16.3二次根式的加减（1）加减运算（七类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.3二次根式的加减（1）加减运算（七类型提分练） 类型一、二次根式能合并的条件 1．（2024秋•叙州区校级期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•威远县校级期中）若与最简二次根式能够合并，则a＝　 　． 3．（2024秋•龙岗区校级期中）当x＝ 　 　时，最简二次根式和能够合并． 4．（2024秋•太康县期中）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 类型二、二次根式的加减法则 5．（2023秋•海口期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C．6 D．4 6．（2024•馆陶县二模）若，则a＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 7．（2024秋•榆树市校级期末）计算 　 　． 8．（2024秋•洪雅县期中）计算：　 　． 9．（2024秋•道外区期末）计算： 　 　． 10．（2024春•仁怀市期末）计算的值为　 　． 11．（2024秋•南岗区校级期中）计算3的结果是 　 　． 类型三、二次根式的加减运算 12．（2024春•沙市区期中）计算： （1）263； （2）（）+（）． 13．（2024秋•农安县期中）计算： （1）； （2）． 14．（2024秋•宝安区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）． 15．（2024春•武汉期中）计算： （1）； （2）． 类型四、二次根式的加减运算过程出错问题 16．（2024春•香河县校级月考）小静同学准备完成试卷上的题目计算：时，发现“*”处的数字印刷不清楚，她翻看了答案，发现最终结果是，她把“*”处的数字猜测成3，并进行计算，请你判断她的猜想正确吗？若正确，请写出她的求解过程；若不正确，请说明理由． 17．（2024春•赣州期中）在计算式（）﹣（）时，小敏的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）老师判定小敏的解法错误，请你指出：小敏从第 　 　步开始出错的； （2）请你给出正确的解答过程． 类型五、二次根式的整数部分与小数部分 18．（2024秋•杭州月考）阅读理解：∵，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 解决问题： （1）填空：的整数部分是 　 　，的小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 类型六、二次根式的应用 19．（2023秋•仁寿县校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积． 20．（2024秋•蒲城县期中）一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛的面积和对角线的长． 21．（2024秋•从江县校级期中）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m． （1）求该长方形土地的周长； （2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45） 类型七、二次根式的加减与新定义问题 22．（2023秋•化州市期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7]的值为 　 　． 23．（2024秋•商水县期中）若x+y＝2，则称x和y是关于1的平衡数． （1）4与 　 　是关于1的平衡数；与 　 　是关于1的平衡数； （2）已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•南召县期中）若，则a和b的值不可能是（　　） A．a＝2，b＝2 B．， C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2 2．（2024秋•灞桥区校级月考）已知，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024春•温州期中）下列选项中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•任泽区校级月考）若，则“？”表示的数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 5．（2023春•芝罘区期中）若y2023，则（x+y）2023的结果是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2023 6．（2023秋•泊头市月考）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式． 结论Ⅰ：存在两组a和b的值使得； 结论Ⅱ：不存在a和b的值使得． 针对结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 7．（2022秋•威远县校级期中）计算：（　　） A．1 B． C． D． 8．（2023春•泸县校级期中）设 则与s最接近的整数是（　　） A．2009 B．2006 C．2007 D．2008 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•道里区校级月考）计算的结果是 　 　． 10．（2024秋•杨浦区校级月考）化简：　 　． 11．（2024秋•徐汇区校级月考）计算：　 　． 12．（2024春•牟平区期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为 　 　． 13．（2024春•德阳月考）最简二次根式与能合并，则a+b＝　 　． 三．解答题（共8小题） 14．（2024秋•蓝田县月考）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 15．（2024春•白河县期末）定义：若两个二次根式m、n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问a的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 16．