专题1.2 二次根式的混合运算（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题1.2 二次根式的混合运算 · 典例分析 【典例1】材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1） =_____ _；（直接写结果） （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【思路点拨】 本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【解题过程】 （1）解： ， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解即可得． 【解题过程】 解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， 即估计的运算结果应在7到8之间， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的四则运算，分别填入加减乘除在圆圈里面，根据二次根式的相关计算法则求出对应的结果即可得到答案． 【解题过程】 解：； ； ； ； ∴“○”中可以填的符号是或， 故选：C． 3．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①； ②设有理数，满足：，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算，对各个项利用有理化因式进行变形计算后即可判断，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【解题过程】 解：① ，故错误； ②设有理数，满足：， ， ， ，故错误； ③ ， ， ， ，故正确； ④ ， 而， ，故错误； ⑤， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的为③⑤，为2个， 故选：B． 4．（23-24八年级下·重庆北碚·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④ ；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 根据定义找到的规律，再逐个判断即可． 【解题过程】 解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为； ，它的整数部分为4，小数部分为； ，它的整数部分为5，小数部分为； ，它的整数部分为7，小数部分为； ，它的整数部分为8，小数部分为； ，它的整数部分为10，小数部分为； ∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为； n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为； ∴①，正确； ②的小数部分为，错误； ③，正确； ④ ，错误； ⑤ ，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3个； 故选：B． 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（   ）个 ①若是的小数部分，则的值为； ②若（其中为有理数），则； ③，则 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 先估算出，则，然后对进行分母有理化即可判断①；根据推出，正在由为有理数，得到方程组，解方程组即可得到答案；只需要根据，推出，即可判断③；证明，然后对原式裂项即可判断④． 【解题过程】 解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为有理数， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵ ， ∴ ，故④正确； 故选B． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）的整数部分是 ． 【思路点拨】 本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，能根据幂的运算法则简化指数是解此题的关键．根据完全平方公式可得，根据幂的运算法则可得，进一步化简即可求解． 【解题过程】 解：， ， ，， ， 的整数部分为：． 故答案为：969． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则的算术平方根是 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式、立方根和平方根的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 令 ，，则，将化简得出，再代入依据二次根式和立方根的运算法则解答即可． 【解题过程】 解：令 ，． ． ， ，， ， 则的算术平方根是， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 【思路点拨】 将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【解题过程】 解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 【思路点拨】 先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 10．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出和 ．然后再求出和．两式子相加，即可得出，然后利用二次根式的非负性质可得出，，即可得出和，然后代入计算即可． 【解题过程】 解：∵ ∴① 同理可得出②， ∴① ②， 由①②得：， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：4036． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减即可； （2）先计算算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值，再计算加减即可； （3）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【思路点拨】 本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 13．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）计算： （1）； （2）（）． 【思路点拨】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【解题过程】 （1）解： ＝ ＝－＋ ． （2）解： ＝· ． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下面式子的结果：__________． （2）应用：化简； （3）拓展：__________．（用含的式子表示，为正整数） 【思路点拨】 本题考查二次根式的化简、二次根式的加减、分母有理数，会利用类比方法求解是解答的关键． （1）仿照例题求解过程求解即可； （2）根据例题和（1）中结果可得出变化规律，进而求解即可； （3）仿照（2）中计算过程求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为：； （2）解：由例题和（1）中结果可得， ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ． 16．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． （2）若是的小数部分，化简． （3）利用你发现的规律计算下面式子的值 【思路点拨】 本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 17．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， （1）若，求的值； （2）比较与的大小，并说明理由． （3）利用这一规律计算：． 【思路点拨】 （1）先化简，再代入代数式计算即可； （2）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （3）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 18．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算： （2）m是正整数，且，求m． （3）已知，求的值． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出 ，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【解题过程】 （1）解： （2） ； （3） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 二次根式的混合运算 · 典例分析 【典例1】材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1） =_____ _；（直接写结果） （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【思路点拨】 本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【解题过程】 （1）解： ， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①； ②设有理数，满足：，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·重庆北碚·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③；④ ；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（   ）个 ①若是的小数部分，则的值为； ②若（其中为有理数），则； ③，则 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）的整数部分是 ． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，则的算术平方根是 ． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 ． 9．（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则的值为 ． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 13．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）计算： （1）； （2）（）． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． （1）； （2）． 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下面式子的结果：__________． （2）应用：化简； （3）拓展：__________．（用含的式子表示，为正整数） 16．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． （2）若是的小数部分，化简． （3）利用你发现的规律计算下面式子的值 17．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， （1）若，求的值； （2）比较与的大小，并说明理由． （3）利用这一规律计算：． 18．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算：． （2）m是正整数，且，求m． （3）已知，求的值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$