专题02 等比数列（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二等比数列易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校等比数列易错题精选 专题二：名校等比数列培优题精选 专题三：名校等比数列新定义试题精选 专题四：等比数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校等比数列易错题精选 1．已知等差数列满足，前8项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设等比数列的公比为q，其前项之积为，并且满足条件：，，.给出下列结论：（1）；（2）（3）的值是中最大的；（4）使成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为（ ） A．（1），（3） B．（2），（3） C．（2），（4） D．（1），（4） 4．已知等比数列的前n项和为，若存在实数，使得，则以下结论不正确的是（   ） A． B．数列的公比为 C． D．数列可能为常数列 5．记为数列的前项和，若，为等比数列，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 6．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 7．数列中，，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 9．若数列和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）设正项等比数列的前项和为，前项积为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是的最大值 D．对任意， 11．（多选题）已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．是等比数列 B．一定不是等差数列 C．是等比数列 D．一定不是等比数列 12．（多选题）已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（多选题）已知为正项等比数列的前项积，若，，则（    ） A．的公比的取值范围为 B．数列为递增数列 C．当时，最小 D．当时，最大 14．（多选题）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 15．（多选题）在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 16．已知等差数列的公差是2，且，，成等比数列，则当数列的前项和取最小值时，n的取值为 . 17．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得.给出如下4个结论： ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得. 其中正确命题的序号是 . 18．已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 19．已知等差数列和等比数列满足，，，，设数列的公比为. (1)求数列，的通项公式； (2)若，为数列的前项和，求. 20．已知数列满足：且，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值. 专题二：名校等比数列培优压轴试题精选 1．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 2．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于198 3．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．已知等比数列的首项，公比为q，记，则“”是“数列为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选题）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A．的第2项小于1 B． C．为等比数列 D．中存在大于100的数 7．（多选题）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数的值为198 8．（多选题）已知数列满足：，，，数列的前项的积为，记，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．当为奇数时， D．当为偶数时， 9．（多选题）无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项 D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项 10．（多选题）已知数列的前项和为则下列说法正确的是（   ） A．是等比数列 B． C．中存在不相等的三项构成等差数列 D．若，则的取值范围为 11．（多选题）已知数列的各项均为负数，其前项和满足，则（   ） A． B．为递减数列 C．为等比数列 D．存在大于的项 12．（多选题）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法错误的是（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 13．（多选题）已知满足，，记的前n项和为，的前n项和为，则下列说法中不一定正确的是（    ） A．是等比数列 B．的通项公式为或 C．若，则 D．若，则为定值 14．（多选题）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 15．已知数列满足，记的前n项和为，若，则 ；若，则 ． 16．从集合中选取s个数，从集合中选取t个数．若这个数的和不小于，则的最小值为 ． 17．已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为 . 18．已知数列满足，，则 ；设数列的前项和为，则 . 19．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：.设，其中，数列的前项和为，则满足的最小值为 . 20．