（2024春•合肥月考）如果最简二次根式与能进行合并，且a≤x≤2a，化简：． 17．计算： （1）354；（2）；（3）；（4）（3）． 18．嘉准备完成题目（■）﹣（）时，发现“■”处的数字印刷不清楚． （1）他把“■”处的数字猜成6，请你计算（6）﹣（）的结果； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是．”请你通过计算说明原题中“■”是几． 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求|m+1|+（m2）的值． 20．计算：； （2）3（）﹣2（） （3）（1）+23 （4）|1|+||+|| 21．（2023秋•皇姑区校级期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． （1）化简：；（2）化简；； （3）化简：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3二次根式的加减（1）加减运算（七类型提分练） 类型一、二次根式能合并的条件 1．（2024秋•叙州区校级期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【解答】解：A．3，与两者不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B． ，能与合并，故该选项符合题意； C． ，2不能与合并，故该选项不符合题意； D． ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，熟练掌握二次根式性质是关键． 2．（2024秋•威远县校级期中）若与最简二次根式能够合并，则a＝　3　． 【分析】先计算，再根据题意得a﹣1＝2，进而可求解． 【解答】解：， ∵与最简二次根式能够合并， ∴a﹣1＝2， 解得a＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握基础知识是解题的关键． 3．（2024秋•龙岗区校级期中）当x＝ 　　时，最简二次根式和能够合并． 【分析】根据最简二次根式与能够合并，得与为同类二次根式，列式求出x即可． 【解答】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴与为同类二次根式， ∴2x+3＝10﹣x， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解决本题的关键． 4．（2024秋•太康县期中）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数即可求出x的取值范围； （2）①先化简，再根据同类二次根式的定义即可求出x的值； ②由①得出这两个二次根式，再求它们的积即可． 【解答】解：（1）∵二次根式有意义， ∴x﹣2≥0， 解得x≥2； （2）①， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴x﹣2＝3， 解得x＝5； ②由①可得， ∴． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，二次根式有意义的条件，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 类型二、二次根式的加减法则 5．（2023秋•海口期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C．6 D．4 【分析】A、原式不能合并； B、原式第一项化简后，合并即可得到结果； C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果． 【解答】解：A、不能合并，故选项错误； B、2，故选项正确； C、，故选项错误； D、2，故选项错误． 故选：B． 【点评】此题考查了二次根式的加减法，以及乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2024•馆陶县二模）若，则a＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】根据题意得到，进而求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴a＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的加减法．计算准确是解题的关键． 7．（2024秋•榆树市校级期末）计算 　　． 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：； 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减，属于基础题型，熟练掌握二次根式的加减法则是解题的关键． 8．（2024秋•洪雅县期中）计算：　5　． 【分析】首先计算开立方和开平方，然后再计算有理数的加减即可． 【解答】解：原式＝8﹣3＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了实数运算，关键是正确进行开立方和开平方． 9．（2024秋•道外区期末）计算： 　　． 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2024春•仁怀市期末）计算的值为　　． 【分析】先根据算术平方根和实数的性质，对绝对值进行化简，再计算加减即可得出答案． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，利用实数的性质化简绝对值，熟练掌握二次根式的加减运算，实数的性质是解题的关键． 11．（2024秋•南岗区校级期中）计算3的结果是 　0　． 【分析】根据二次根式的性质 先化简，然后根据二次根式的减法运算，合并同类二次根式即可． 【解答】解： ＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 类型三、二次根式的加减运算 12．（2024春•沙市区期中）计算： （1）263； （2）（）+（）． 【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案； （2）直接化简二次根式，再合并得出答案． 