第06讲 正多边形与圆（1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第06讲 正多边形与圆（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2024春•天长市月考）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据正多边形的中心角计算即可． 【解答】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：， ， 故选：． 【点评】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角． 2．（2024•安徽模拟）如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，，与分别交于，． （1）　　； （2）若，则的长为 　　． 【分析】（1）由正多边形的质得，从而可求，由正方形的性质及角的和差得，即可求解； （2）连接交于点，连接交于，多边形的质得，由正方形的性质及三角形函数得，，求出，即可求解． 【解答】解：（1）如图，连接交于点， 在正六边形中， ， 是正六边形的对角线， ， ， 是等边三角形， ， 在正方形中，， ， 故答案为：15． （2）如图，连接交于点，连接交于． 在正六边形中， ， 由（1）得：，，， ， ， 在正方形中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，等边三角形的判定及性质等；掌握性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 3．（2024•蚌埠模拟）如图是正方形、正五边形、正六边形． （1）观察图中各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，，，则　　，　　，　　． （2）按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示　　（其中为不小于4的整数）． （3）若，求相应的正多边形的边数． 【分析】（1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）根据（2）中的结论列方程求解即可． 【解答】解：（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：90，108，120； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ， 故答案为：； （3）， ， 解得． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型二、正多边形和圆的综合 4．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出． 【详解】解：连接，，， 正方形与等边内接于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D 5．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 【答案】/24度 【知识点】求正多边形的中心角、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意得：， ， ， ， 故答案为：． 6．（安徽芜湖·中考真题）已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长． 【答案】2 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据其轴对称性，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得AH，DH的长，设圆的半径是r．在直角三角形BOH中，根据勾股定理列方程求解． 【详解】如图， 作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点． ∵△ABC为等边三角形， ∴AF垂直平分BC， ∵四边形BDEC为正方形， ∴AH垂直平分正方形的边DE． 又DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r． 在Rt△ABF中， ∵∠BAF=， ∴． ∴OH==ｒ． 在Rt△ODH中，． ∴．解得ｒ＝2． ∴该圆的半径长为2． 分层练习 一、单选题 1．中心角为45°的正n边形的边数n等于（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】根据正多边形的中心角，计算即可． 【详解】由题意得，45°， 解得n＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形中心角，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将正多边形的中心角与内角混淆而造成错误计算． 2．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为， ∴该正多边形的边数为：，故D正确． 故选：D． 3．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　　） A．2 B． C．2 D．2 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、正多边形和圆的综合、已知正弦值求边长 【分析】根据题意得：正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°，正六边形的每一个内角为 ，然后分别求出半径为4的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2， ， ，再由勾股定理逆定理，可得以三条边心距为边的三角形为直角三角形，即可求解． 【详解】解：根据题意得：正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°，正六边形的每一个内角为 ， 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，过点O作OM⊥BC，连接OB， ∵ ， ∴ ； 如图，正方形ABCD为⊙O的内接正方形，过点O作ON⊥CD于点N，连接OD， ∵ ， ∴ ； 如图，六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形，过点O作OH⊥DE于点H，连接OE， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴半径为4的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2， ， ， ∵ ， ∴以三条边心距为边的三角形为直角三角形， ∴该三角形的面积为 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆的内接多边形的性质，勾股定理逆定理，熟练掌握圆的内接多边形的性质，勾股定理逆定理是解题的关键． 4．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠C的度数之比为1:2，则∠A的度数为（  ） A．30° B．60° C．70° D．90° 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C+∠A=180°， ∵∠A、∠C的度数之比为1:2， ∴∠C=2∠A， ∴∠A+2∠A=180°， ∴∠A=60°． 故选B． 5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（    ） A．45° B．90° C．135° D．150° 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题． 【详解】∵， ∴∠A＝∠DOB＝×90°＝45°， ∵∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°， 故选C． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 6．已知正六边形的边长为3，则这个正六边形的半径是（　　） A． B．2 C．3 D．3 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合 【分析】根据题意画出图形，然后连接OA、OB，证明△OAB为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： 设AB是⊙O的内接正六边形的一边，连接OA、OB，则∠AOB=， 又∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=3，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的半径、中心角，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正n边形的中心角=；正六边形的半径等于其边长． 7．一个等边三角形的外切圆与内切圆的半径差为，则这个等边三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了三角形的内切圆与外切圆，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．过点作于点，延长交于点，连接，，根据等边三角形和内切圆的性质可得，推出，根据题意可得，可求出，，进而求出，再根据勾股定理可求出，进而求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，连接，， ， 是等边三角形，， ， ， 根据题意得：，即， ，， ，， ， 等边三角形的面积为:， 故选：A． 8．如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于C点，PA和PB分别切⊙O于A和B点，已知⊙O的半径为3cm，∠APB=60°．若用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A．2cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【详解】试题分析：首先根据扇形的圆心角∠AOB=120°和扇形的半径为3cm求得扇形的弧长=2π，然后求得圆锥的底面半径为2π÷2π=1，从而利用勾股定理求得圆锥的高=cm． 