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是 . ①可能为等差数列；②可能为等比数列：③均能写成的两项之差；④对任意，，总存在，使得. 专题三：名校等比数列新定义试题精选 1．若项数有限的数列，满足，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质. (1)判断数列，1，2是否具有性质； (2)若，数列具有性质，是中的任意一项， ①证明：是中的项； ②证明：当时，数列为等比数列. 2．给定数列，若对任意且是中的项，则称为“数列”；若对任意且是中的项，则称为“数列”. (1)设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； (2)设数列既是等比数列又是“数列”，且，求公比的所有可能取值； (3)设等差数列的前项和为，对任意是数列中的项，求证：数列是“数列”. 3．对于数列，，其中，对任意正整数，都有，则称数列为数列的“-接近数列”.已知为数列的“-接近数列”，且，. (1)当时，若，求，的值； (2)当时，若，是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)当时，若为无穷等差数列，公差为，证明：“数列为等差数列”的充要条件是“”. 4．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 5．已知数列的前n项和为，若满足：①项数有限为N；②；③，则称数列为“N阶型数列”． (1)若，请判断数列是否为“N阶型数列”？若是，请求出N的值；若不是，请说明理由； (2)若等比数列为“6阶型数列”，求的通项公式； (3)若等差数列为“2m阶型数列”，且，证明：数列中不存在两项之和仍在该数列中． 6．已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. (1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； (2)若为的“伴随数列”，证明：； (3)已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 7．设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. (1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； (2)设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； (3)对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 8．已知无穷数列（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为阶等比数列． (1)已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式； (2)若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列．证明：为三阶等比数列； (3)已知，令的前项和为，，证明：． 9．若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 10．已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集. (1)证明：好集可以构成优集合. (2)若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数. (3)若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由. 11．已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” (1)已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由； (2)设数列的前n项和为． （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立． 12．设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“数列”； (2)若数列的前n项和，证明：数列不是“数列”； (3)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求d的值. 13．对于数列，若存在正数k，使得对任意m，都满足，则称数列符合“条件”. (1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ (2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”. ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”. 14．对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”． (1)已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围； (2)若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围； (3)已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由． 15．设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，证明：． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 16．如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. (1)写出所有满足的数列； (2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； (3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 17．设数列A： ， ，… ().如果对小于的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合. (1)对数列：，写出的所有元素； (2)证明：若数列中存在使得>，则； (3)证明：若数列满足，则的元素个数不小于. 18．