【解答】解：（1）原式＝2×263×4 ＝4212 ＝14； （2）原式＝22 ＝3． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 13．（2024秋•农安县期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）直接根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先化简二次根式，再计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝45； （2）原式2 ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 14．（2024秋•宝安区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （3）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1） ＝24 ＝5； （2） ＝63 ； （3） ＝﹣1+34（﹣3） ＝﹣4． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（2024春•武汉期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用二次根式的加减法则及性质计算即可； （2）利用二次根式的加减法则及性质计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2325 ＝7； （2）原式＝2 ＝22 ＝3． 【点评】本题考查二次根式的加减运算及性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 类型四、二次根式的加减运算过程出错问题 16．（2024春•香河县校级月考）小静同学准备完成试卷上的题目计算：时，发现“*”处的数字印刷不清楚，她翻看了答案，发现最终结果是，她把“*”处的数字猜测成3，并进行计算，请你判断她的猜想正确吗？若正确，请写出她的求解过程；若不正确，请说明理由． 【分析】计算即可求解． 【解答】解：小静的猜想正确，理由如下： ∵， ， ， ∴小静的猜想正确． 【点评】本题考查了二次根式的加减，关键是相关法则的熟练掌握． 17．（2024春•赣州期中）在计算式（）﹣（）时，小敏的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）老师判定小敏的解法错误，请你指出：小敏从第 　②　步开始出错的； （2）请你给出正确的解答过程． 【分析】根据二次根式的加减法则进行计算即可．式（）﹣（）时 【解答】解：（1）从第②步出现错误． 故答案为：②； （2）原式＝（2）﹣（） ＝2 ＝2（） 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． 类型五、二次根式的整数部分与小数部分 18．（2024秋•杭州月考）阅读理解：∵，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 解决问题： （1）填空：的整数部分是 　5　，的小数部分是 　5　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【分析】（1）估算出，，即可得解； （2）估算出，求出，，从而得出a、b的值，代入计算即可得解． 【解答】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是5， ∴，即， ∴的小数部分是； （2）∵，即， ∴，， ∴，b＝0， ∴． 【点评】本题考查了无理数的估算，正确进行估算是解此题的关键． 类型六、二次根式的应用 19．（2023秋•仁寿县校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积． 【分析】先根据正方形的面积公式得到大正方形的边长2，小正方形的边长，阴影部分的面积等于长为，宽为2的矩形面积． 【解答】解：大正方形的边长2，小正方形的边长， 所以阴影部分的面积＝（2） ＝22． 【点评】本题考查了二次根式的应用：二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 20．（2024秋•蒲城县期中）一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛的面积和对角线的长． 【分析】根据长方形面积公式求解即可． 【解答】解：面积为：， ∵ ＝306， ∴对角线为：， 答：面积为97m2，对角线为（m）． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式混合运算法则是关键． 21．（2024秋•从江县校级期中）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m． （1）求该长方形土地的周长； （2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45） 【分析】（1）根据长方形的周长＝（长+宽）×2，可以解答本题； （2）根据长方形的面积＝长×宽和造价为每平方米2元的草坪，可以求得在该长方形土地上全部种植草坪的总费用． 【解答】解：（1）由题意可得， 该长方形土地的周长是：（）×2m， 即该长方形土地的周长是m； （2）由题意可得， 在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：9144352.8（元）， 即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元． 【点评】本题考查二次根式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 类型七、二次根式的加减与新定义问题 22．（2023秋•化州市期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此规定[7]的值为 　4　． 【分析】直接估算的取值范围，进而结合符号[m]表示一个实数m的整数部分，进而得出答案． 【解答】解：∵23， ∴[7]＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确估算无理数的大小是解题关键． 23．