故选A． 考点：圆锥的计算；切线的性质 9．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【详解】试题解析：∵四边形ABCD内接于 ∴ 故选B． 点睛：圆内接四边形的对角互补. 10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、正多边形和圆的综合 【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出OM即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图所示： ∵六边形ABCDEF为正六边形， ， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝1， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BM＝AB＝， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键． 二、填空题 11．已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求出边心距． 【详解】解：如图，在正六边形中，边长AB=6cm，O为正六边形的中心，过点O作OG⊥AB于点G，连接OA、OB， 根据题意得：∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴AG=BG=3，OA=OB=AB=6cm， 在中，， 即它的边心距等于cm． 故答案为： 【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形. 12．一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的半径 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、正多边形的外角问题、正多边形和圆的综合 【分析】先求出正多边形边数为6，再根据正六边形性质即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得 ， 解得 n=6 ∴正多边形为正六边形， ∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形， ∴该正多边形的半径等于4． 故答案为：4 【点睛】本题考查了正多边形的相关概念，和正六边形的性质，熟知相关概念是解题关键． 13．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是 ．      【答案】/30度 【知识点】求正多边形的中心角、圆周角定理 【分析】本题考查正多边形和圆，熟练掌握求正多边形的中心角和圆赒角定理是解题的关键. 连接、，先求出，再根据圆周角定理求解即可. 【详解】解：连接、，如图，    ∵正六边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：. 14．下列说法不正确的是 ．（只填序号） ①的整数部分为2，小数部分为． ②外角为60°且边长为4的正多边形的内切圆的半径为． ③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为． ④新定义运算：，则方程有两个不相等的实数根． 【答案】①②④ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一次函数图象平移问题、正多边形和圆的综合 【分析】估算出的范围即可判断①；利用正六边形的性质进行计算即可得出内切圆半径即可判断②；利用一次函数平移的性质即可判断③；根据新定义的运算，将原方程变为，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为，故①正确； 由“外角为60°且边长为4的正多边形”可知这个多边形为正六边形，且边长为4，如图， 由正六边形的性质可知， ， ∴， ∴正六边形的内切圆半径为，故②正确； 把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，故④错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一次函数图象的平移，无理数的估算，正多边形与圆，灵活运用所学知识是解题的关键． 三、解答题 15．已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）． (1)在图中作出以为对角线的一个菱形； (2)已知六边形的边长为2，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析（答案不唯一）， (2)见解析（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、利用菱形的性质求面积、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图． （1）利用正六边形的对称性找到的垂直平分线，然后根据菱形的性质对角线互相垂直平分，即可作出图形． （2）根据正六边形的内角等于度，利用等边三角形或30度直角三角形、勾股定理求出另一条对角线长，由面积菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）： （2）解：∵六边形是正六边形， ∴，， 又∵正六边形是关于所在直线的对称， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ①如图1-1，连接交于点, ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， ②如图1-2， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， ∴菱形的面积， ③如图1-3， 由①可知：，是等边三角形，同理可求， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 16．如图，已知正方形的边长是，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、利用垂径定理求值 【分析】设连接，作于点B，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可． 【详解】解：连接，作于点B，设正方形外接圆、内切圆的面积为． ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的计算，一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形． 17．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线、正多边形和圆的综合 【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论； （2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论； 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 18．如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,F是的中点,连接CF,EF. (1)请直接写出∠CFE=　 　°; (2)求证:EF=CF; (3)若☉O的半径为5,求的长. 【答案】（1）72°；（2）详见解析；（3）3π. 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和正五边形的内角解答即可； （2）利用正五边形的性质和弧长关系证明即可； （3）利用弧长公式解答即可． 【详解】解: （1）∵正五边形ABCDE， ∴∠EDC＝108°， ∴∠CFE＝180°−108°＝72°， 故答案为72°. (2)∵五边形ABCDE是正五边形,∴AE=BC,∴, 又∵F是的中点,∴, ∴,∴,∴EF=CF. (3)∵☉O是正五边形ABCDE的外接圆, ∴, ∵R=5,∴×2πR=2π, 又∵=π,∴=3π. 【点睛】本题考查了正多边形与圆，解题关键是根据圆内接四边形的性质和正五边形的性质解答． 19．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质求线段长、正多边形和圆的综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）欲证明，只要证明即可． （2）连接，过点D作交的延长线于F．证明，推出，得到，推出，再利用等腰三角形的性质构建方程求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，过点D作交的延长线于F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形， （1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数； （2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律． 【答案】（1），，；（2）. 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 【详解】解：（1）解：由正方形ABCD， 可得：AC⊥BD， ∴＝90°； 由正五边形ABCDE， 可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°， ∴∠DBC＝∠ACB＝， ∴＝180°−∠DBC−∠ACB＝108°； 同理：＝120°； （2）． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 21．如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图. (1)在图①中，画出一个以为边的矩形； (2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【知识点】尺规作图——正多边形、证明四边形是矩形 【分析】（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形即可； （2）在图②中，多边形ABCDEF是正六边形，在AF上画出点M，使得即可． 