专题4.3 等差数列的前n项和（5类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.3 等差数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等差数列的前n项和】 2 【考点2：等差数列的前n项和与二次函数的关系】 4 【考点3：等差数列前n项和的性质】 5 【考点4：等差数列前n项和的最值】 5 【考点5：等差数列前n项和的实际应用】 6 【知识梳理】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 【考点1：求等差数列的前n项和】 【知识点：求等差数列的前n项和】 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则 ． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列的前项和为，若，且，则 . 3．（24-25高三上·河北·期末）已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．240 B．225 C．120 D．30 5．（2024·福建宁德·二模）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 7．（24-25高二上·河南·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求满足的最小正整数． 8．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 【考点2：等差数列的前n项和与二次函数的关系】 【知识点：等差数列的前n项和与二次函数的关系】 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是 . 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，．若，则的值为 ． 3．（24-25高二下·上海青浦·阶段练习）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 5．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，则是为等差数列的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也不必要 7．（多选）（23-24高二下·广东广州·阶段练习）等差数列的前项和为，且，，，，则下列各值中可以为的是（    ） A． B．3.5 C．4.5 D． 8．（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 3．（24-25高三上·北京朝阳·期中）设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为 ． 【考点3：等差数列前n项和的性质】 【知识点：等差数列前n项和的性质】 1．（24-25高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 4．（24-25高二上·天津和平·期末）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）等差数列的前项和分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点4：等差数列前n项和的最值】 【知识点：等差数列前n项和的最值】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，前项和，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 3．（多选）（24-25高二上·湖南·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 4．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 5．（24-25高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【考点5：等差数列前n项和的实际应用】 【知识点：等差数列前n项和的实际应用】 1．（24-25高二上·天津和平·期末）一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片20层，共铺瓦片 块. 2．（2024·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 3．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 4．（24-25高三上·湖南·期中）为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（    ） A．3.5小时 B．246分钟 C．4小时 D．250分钟 5．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二上·全国·课后作业）湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 等差数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等差数列的前n项和】 2 【考点2：等差数列的前n项和与二次函数的关系】 6 【考点3：等差数列前n项和的性质】 10 【考点4：等差数列前n项和的最值】 12 【考点5：等差数列前n项和的实际应用】 14 【知识梳理】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 【考点1：求等差数列的前n项和】 【知识点：求等差数列的前n项和】 1．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，再由求和公式计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得， 则． 故答案为： 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列的前项和为，若，且，则 . 【答案】1485 【分析】根据为等差数列，即可根据等差求和公式求解. 【详解】由，可知数列是个“类周期数列”， 因此可设数列满足，每三项并项， 则， 于是数列是公差为3的等差数列，且， 于是得到 . 故答案为：1485 3．（24-25高三上·河北·期末）已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 【答案】8 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得，再求得，然后由等差数列的求和公式求. 【详解】设等差数列的公差为d，则． 由可得，． 又，则，故，又，则， 所以，因此数列的前8项和． 故答案为：8. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．240 B．225 C．120 D．30 【答案】A 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，代入求和公式中即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d， 由可得，解得， 故， 故选：A 5．（2024·福建宁德·二模）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 【答案】A 【分析】设，由已知可得，可求. 【详解】设，由，得，则， 故 ． 故选：A 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用等差数列的通项公式求解； （2）由（1）得到，令，得，则当时，，当时，，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设公差为， ∵， ∴， ∴，. （2）设数列的前项和为， 则由（1）可得，，. 由（1）知，令，得， ∴当时，；当时，， 则， 所以. 7．（24-25高二上·河南·阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求满足的最小正整数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式求解数列的首项与公差，即可得通项公式； （2）求等差数列的前项，列不等式求解即可得答案. 【详解】（1）设的公差为． 因为，， 所以 解得 所以． （2）由（Ⅰ）可知． 由，得，即， 解得或， 又为正整数，所以满足条件的最小正整数． 8．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的定义证明；     （2）设的公差为，由，求得公差为，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d， 则，     ∴， ∴，     又∵，∴是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知为等差数列，设其公差为， 则 ，即，则，     又∵， ∴. 【考点2：等差数列的前n项和与二次函数的关系】 【知识点：等差数列的前n项和与二次函数的关系】 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是 . 【答案】 【分析】根据等差数列前n项和公式的函数特征求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以， 又， ，解得. 故答案为：. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设等差数列的前项和为，．若，则的值为 ． 