6.2 常用三角公式（第3课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第六章 三角 6.2常用三角公式（第3课时） 1.二倍角的正弦公式 sin 2α= ,其中α∈R.  2.二倍角的余弦公式 cos 2α=cos2α-sin2α= = ,其中α∈R. 3.二倍角的正切公式 tan 2α= ,其中α,2α≠kπ+(k∈Z). 2sin αcos α 2cos2α-1 1-2sin2α 复习引入 解： 半角的正弦、余弦和正切公式 说明: 第一象限 第一、三象限 +、- +、- + 第二象限 第一、三象限 +、- +、- + 第三象限 第二、四象限 +、- -，+ - 第四象限 第二、四象限 +、- -，+ - 【练习1】 已知 ,且 ,求 , , , 的值. 解 因为 ,且 , 所以 . 又 , 故 , 7 , . 又因为 ,所以 . 规律方法 已知 的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤:（1）利用同角三角函 数基本关系式求得 的其他三角函数值;（2）确定角 的取值范围;（3）代入相应的 半角公式计算. 9 变式1 已知 ,且 ,求 . 解 , ,即 是第二象限角, , . 10 证明： 积化和差、和差化积公式 积化和差公式 和差化积公式 题型归纳 化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 题型3 积化和差、和差化积公式的应用 例3.（1） 已知 ,求 . 解 , , . 又 , . 26 （2）求证: . 证明 左边 . 27 变式探究1. 在例 中，若不利用积化和差公式,如何求解? 解 , , , ,即 . 又 , . 规律方法 1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解. 2.当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,往往从复杂的一边入手证明,类似于化简. 28 变式探究2. 已知 , .求证: . 证明 由题意知 , , ,① .② 两式平方相加,得 . 29 解决综合问题的一般方法 (1)根据已知条件，选择变量并确定变量的取值范围． (2)建立所求值与变量的函数关系． (3)在变量所取的范围内，求解函数最值． (4)如果是实际问题，要把计算结果回归到实际问题． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 例1 试以 表示 ， ， . 是 的二倍角. 在倍角公式 中，以 代替 ，以 代替 ， 得 ，所以 .① 在倍角公式 中，以 代替 ，以 代替 ， 得 ，所以 .② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得 . 例1的结果还可以表示为： ， ， . 符号由 所在象限决定. 若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号； 若给出了角 的具体范围，则先求 所在范围，再根据 所在范围确定符号. 若给出的角 是某一象限的角，则根据下表决定符号： 例2 求证： （1） ； （2） . （1）因为 ， ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 ， 即 . （2）由（1）可得 .① 设 ， ，那么 ， . 把 ， 的值代入①，即得 . ； ； ； . ； ； ； . $$