17．【问题】如图，AB∥CD，点P在直线CD的下方，试说明∠BPD＝∠B﹣∠D． 【解决】请帮助榕榕完善下面的解题过程，在括号内填上相应的理由或数学式． 如图，作PE∥AB， 则∠BPE＝∠B．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD．（ 　平行于同一直线的两直线平行　） ∴∠DPE＝∠D．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵∠BPD＝ 　∠BPE　﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换） 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】解：作PE∥AB， 则∠BPE＝∠B．（两直线平行，内错角相等） ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD．（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠DPE＝∠D．（两直线平行，内错角相等） ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；∠BPE． 18．如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE＝∠CED，ED平分∠CEF． （1）求证：AB∥DE； （2）若∠F＝30°，∠AGE＝50°，求∠C的度数． 【分析】（1）证出∠AGE＝∠DEF，即可得证； （2）求出∠CEF＝2∠CED＝100°，即可求解； 【解答】（1）证明：∵ED平分∠CEF， ∴∠DEF＝∠CED， ∵∠AGE＝∠CED， ∴∠AGE＝∠DEF， ∴AB∥DE； （2）解：∵∠AGE＝∠CED，∠AGE＝50°， ∴∠CED＝50°， ∵ED平分∠CEF， ∴∠CEF＝2∠CED＝100°， ∵∠C+∠CEF+∠F＝180°，∠F＝30°， ∴∠C＝180°﹣100°﹣30°＝50°． 19．在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）如图2，入射光线AB经过2次反射后与反射光线CD交于点E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度数： （2）如图2，图3，若∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BEC＝β，分别写出α与β之间满足的等量关系是 　2α+β＝180°，β＝2α　（直接写出两个结果）． 【分析】（1）由∠MON＝65°，根据三角形的内角和定理得∠2+∠3＝115°，又∠1＝∠2，∠3＝∠4，则有∠ECB+∠EBC＝130°，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （2）图2同（1）理可得2α+β＝180°，图3中∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，由内角和定理得∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝β，再由三角形外角性质∠BOC＝∠3﹣∠2＝α，从而求解． 【解答】解：（1）∵∠MON＝65°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣65°＝115°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣115°×2＝130°， ∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠EBC＝180°﹣130°＝50°； （2）如图2， ∵∠MON＝α， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣2（180°﹣α）＝2α， ∴∠BEC＝180°﹣（∠ECB+∠EBC）＝180°﹣2α＝β， ∴2α+β＝180°； 如图3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3， ∴∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝β， ∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝α， ∴β＝2α， 故答案为：2α+β＝180°，β＝2α． 20．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　PM∥l2　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　∠BPM　＝∠PBD（　两直线平行，内错角相等　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　等量代换　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 【分析】（1）过点P作PM∥l1，根据平行线的性质可得∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD，利用等量代换可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）仿照（1）的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【解答】解：（1）∵l1∥l2， ∴PM∥l2（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又∵PM∥l1∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD（两直线平行内错角相等）， ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（等量代换）， 故答案为：PM∥l2，∠BPM，两直线平行，内错角相等，等量代换； （2）①（1）中的结论不成立，∠APB＝∠PAC﹣∠PBD， 理由如下： 如图，过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2， 又∵PE∥l1∥l2， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD； ②∠APB＝∠PBD﹣∠PAC， 如下图所示， 过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2∥l1， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平行线的性质 课程标准 学习目标 ①平行线的性质 1. 掌握平行线的性质，并能够利用平行线的性质熟练的求相关角的度数，结合平行线的判定证明角的关系。 知识点01 平行线的性质 1. 平行线的性质： 性质 文字语言 数学语言 性质1 两直线平行，同位角 ∵ ∴∠1 ∠2 性质2 两直线平行，内错角 ∵ ∴∠1 ∠2 性质3 两直线平行，同旁内角 ∵ ∴∠＋∠2＝ 【即学即练1】 1．如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝72°，则∠D的大小为（　　） A．98° B．108° C．118° D．144° 【即学即练2】 2．一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【即学即练3】 3．如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 【即学即练4】 4．如图，已知直线AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（　　） A．∠α+∠β﹣2∠γ＝180° B．∠β﹣∠α＝∠γ C．∠α+∠β+∠γ＝360° D．∠β+∠γ﹣∠α＝180° 【即学即练5】 5．将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠4（ 　 　）， ∴∠2＝∠4（等量代换）． ∴CE∥BF（ 　 　）． ∴∠3＝ 　 　（两直线平行，同位角相等）． 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠3＝∠B（ 　 　）． ∴∠B＝∠C（ 　 ）． 题型01 利用平行线的性质求角度 【典例1】如图，AB∥CD，射线AF交CD于点E，若∠1＝105°，则∠2的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 【变式1】如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝78°，则∠EGF的度数是（　　） A．39° B．51° C．78° D．102° 【变式2】如图，AB∥CD，AC∥DE，∠D＝30°，则∠A的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【变式3】如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．57° C．43° D．123° 题型02 平行线与直角三角板 【典例1】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠1＝63°，则∠2＝（　　） A．143° B．147° C．153° D．157° 【变式1】如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3等于（　　） A．20° B．30° C．36° D．65° 【变式2】如图，已知a∥b，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．