给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”；若对任意，且，是中的项，则称为“数列”. (1)设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； (2)设数列既是等比数列又是“数列”，且，，求公比的所有可能值； (3)设等差数列的前项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“数列”. 专题四：等比数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2012高一·全国·竞赛）已知等比数列首项，公比，用表示该数列前项之积，则中最小的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2018高一·全国·竞赛）在数列中，，若数列是以3为公比的等比数列，则（    ） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 3．（2016高二·全国·竞赛）设为等比数列，公比为的前项和．记，设为数列的最大项，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2007高一·全国·竞赛）两个正项递增数列即等差数列和等比数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2012高一·全国·竞赛）为正项等比数列，且，则（    ）． A．18 B．16 C． D． 6．（2022高一下·四川成都·竞赛）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，，当时，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高二上·重庆万州·期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2014高一下·湖北武汉·竞赛）数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，，那么（    ） A．150 B．-200 C．150或-200 D．400或-50 9．（2013高三·浙江·竞赛）已知等比数列，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（　　） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·江苏南通·期中多选题）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 11．（2014高一·全国·竞赛）在等比数列中，已知，则 . 12．（2012高一·全国·竞赛）设数列满足，且，则通项 ． 13．（2007高二·全国·竞赛）等比数列中，和是关于的方程的两个根，则 . 14．（2014高一·全国·竞赛）已知数列，对任意都有成立，且，，则数列的通项公式 . 15．（2024高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 16．（2010高一·全国·竞赛）如果数列满足（为非零常数），就称数列为和比数列，下列四个说法中正确的是 （填序号）.①若是等比数列，则是和比数列；②设，若是和比数列，则也是和比数列；③存在等差数列，它也是和比数列；④设，若是和比数列，则也是和比数列. 17．（2017高一·全国·竞赛）已知数列满足，（），前项和为，则 ． 18．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）在递减等比数列中，，是方程的两根，若数列前项积为，则当取得最大值时，的值为 ． 19．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二等比数列易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校等比数列易错题精选 专题二：名校等比数列培优题精选 专题三：名校等比数列新定义试题精选 专题四：等比数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校等比数列易错题精选 1．已知等差数列满足，前8项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】求出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列的前项和，验证得答案． 【详解】设的公差为，由得， 解得，所以. 设的公比为，由，得， 解得（舍）或，所以. 因为，所以， 则， 因为对任意的，，所以数列单调递增， 又因为，， 所以当时，，故的最大值是8. 故选：D. 2．设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分性、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由题意得，且， ∴. 若为递减数列，则，故，充分性成立. 若，则，故，为递减数列，必要性成立. 所以“为递减数列”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3．设等比数列的公比为q，其前项之积为，并且满足条件：，，.给出下列结论：（1）；（2）（3）的值是中最大的；（4）使成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为（ ） A．（1），（3） B．（2），（3） C．（2），（4） D．（1），（4） 【答案】D 【分析】先根据题意确定公比的取值范围，再由等比数列的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】因为，，所以； 由，所以，所以. 若，因为，所以，，这与矛盾.故不成立. 若，由，与条件无冲突. 故，所以（1）成立； 由，所以，故（2）错误； 因为，因为，，所以， 又单调递减，，所以是中的最大值.所以（3）错误； 因为在时单调递增，当时，单调递减. 且， . 所以使成立的最大自然数等于4030.故（4）正确. 故选：D 4．已知等比数列的前n项和为，若存在实数，使得，则以下结论不正确的是（   ） A． B．数列的公比为 C． D．数列可能为常数列 【答案】D 【分析】设出等比数列的公比为，分和两种情形，分别表示出，并与比较对照，分别用和表示出，然后逐一分析判断各选项即可. 