【答案】12 【分析】写出，由二次函数的对称性得到，求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以可看成二次函数， 由二次函数图象的对称性及， 可得，解得． 故答案为：12 3．（24-25高二下·上海青浦·阶段练习）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有 个. 【答案】2020 【分析】 根据给定条件，求出与的关系，再利用前项和公式，结合二次函数对称性求解即得. 【详解】依题意，，解得， 因此，， 由于二次函数图象的对称轴为， 则在的2024个数值中，， 所以不同的数值有2020个. 故答案为：2020 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得. 【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数， 由二次函数的对称性及，，得，解得， 所以正整数k为2023． 故选：D 5．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，则是为等差数列的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据与的关系及等差数列的定义，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 取时，，此式也满足， 故数列的通项公式为, 所以， 所以数列是等差数列. 所以是为等差数列的充分条件， 因为为等差数列， 所以， 令，则， 所以是为等差数列的必要条件， 综上，是为等差数列的充要条件. 故选: A. 7．（多选）（23-24高二下·广东广州·阶段练习）等差数列的前项和为，且，，，，则下列各值中可以为的是（    ） A． B．3.5 C．4.5 D． 【答案】CD 【分析】根据等差数列的前项和性质可设，根据已知推出关系式，进而得的关系式，结合基本不等式求范围得结论即可． 【详解】是等差数列，设， 则，， 两式相减得，，故，． ， ，， 则. 故选：CD． 8．（多选）（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】AC 【分析】根据的关系求出通项，然后根据公差即可判断ABC；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 3．（24-25高三上·北京朝阳·期中）设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】由等差数列前n项和公式有且，结合二次函数性质找到一个满足不是递减数列的即可. 【详解】由，其对称轴为，且， 结合二次函数性质，只需，即，此时不是递减数列， 如，，则，显然. 故答案为：，（答案不唯一） 【考点3：等差数列前n项和的性质】 【知识点：等差数列前n项和的性质】 1．（24-25高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】36 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：36. 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 【答案】20 【分析】由题意可得，，两式相加，且由等差数列的性质可求的值，代入等差数列的前项和公式，结合已知条件可求的值． 【详解】由题意可得： 前4项之和为①， 后4项之和为②， 根据等差数列的性质①②可得： ， 由等差数列的前项和公式可得：， 所以． 故答案为：20. 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，结合等差数列片段和的性质求解即可； 【详解】由题意设，则， 由是等差数列，所以也成等差数列， 所以，解得； ，解得， 所以， 故选：C. 4．（24-25高二上·天津和平·期末）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 5．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）等差数列的前项和分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式列式计算即可. 【详解】等差数列的前项和分别为和，， 所以 . 故选：D 【考点4：等差数列前n项和的最值】 【知识点：等差数列前n项和的最值】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，前项和，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行配方，结合即可求出的最小值. 【详解】，因为，二次项系数为正数， 所以或时，取最小值为， 故选：C. 2．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解. 【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得， ∴，即, 所以n的最大值为13， 故选：B 3．（多选）（24-25高二上·湖南·期中）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【分析】对于A，由题设得公差即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由以及等差数列前n项和性质结合一元二次函数性质即可判断；对于D，由等差数列的函数性质即可判断. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则， 所以等差数列为单调递增数列，故A正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，故B错误； 对于C，因为，， 所以由二次函数图象性质知必有最小值，故C正确； 对于D，因为，结合一次函数性质，不论为何值，存在正整数，当时，（）. 故选：ACD. 4．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可。 【详解】因为为等差数列，不妨设其公差为d，易知， 则，即是关于n的二次函数， 又，所以关于对称， 由二次函数性质知时，最小. 故答案为：7 5．（24-25高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 【考点5：等差数列前n项和的实际应用】 【知识点：等差数列前n项和的实际应用】 1．（24-25高二上·天津和平·期末）一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片20层，共铺瓦片 块. 【答案】 【分析】结合等差数列定义及其求和公式计算即可得. 【详解】设第层铺了块瓦片，为前项和， 由题意可得，且为公差为的等差数列， 则，. 故答案为：. 2．（2024·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 【答案】120 【分析】根据题意一只鸡、一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为，列出关于和的方程组，解出即可求出甲花费的钱数. 【详解】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 3．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【答案】8 【分析】计算出，解不等式，则有，再利用二次函数的单调性即可得到答案． 【详解】解：第一年年产量为，以后各年年产量为（，为正整数），当时也符合上式， ∴（为正整数）． 令，得． 设，对称轴为， 则当时，严格增，又因为为正整数，，， 则最大生产期限应拟定为8年， 故答案为：8． 4．（24-25高三上·湖南·期中）为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为（    ） A．3.5小时 B．246分钟 C．4小时 D．250分钟 【答案】C 【分析】根据等差数列求和公式计算可得结果. 【详解】依题意可得，小张从11月1日开始，第1天､第2天､､第15天的运动时长依次成等差数列， 且首项为2，公差为2，所以从11月1日到11月15日，小张运动的总时长为分钟小时. 故选：C 5．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 【答案】B 【分析】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1， 台抽水机完成的任务依次为，，是公差为的等差数列，解不等式即可得．不等式数字较大，引入二次函数后，利用函数的性质确定结论． 【详解】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，这台抽水机完成的任务依次为，（） 依题意，，是公差为的等差数列， ， 要完成所有任务，则， ， 记，在上是减函数， ，， 所以时，， 所以最小值需要24台抽水机， 故选：B． 7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数. 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故选：B. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值． 【答案】12万元． 【分析】各年的维护费用（单位：万元）构成以12为首项，6为公差的等差数列，表达出该台机器年后的盈利，并求出，表达出购买该台机器年后的年平均利润，利用基本不等式求出最大值，得到答案. 【详解】由题意可知各年的维护费用（单位：万元）构成以12为首项，6为公差的等差数列， 设购买该台机器年后的盈利为万元， 则． 令，则，解得． 设购买该台机器年后的年平均利润为万元， 则， 当且仅当时取“=”， 因此，购买该台机器8年后的年平均利润最大，最大年平均利润是12万元． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$