16.3二次根式的加减（2）混合运算（九大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.3二次根式的加减（2）混合运算（九大类型提分练） 类型一、二次根式的混合运算 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， 即估计的运算结果应在7到8之间， 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 4．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）根据二次根式的加减以及零次方幂进行计算； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确进行运算是解题的关键； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型二、乘法公式在二次根式的混合运算中的应用 6．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，逆用积的乘方公式是解题的关键．逆用积的乘方公式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，掌握运算法则，并正确进行计算是解题的关键； （1）分别计算绝对值与零指数幂，再合并同类二次根式即可； （2）分别用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，解决本题的关键是把二次根式化简，然后再合并同类二次根式． 首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化为最简二次根式，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的到数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、二次根式整数部分和小数部分的有关计算 10．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方差公式，由于，可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式，先根据得出a，b的值，再将变形为，将a，b的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是a，小数部分是b， ，， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知 ，，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握化简的方法和计算的方法是解决问题的关键．化简得，整数部分是；化简得，小数部分是，由此进一步代入求得答案即可． 【详解】解：，， ∵， ∴，， ∴x的整数部分是，y的小数部分是， ∴ ． 故答案为：． 类型四、已知字母的值进行化简求值 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 15．（21-22九年级下·宁夏银川·自主招生）已知，，求 ． 【答案】9 【分析】本题考查整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：9． 16．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化． （1）先根据分母有理化求出，，即可求出； （2）由，，将原式整理成，再整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 类型五、已知条件式进行化简求值 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵, ∴, 故答案为：． 18．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 19．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 类型六、二次根式的大小比较 20．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【答案】(1)>； (2)，见解析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 21．（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键． 【详解】解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 类型七、二次根式的应用 22．（24-25八年级上·河北保定·期中）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 23．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可； 根据半径求得面积作差，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： ， 故圆环的宽度为． （2）解：（元）， 则购买地砖需要花元钱． 类型八、二次根式与新定义问题 24．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 25．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 类型九、二次根式与分母有理化 27．（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 28．（24-25八年级上·江西九江·期中）南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，分子分母同乘以有理化因式是解题的关键． （1）分子分母分别乘以，，即得答案； （2）根据（1）的方法，分别化简，，，，，即得答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）解： ． 一、单选题 1．（17-18八年级下·重庆江津·阶段练习）的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ 故选A． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式进行计算，先将式子变形为，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 3．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，，则a与b的积是（　　） A．1 B．6 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用平方差公式进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】当，时，． 故选：A． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）若式子的运算结果是有理数，则“”中的运算符号可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的混合运算，将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是有理数，符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）的值等于（　　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、同底数幂的乘法运算的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先将原式整理为，结合积的乘方的逆用可得，再根据平方差公式进行运算，即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 6．（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 7．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 8．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 10．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，设，，，则，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 11．（23-24八年级下·山西大同·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的混合计算，熟练掌握并灵活运用是解题关键． 根据积的乘方法则及平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 12．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式变形，以及二次根式的运算法则进行解题． 利用完全平方公式得到，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ， ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子化简为，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故答案为：5． 14．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）观察下列各式： ， ， ，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算类型的规律探究，根据已知等式将各式分别化简，得到 ，再将等式写成 进行计算得到答案；正确分析得到等式的计算规律是解题的关键． 【详解】∵ ， ， ，， ∴ =， 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 18．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)求代数式、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式混合运算等知识点，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解本题的关键． （1）根据平方差公式以及二次根式加减运算计算即可； （2）将原式转换为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ． （2）由（1）知，． ． 19．（22-23八年级下·四川泸州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)16 (3)2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解： ． 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，， 这样，小明找到了把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ； (3)若且a，m，n 均为正整数，求a 的值． 【答案】(1)， (2)12，6，3，1（答案不唯一） (3)7或13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式等知识． （1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）设， ∵， ∴，， 取，，则，， 故答案为： 12，6，3，1． （3） ， ， ，， 、、均为正整数， ，，或，，； 的值为7或13． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3二次根式的加减（2）混合运算（九大类型提分练） 类型一、二次根式的混合运算 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1)； (2)． 4．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)． 类型二、乘法公式在二次根式的混合运算中的应用 6．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1) (2) 8．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 类型三、二次根式整数部分和小数部分的有关计算 10．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 11．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 12.（24-25八年级上·四川达州·期中）已知 ，，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则的值为 ． 类型四、已知字母的值进行化简求值 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 15．（21-22九年级下·宁夏银川·自主招生）已知，，求 ． 16．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 类型五、已知条件式进行化简求值 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 ． 18．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 19．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 类型六、二次根式的大小比较 20．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 21．（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 类型七、二次根式的应用 22．（24-25八年级上·河北保定·期中）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 23．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 类型八、二次根式与新定义问题 24．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 25．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为 ． 26．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 类型九、二次根式与分母有理化 27．（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 28．（24-25八年级上·江西九江·期中）南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 一、单选题 1．（17-18八年级下·重庆江津·阶段练习）的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）若，，则a与b的积是（　　） A．1 B．6 C． D．5 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）若式子的运算结果是有理数，则“”中的运算符号可以是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）的值等于（　　　） A．2 B．3 C． D． 6．（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 8．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（      ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级下·山西大同·期末）计算： ． 12．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知，则代数式的值是 ． 13．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 14．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，，则代数式的值为 ． 15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 三、解答题 17．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)求代数式、的值； (2)求代数式的值． 19．（22-23八年级下·四川泸州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 善于思考的小明进行了如下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，， 这样，小明找到了把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ； (3)若且a，m，n 均为正整数，求a 的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$