【详解】设等比数列的公比为，若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列， 而不是关于的一次函数，故不可能为常数列，故D错误； 对于B，因，则，又， 故得：，故B正确； 对于A，，故A正确； 对于C，因，故C正确. 故选：D. 5．记为数列的前项和，若，为等比数列，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】根据为等比数列，且，可得，再求出，即可得解. 【详解】因为为等比数列，所以的首项为，第二项为， 第三项为， 故的公比为2，所以， 所以当时，，显然当时也符合， 故，所以. 故选：D. 6．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值,最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 7．数列中，，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，可推出数列为等比数列，由，根据等比数列前项和公式，即可得到答案. 【详解】令，则由，得，即， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以， 所以 ，解得. 故选：C 8．已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】A 【分析】由条件可得，，结合关系可得，可得，由此判断AC，举反例判断BD. 【详解】因为，数列为正项数列， 所以，，又， 所以， 所以， 所以为等差数列，A正确，C错误； 设，则，，， 满足条件，， 因为，， 所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误. 故选：A. 9．若数列和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设依次求出和，再两式相减可得，从而代入即可求解. 【详解】由题可得，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 又由题可得即， 所以，故， 所以. 所以， 所以. 故选：A. 10．（多选题）设正项等比数列的前项和为，前项积为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是的最大值 D．对任意， 【答案】ACD 【分析】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，利用通项公式及前n项公式进行化简判别即可. 【详解】设的公比为．因为为正项等比数列，所以，． 对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，因为，且，，所以，， 又，所以，故B错误； 对于C，由B可知，的前2024项均大于1，从第2025项开始都小于1， 所以是数列中的最大项，故C正确； 对于D，，， 所以，因为，所以，所以，故D正确． 故选：ACD. 11．（多选题）已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．是等比数列 B．一定不是等差数列 C．是等比数列 D．一定不是等比数列 【答案】AC 【分析】根据等比数列的定义判断A、C；举反例判断B、D. 【详解】设、的公比分别为， 对于数列，它是公比为的等比数列，A对； 对于数列，它是公比为的等比数列，C对； 若满足数列和是等比数列， 此时，数列既是等比数列，也是等差数列，B、D错. 故选：AC 12．（多选题）已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】先根据等比数列基本量运算列方程组求出或，再根据选项中第三项与第六项大小关系，分别确定首项与公比，结合等比数列的通项公式与求和公式以及等比数列的性质，对选项中结论逐一分析即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为， 所以，解得或， 所以或. 对于A选项，在等比数列中，，又，所以，所以A选项正确； 对于B选项，若，则数列递增，，即，所以，所以B选项正确； 对于C选项，若，则数列递减，，即，所以，所以C选项不正确； 对于D选项，若，则数列递减，，又， 所以，所以D选项正确， 故选：ABD. 13．（多选题）已知为正项等比数列的前项积，若，，则（    ） A．的公比的取值范围为 B．数列为递增数列 C．当时，最小 D．当时，最大 【答案】BC 【分析】运用前项积的概念分析得到等比数列的单调性得解. 【详解】由，得，同理由，得， 所以，，所以， 故，所以为递增数列， 当时，最小，无最大值，故A，D错误，B，C正确. 故选：BC. 14．（多选题）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列. 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于C，，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 15．（多选题）在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件，解得，进而得到，，选项A和B，利用等比、等差数列的定义，即可判断；选项C和D，利用等比、等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为数列是递增的等比数列，又，解得， 所以公比，，， 对于选项A，因为不为常数，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 所以为常数，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故选项B正确， 对于选项C，因为， 所以选项C正确， 对于选项D，因为， 所以，故选项D正确， 故选：BCD. 16．已知等差数列的公差是2，且，，成等比数列，则当数列的前项和取最小值时，n的取值为 . 【答案】或 【分析】运用等比中项的性质和等差数列的通项公式列方程可得首项，由等差数列的求和公式结合二次函数的最值求法，即可得到取最小值时n的取值． 【详解】∵，，成等比数列，∴，即， ∴，解得， ∴， ∴当有最小值时，或. 故答案为：或. 17．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得.