135° 【变式3】已知直线m∥n，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线m、n上，若∠2＝35°，则∠1的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 题型03 平行线与折叠 【典例1】将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 【变式1】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　． 【变式2】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．55° 【变式3】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若∠ABE＝24°，那么∠DEF的度数为（　　） A．66° B．60° C．57° D．55° 【变式4】如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 题型04 平行线之间的拐点问题 【典例1】如图，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，则∠APC的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 【变式1】如图，直线AB∥CD，E，M分别为直线AB、CD上的点，N为两平行线间的点，连接NE、NM，过点N作NG平分∠ENM交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG，交直线CD于点F，若∠BEN＝160°，则∠MNG+∠NFG的度数为（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 【变式2】如图，AB∥CD，BE⊥EF，DF⊥CD，∠B＝40°，则∠EFD的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【变式3】如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【变式4】如图，AB∥CD，，，则∠AEC与∠AFC的数量关系是（　　） A．∠AEC＝3∠AFC B．∠AEC＝4∠AFC C．∠AEC+3∠AFC＝360° D．∠AEC+4∠AFC＝360° 题型05 平行线的判定与性质的综合 【典例1】如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E， 试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵AD∥BC，（已知） ∴∠1＝∠　 　＝60°．（　 　） ∵∠1＝∠C，（已知） ∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换） ∵AD∥BC，（已知） ∴∠C+∠　 　＝180°．（　 　） ∴∠　 　＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（　 　） ∴∠1＝∠ADE．（等量代换） ∴AB∥DE．（　 　） 【变式1】已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 【变式2】如图，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°． （1）求证：AF∥BE； （2）若BE平分∠FEC，FA⊥MC于点A，且∠BDC＝64°，求∠C的度数． 【变式3】如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°． 求证：（1）EH∥AD； （2）∠BAD＝∠H． 【变式4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F． （1）CD与EF平行吗？为什么？ （2）如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数． 1．如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB交直线l1于点C，若∠1＝15°，则∠2＝（　　） A．105° B．115° C．100° D．95° 2．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．将一个含30°角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中∠C＝30°，若∠ADE＝50°，则∠FBC的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4．在同一平面内，将直尺、含45°角的三角尺和木工角尺（DE⊥DF）按如图方式摆放．若AB∥DF，则∠1的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　） A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α﹣∠β+∠γ＝180° C．∠γ+∠β﹣∠α＝90° D．∠α+∠β+∠γ＝180° 6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 7．如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠BCD；④∠B+∠BCD＝180°．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 8．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，如图是共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠ADE的度数为（　　） A．43° B．53° C．67° D．70° 9．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝46°，则∠2的度数为（　　） A．44° B．46° C．54° D．56° 10．如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且AF＝FC，GH⊥CD于点H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG＝∠CGE；③S△AFG＝S△CFG；④若∠EGH：∠ECH＝2：7，则∠EGH＝40°．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 11．如图，已知∠1+∠2+∠3＝232°，AB∥DF，则∠2的度数为 　 　度． 12．如图，将一个矩形纸片按如图折叠，若∠1＝32°，则∠2的度数是 　 　． 13．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3的度数为 　 　． 14．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为 　 　． 15．如图，AC∥EG，点B在AC上，点F在EG上，连结BF，BD平分∠ABE，EH平分∠BEF交BF于点H，∠EBF＝∠EFB．给出下面四个结论：①BD∥EH；②BF平分∠EBC；③∠BFE＝∠ABE；④∠BFG﹣∠BEH＝90°．上述结论中，正确结论的序号有 　 　． 16．补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　 　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　 　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　 　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　 　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　 　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　 　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　 　°．（ 　 　） 17．【问题】如图，AB∥CD，点P在直线CD的下方，试说明∠BPD＝∠B﹣∠D． 【解决】请帮助榕榕完善下面的解题过程，在括号内填上相应的理由或数学式． 如图，作PE∥AB， 则∠BPE＝∠B．（ 　 　） ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD．（ 　 　） ∴∠DPE＝∠D．（ 　 　） ∵∠BPD＝ 　 　﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换） 18．如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE＝∠CED，ED平分∠CEF． （1）求证：AB∥DE； （2）若∠F＝30°，∠AGE＝50°，求∠C的度数． 19．在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）如图2，入射光线AB经过2次反射后与反射光线CD交于点E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度数： （2）如图2，图3，若∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BEC＝β，分别写出α与β之间满足的等量关系是 　 　（直接写出两个结果）． 20．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　 　＝∠PBD（　 　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$