【详解】解：（1）图①中，即为以为边的矩形    （2）在图②中，点即为所求，使得 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是综合运用矩形的判定与性质、正多边形和圆的性质准确画图． 22．如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与四边形的综合(圆的综合问题)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可． （2）证明， 由相似三角形的性质可得出，进一步即可证明． （3）连接正方形的对角线，设正方形的边长为，分两种情况求解，当与重合时，或当与重合时，利用正方形的性质求解即可． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接．根据同弧所求的圆周角相等，结合正方形的性质与相似三角形的判定以及性质可得出结论． 【详解】（1）解：是的直径，在上， ． 又的半径等于， ． ， ． ． （2）证明：由（1）知， ， ． 又， ． ． ． ． 又是的半径， 直线与相切，切点为点． （3）解：若四边形是正方形，存在常数，使． 理由如下： 连接正方形的对角线，设正方形的边长为． 当与重合时，，； 当与重合时，，． 若四边形是正方形，当与重合时，或当与重合时，存在常数，使，且． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接． 四边形是正方形， ，对角线是的直径． 根据已知得，是的弧所对的圆周角， ．同理可证． 是的直径，在上， ，． ， ． ． ． ． 当既不与重合也不与重合时，． 综上所述，若四边形是正方形，存在常数，使，且． 【点睛】本题主要考查了圆与正方形的综合题，涉及到的知识有直径所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，切线的证明，正方形的性质，正切的定义，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 23．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°； （2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP． ①若AP＝2，求△APC的面积； ②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②． 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得∠AEC＝∠ABC＝45°； （2）①通过证明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性质可求CF＝1，即可求解； ②过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解． 【详解】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴点A，点B，点E，点C四点共圆， ∴∠AEC＝∠ABC＝45°； （2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F， ∵∠BPD＝45°，BE⊥AD， ∴∠PBE＝45°＝∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBE， ∵∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴点A，点B，点E，点C四点共圆， ∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°， ∴△APB∽△CEB， ∴CE＝＝， ∵CF⊥AD，∠AEC＝45°， ∴∠FCE＝∠CEF＝45°， ∴CF＝EF＝CE＝1， ∴△APC的面积＝×AP×CF＝1； ②如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H， 设AP＝2a，则BP＝a， 由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a， ∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°， ∴BE＝PE＝a， ∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a， ∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2， AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2， ∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF， ∴（AC•PH）2＝（AP•CF）2， ∴PH2＝a2， ∵（sin∠ACP）2＝＝＝， ∴sin∠ACP＝， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 正多边形与圆（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2024春•天长市月考）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024•安徽模拟）如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，，与分别交于，． （1）　　； （2）若，则的长为 　　． 3．（2024•蚌埠模拟）如图是正方形、正五边形、正六边形． （1）观察图中各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，，，则　　，　　，　　． （2）按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示　　（其中为不小于4的整数）． （3）若，求相应的正多边形的边数． 题型二、正多边形和圆的综合 4．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 6．（安徽芜湖·中考真题）已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长． 分层练习 一、单选题 1．中心角为45°的正n边形的边数n等于（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 3．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　　） A．2 B． C．2 D．2 4．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠C的度数之比为1:2，则∠A的度数为（  ） A．30° B．60° C．70° D．90° 5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（    ） A．45° B．90° C．135° D．150° 6．已知正六边形的边长为3，则这个正六边形的半径是（　　） A． B．2 C．3 D．3 7．一个等边三角形的外切圆与内切圆的半径差为，则这个等边三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于C点，PA和PB分别切⊙O于A和B点，已知⊙O的半径为3cm，∠APB=60°．若用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A．2cm B．cm C．cm D．cm 9．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________． A． B． C． D． 二、填空题 11．已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于 ． 12．一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的半径 ． 13．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是 ．      14．下列说法不正确的是 ．（只填序号） ①的整数部分为2，小数部分为． ②外角为60°且边长为4的正多边形的内切圆的半径为． ③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为． ④新定义运算：，则方程有两个不相等的实数根． 三、解答题 15．已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）． (1)在图中作出以为对角线的一个菱形； (2)已知六边形的边长为2，求菱形的面积． 16．如图，已知正方形的边长是，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π） 17．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 18．如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,F是的中点,连接CF,EF. (1)请直接写出∠CFE=　 　°; (2)求证:EF=CF; (3)若☉O的半径为5,求的长. 19．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 20．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形， （1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数； （2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律． 21．如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图. (1)在图①中，画出一个以为边的矩形； (2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使 22．如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°； （2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP． ①若AP＝2，求△APC的面积； ②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$