给出如下4个结论： ①可能为等差数列； ②可能为等比数列； ③均能写成的两项之差； ④对任意，总存在，使得. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】对于①，取判定；对于②，当的公比时，不存在正整数，当时，即无有理数根判定；对于③，根据判定；对于④取数列，显然不存在，使得，判定即可. 【详解】对于①，取等差数列，易验证其满足要求，①正确. 对于②，若为等比数列，设公比为，显然不满足要求， 考虑的情况，依题意，应有， 即 ， 两式相除，得. 若，则取为奇数，那么，所以， 所以. 当足够大时，显然不成立； 若，则， 因为，所以当足够大时， 可以使，故也不成立.从而知②错误； 对于选项③，取，则 ，所以， 当时，，故③正确. 对于选项④， 取数列， 显然不存在，使得，故④错误. 故答案为：①③ 18．已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设数列的公比为，根据，，成等差数列，列方程，解得，进而得，分是偶数或是奇数讨论，利用单调性求最值即可. 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，又， 可得，解得，所以， 所以． 当为偶数时，由，得， 所以对任意的偶数成立， 因为单调递减，所以当时取最大值， 故； 当为奇数时，由，得， 所以对任意的奇数成立， 因为单调递增，且当时，，故． 综上所述，． 故答案为：. 19．已知等差数列和等比数列满足，，，，设数列的公比为. (1)求数列，的通项公式； (2)若，为数列的前项和，求. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解； （2）由（1）得到，再利用等比数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）解：设的公差为， 由，得， 又，得， 联立解得，或， 因为， 故舍去， 所以， . （2）由（1）有， 因为， 所以数列是以首项为4，公比为的等比数列. . . 20．已知数列满足：且，. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明，进而求得数列的通项公式. （2）利用分组求和法来化简已知等式，从而求得的值. 【详解】（1）因为，， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以. 即，所以. （2）由（1）知 . . 又，故， 即，所以. 解得. 专题二：名校等比数列培优压轴试题精选 1．已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项可得，可得，进而得到，即可对讨论,结合选项逐一求解. 【详解】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得，， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 对于B，时，，，若数列单调递增， 则，即，由，需要，故B选项错误； 对于C，时，，解得，时，， 由，若数列单调递减，则， 即，而不能满足（）恒成立，C选项错误； 对于D，时，，解得或， 由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题设结合等差数列的通项公式求出，进而得到，从而一一分析各选项即可求解. 2．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于198 【答案】C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 3．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的函数特性结合反例一一分析结论即可. 【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为， 则，所以， 因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以： （i）若，则，则； （ii）若，则，则不存在； （iii）若，，则；综上①正确； 对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为， 显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得 ：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 4．已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设出公差和公比，利用等差数列和等比数列的性质得到，设，则，作商法得到函数单调性，进而求出最大值. 【详解】设等差数列的公差为d，由，则， 即，故， 则，则． 设正项等比数列的公比为， 由，则，所以， 解得，则，． 设，则． 当时，，即， 当时，，即 所以最大． 故选：C 【点睛】方法点睛：数列的单调性，可通过作差或作商法进行求解，或利用函数单调性得到. 5．已知等比数列的首项，公比为q，记，则“”是“数列为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式以及充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由题意，， 则 当时，对于不一定恒成立， 如取，,即得不到数列为递减数列； 当数列为递减数列时，且对于恒成立， 又因，故得. 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（多选题）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A．的第2项小于1 B． C．为等比数列 D．中存在大于100的数 【答案】AD 【分析】根据，，时，即可判断AB；利用反证法即可判断C；假设对任意的，，证明假设矛盾即可判断D. 【详解】对于A，由题意，当时，，解得， 当时，，解得，故A正确； 对于B，当时，，解得， ，所以B错误； 对于C，假设数列为等比数列， 则，，矛盾，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 所以数列是递增数列，所以， 假设对任意的，，则， 取，则，矛盾， 所以中存在大于100的数，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题在推断选项C，D的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导． 