（2024秋•商水县期中）若x+y＝2，则称x和y是关于1的平衡数． （1）4与 　﹣2　是关于1的平衡数；与 　﹣3　是关于1的平衡数； （2）已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 【分析】（1）根据平衡数的定义，进行求解即可； （2）根据，求出m的值，再根据平衡数的定义，进行判断即可． 【解答】解：（1）∵若x+y＝2，则称x和y是关于1的平衡数，2﹣4＝﹣2，， ∴4与﹣2是关于1的平衡数；与﹣3是关于1的平衡数， 故答案为：； （2）不是，理由如下： ， ∴1﹣m＝3，m﹣5＝﹣7， ∴m＝﹣2； ∴， ∴与不是关于1的平衡数． 【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握平衡数的定义是解题的关键． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•南召县期中）若，则a和b的值不可能是（　　） A．a＝2，b＝2 B．， C．a＝0，b＝8 D．a＝4，b＝2 【分析】根据二次根式的运算法则计算即可得到结论． 【详解】解：A．当a＝2，b＝2时，，故选项不符合题意； B．当，时，，故选项不符合题意； C．当a＝0，b＝8时，，故选项不符合题意； D．当a＝4，b＝2时，，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的加减法则． 2．（2024秋•灞桥区校级月考）已知，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】原式化为，得到a﹣4≥0，4﹣a≥0，求得a＝4，代入求解即可． 【详解】解：由条件可知：， ∴a﹣4≥0，4﹣a≥0， ∴a＝4， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质是关键． 3．（2024春•温州期中）下列选项中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义判断A，根据二次根式的加减法法则判断B，根据二次根式的性质判断C，根据二次根式的除法法则判断D． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意； B．，故该选项计算错误，不符合题意； C．，故该选项计算错误，不符合题意； D．，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的加减乘除运算，二次根式的性质与化简，注意算术平方根与平方根的区别． 4．（2024春•任泽区校级月考）若，则“？”表示的数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．10 【分析】将化简成最简二次根式，再计算即可． 【详解】解：． 则“？”表示的数字是2． 故选：A． 【点评】本题主要考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式性质是关键． 5．（2023春•芝罘区期中）若y2023，则（x+y）2023的结果是（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．2023 【分析】先根据二次根式有意义求出x和y的值，再计算即可． 【详解】解：∵y2023， ∴x﹣2022≥0，2022﹣x≥0， ∴x＝2022， ∴y＝﹣2023， ∴（x+y）2023＝（2022﹣2023）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：C． 【点评】此题考查了二次根式的有意义的条件，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2023秋•泊头市月考）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式． 结论Ⅰ：存在两组a和b的值使得； 结论Ⅱ：不存在a和b的值使得． 针对结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：∵和是可以合并的二次根式， ∴和是同类二次根式， ， 当a＝3时，b＝48； 当a＝12时，b＝27， ∴存在两组a和b的值使得，故结论I正确； ； 当a＝65时，b＝65， ∵a＜b， ∴不存在a和b的值使得，故结论Ⅱ正确． 故选：A． 【点评】本题考查的是同类二次根式，二次根式的加减法，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2022秋•威远县校级期中）计算：（　　） A．1 B． C． D． 【分析】先化简绝对值，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 【点评】本题主要考查了化简绝对值和二次根式的加减法法则，掌握相关基础知识和法则是解题的关键． 8．（2023春•泸县校级期中）设 则与s最接近的整数是（　　） A．2009 B．2006 C．2007 D．2008 【分析】通过上式找出规律，得出通项公式再进行化简，得结果为1，将自然数n代入求出结果，再判断与a最接近的整数． 【详解】解：∵n为任意的正整数， ∴ 1， ∴s＝（1）+（1）+（1）+…+（1） ＝2008+（ ＝2008+（1）+（）+（）+…+（） ＝2009． 因此与s最接近的整数是2009． 故选：A． 【点评】用裂项法将分数化成，寻找抵消规律求和． 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•道里区校级月考）计算的结果是 　　． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根指数不变是解答此题的关键． 10．（2024秋•杨浦区校级月考）化简：　　． 【分析】设，然后两边同时平方求出x的值即可． 【详解】解：设， 则 ＝6， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，平方差公式，二次根式的加减法，掌握平方差公式是解本题的关键． 11．（2024秋•徐汇区校级月考）计算：　1　． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a＝0，再把a＝0代入求出结果即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知：﹣a2≥0， ∴a＝0， 把a＝0代入得： 原式． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2024春•牟平区期末）若与最简二次根式能合并，则m的值为 　±1　． 【分析】根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵9，最简二次根式能与9合并， ∴m2+1＝2， 解得m＝±1， 故答案为：±1． 【点评】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 13．（2024春•德阳月考）最简二次根式与能合并，则a+b＝　2　． 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b的值，然后代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 则a+b＝1+1＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 三．解答题（共8小题） 14．（2024秋•蓝田县月考）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 【分析】利用同类二次根式的概念即可求出． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ∴a+2＝2a﹣3， 解得a＝5． 【点评】本题考查同类二次根式，解一元一次方程．利用同类二次根式的概念即可求出． 15．（2024春•白河县期末）定义：若两个二次根式m、n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问a的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 【分析】根据同类二次根式的定义可得：a﹣2＝6，从而可得：a＝8，然后进行计算即可解答． 【详解】解：a的算术平方根与是关于4的和谐二次根式， 理由：∵最简二次根式与可以合并， ∴a﹣2＝6， 解得：a＝8， ∴2， ∵24， ∴与是关于4的和谐二次根式． 【点评】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（2024春•合肥月考）如果最简二次根式与能进行合并，且a≤x≤2a，化简：． 【分析】先根据最简二次根式与能进行合并得出2a+1＝a2﹣2，求出a1＝3，a2＝﹣1，再根据当a＝﹣1时，2a+1＝﹣1＜0，不符合题意，得出a＝3，根据3≤x≤6，将进行化简即可． 【详解】解：由题意，得2a+1＝a2﹣2， 解得a1＝3，a2＝﹣1． 当a＝﹣1时，2a+1＝﹣1＜0， ∴a＝3， ∴3≤x≤6， ∴x﹣2＞0，x﹣6≤0， ∴原式（x﹣2）﹣（x﹣6）＝x﹣2﹣x+6＝4． 【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握最简二次根式是关键． 17．计算： （1）354；（2）；（3）；（4）（3）． 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （3）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （4）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）3542； （2） ； （3） ＝6 ； （4）（3） 23 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 18．嘉准备完成题目（■）﹣（）时，发现“■”处的数字印刷不清楚． （1）他把“■”处的数字猜成6，请你计算（6）﹣（）的结果； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是．”请你通过计算说明原题中“■”是几． 【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，进而合并同类项得出答案； （2）直接假设“■”是a，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）（6）﹣（） ＝632 22 ＝0； （2）设“■”处的数字为a， 则原式＝（a）﹣（） ＝a32 22 ， 解得：a＝﹣3， 故原题中“■”是﹣3． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求|m+1|+（m2）的值． 【分析】（1）根据“点A表示的数+2＝点B表示的数”求出m； （2）把m的值代入代数式，化简即可． 【详解】解：（1）2＝2． ∴m的值为2； （2）当m＝2时， 原式＝|21|+（22） ＝30 ＝3． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握二次根式的加减法法则是解决本题的关键． 20．计算：； （2）3（）﹣2（） （3）（1）+23 （4）|1|+||+|| 【分析】（1）合并同类二次根式即可； （2）去括号，合并同类二次根式即可； （3）去括号，合并同类二次根式即可； （3）去绝对值，再合并同类二次根式． 【详解】解：（1）原式＝（1﹣3）（﹣4﹣4） ＝﹣28； （2）原式＝3322 5； （3）原式1+23 ＝﹣1； （4）原式1 ＝﹣1+2 ＝1． 【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握去括号、去绝对值及合并同类二次根式的法则． 21．（2023秋•皇姑区校级期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． （1）化简：；（2）化简；； （3）化简：． 【分析】（1）先化简，再按照分母有理化方法进行即可． （2）按照分母有理化方法进行即可． （3）按照分母有理化方法进行即可． 【详解】解：（1）； （2） ； （3）原式 （﹣1） （﹣1）． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，平方差公式，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握分母有理化的方法是解题关键． 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$