7．（多选题）已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数的值为198 【答案】ABD 【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，∵，∴，∴. ∵，∴， 又，∴.故A正确； 对于B，C，由A项分析可知，，∴， ∴，，故B正确，C错误； 对于D，因， 而， ∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）已知数列满足：，，，数列的前项的积为，记，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．当为奇数时， D．当为偶数时， 【答案】ACD 【分析】由题设中数列的递推关系式得到，结合条件得到，两边取对数得到数列，即可判断选项A；在此基础上求出，进而得到与的关系即可判断选项B；结合条件分为奇数和为偶数两种情况求，进而得到即可判断C、D. 【详解】显然，．因为，所以， 又，所以，即当时，．显然， 对于A，∵，∴，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，故A正确； 对于B，由选项A知， ，所以，，两式相除得，故B错误； 对于C，当为奇数时， ， 所以有，故C正确； 对于D，当为偶数时， ， 所以有，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）无穷项数列它的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且对任意，均有，则存在最小项 D．若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小项 【答案】ACD 【分析】A选项，推出公差，A正确；B选项，推出公比，所以为摆动数列，不单调；C选项，分析出公差，存在最小项；D选项，分析出，，和时满足要求，且存在最小项. 【详解】A选项，为等差数列，且，则， 所以，则当时，， 所以单调递增，A正确； B选项，为等比数列，且，则， 解得，所以为摆动数列， 当为奇数时，，当为偶数时，， 其中当时，，故不单调，B错误； C选项，为等差数列，且对任意，均有， 当时，， 若公差，存在且，使得， 故，所以与矛盾，舍去， 当公差时，，满足，此时的最小值为，满足要求， 当公差时，，满足， 此时的最小值为，满足要求，故C正确； D选项，当时，， ，若公比，此时，满足，存在最小值， 若，则有，即， 若，此时，需满足， 若，当为偶数时，，不合要求， 若，当为偶数时，，不合要求， 若，满足，， 当为偶数时，，当为奇数时，， 此时, 当为偶数时，，即， 当为奇数时，，即， 故，又，故， 每四项分为一组，进行研究，可得，且， ……， 且，故存在最小值， 若，此时，，故存在最小值， 若，此时，，故存在最小值， 综上，若为等比数列，且对任意，均有，则存在最小，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：针对公差和公比进行分类讨论，特别是D选项，针对公比的分类讨论，较为繁琐，需细心谨慎. 10．（多选题）已知数列的前项和为则下列说法正确的是（   ） A．是等比数列 B． C．中存在不相等的三项构成等差数列 D．若，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的定义可判定A，利用等比数列与等差数列求和公式分组计算可判定B，利用等差数列的定义结合反证法可判定C，分类讨论n的奇偶解不等式即可判定D. 【详解】对于A，根据题意易知， 所以是等比数列，以1为首项，3为公比，，故A正确； 对于B，同理，， 即所以是等比数列，以3为首项，3为公比，， 则 ，故B正确； 对于C，假设中存在不相等的三项构成等差数列， 不妨设该三项为，则， 即， 因为，所以，则上式不成立，所以不存在，故C错误； 对于D项，若n为奇数，则， ， 而由A项可知，递增，所以，，则， 若n为偶数，则，， 同理由A项可知，递增，所以，，则， 而，则，故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：第三选项可以利用反证法说明道理，第四选项，分奇偶项讨论结合函数的单调性计算最值即可. 11．（多选题）已知数列的各项均为负数，其前项和满足，则（   ） A． B．为递减数列 C．为等比数列 D．存在大于的项 【答案】ABD 【分析】令，可得出的值，令，可得出关于的方程，可解出的值，可判断A选项；由递推关系结合数列的单调性可判断B选项；假设数列为等比数列，推导出，求出的值，可判断C选项；利用反证法可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，由题意可得，因为，所以，， 当时，由可得，整理可得， 因为，解得，A对； 对于B选项，当时，由可得， 上述两个等式作差可得， 因为，即， 所以，数列为递减数列，B对； 对于C选项，若数列为等比数列，则， 因为，，，则， 设等比数列的公比为，则，解得，不合乎题意， 所以，数列不是等比数列，C错； 对于D选项，假设对任意的，， 则， 此时，，与假设矛盾，假设不成立，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题在推断选项CD的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导． 12．（多选题）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法错误的是（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 【答案】ABC 【分析】由等差数列得，然后在或分别确定的单调性判断AB，进行讨论判断各选项．再由或确定的范围，从而确定的单调性判断CD． 【详解】数列是各项为正数的等比数列，则公比为， 由题意，得， 时，，有，，数列单调递增，A选项错误； 时，，，若数列单调递增，则， 即，由，需要，故B选项错误； 时，，解得， 时，，由，若数列单调递减，则， 即，而 不能满足恒成立，C选项错误； 时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定与的关系，利用此关系通过的范围确定的单调性，同样根据的大小确定的范围，再得单调性． 13．（多选题）已知满足，，记的前n项和为，的前n项和为，则下列说法中不一定正确的是（    ） A．是等比数列 B．的通项公式为或 C．若，则 D．若，则为定值 【答案】AB 【分析】由题意得或．举例子判断A，B；对于C满足，累乘法求解通项公式和进行判断；若，有，，故．奇偶分类讨论得到，为定值0，判断D. 【详解】由，因式分解得， 所以或． 对于A，B项，构造数列，则此时该数列满足题意且A，B均正确， 当或交替成立，即数列为， 此时该数列满足题意且A，B均错误，故A，B不一定正确； 对于C，注意到若存在使得，则， 则对于C只能满足，又，所以， 累乘得， 当时也符合，所以， 所以， 故C正确，不符合题意； 对于D，若，则，故，故． 当为奇数，， 所以， 当为偶数，， 所以， 奇偶分类讨论有，注意到，则为定值0，故D正确，不符合题意. 故选：AB． 【点睛】思路点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法”求和问题，“累乘”求通项公式，着重考查推理与运算能力. 14．（多选题）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 【答案】AC 【分析】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为，A选项由定义证明是等比数列；B选项通过举反例时，证明不是等差数列；C选项，由得到，从而为递减数列；D选项通过举反例，此时数列不是单调数列. 【详解】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为， A选项，设，则为常数，所以是等比数列，A正确； B选项，设，当满足是等比数列， 此时，，不是等差数列，B错误； C选项，时，即，得，则为递减数列，C正确； D选项，当满足是等比数列，且，，，此时不是单调数列，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列： 定义法：（常数）， 等比中项法：， 通项公式法： 前项和特征法： 15．已知数列满足，记的前n项和为，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，当时，得到数列是以为周期的周期数列，进而求得的值，当时，得到，进而求得的值. 【详解】由知数列满足，记的前项和为， 若，， 则，， 所以数列是以为周期的周期数列，一个周期的和为， 所以. 当时，， ， ， 因为时，可得，则以三个为一组循环， 且， 则 . 故答案为：99，. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于，分析数列的前若干项，得到其具有周期性质，再利用分组求和法即可得解. 16．从集合中选取s个数，从集合中选取t个数．若这个数的和不小于，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先给出的一个实例，再利用反证证明，故可得正确的答案. 【详解】， 此时， 下证：若这个数的和不小于，， 证明：假设， 任取个元素，其和不超过， 任取个元素，其和不超过， 故且取出的个元素，其和不超过， 若，则，， ，故，舍； 若，则，， ，故，舍； 若，则，， ，故，舍； 若，则，，舍； 若，则，，舍； 若，则，，舍； 综上，不成立，故， 故的最小值为8， 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于组合最值问题，一般可找到一个范围，再给出一个实例说明范围的等号可取从而得到最值. 17．已知数列的前项和为，，，，则满足的正整数的所有取值为 . 【答案】、 【分析】由题意可知，数列中的奇数项和偶数项分别成等差数列和等比数列，根据为奇数和偶数分别利用求出，结合单调性代值计算可得结果. 【详解】当为奇数时，，所以，数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列， 当为偶数时，，所以，数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， 所以数列中的每一项均为整数，故数列为递增数列， 当为奇数时，设， 则， 当为偶数时，设， 则， 因为， ， ， ， 因此，满足的正整数的所有取值集合为. 故答案为：、. 【点睛】关键点点睛：本题的解决关键是，分析得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列与等比数列，从而得解. 18．已知数列满足，，则 ；设数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据递推关系求得，利用分组求和法求得. 【详解】依题意，知数列满足，， 所以， 所以，， ，， 两式相加得，， 设，则， 所以数列是首项为为首项，公比为的等比数列， 所以，故. 所以， 同时，所以. 设的前项和为，则 . 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键在于深入理解递推关系并寻找数列的规律，通过对奇偶项的分析，发现数列的规律和性质，即奇数项和偶数项分别按照不同的规则递推，通过构造等比数列以及利用分组求和法来进行数列求和. 19．已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：.设，其中，数列的前项和为，则满足的最小值为 . 【答案】40 【分析】由，可利用迭代法分析前面有限项，可得当为的倍数时，也是的倍数，当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，则取，计算出后，再计算及即可得解. 【详解】由，即， 因为，所以，， 则都不是的倍数，是的倍数， 所以不是的倍数，，不是的倍数， 不是的倍数， 是的倍数， 依次可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数， 由， 则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则； 当， ， 当，即时，有， ， 故满足的最小值为. 故答案为：. 20．设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是 . ①可能为等差数列；②可能为等比数列：③均能写成的两项之差；④对任意，，总存在，使得. 【答案】①③④ 【分析】对于①，取，可知①正确；对于②，先判定当时，显然不满足要求；当时，由题意可得：， ，作商可得，分和，验证其正误；对于③，根据， 可知③正确；对于④取数列，显然不存在，使得，故④不正确. 【详解】对于①，取，则，显然存在满足，使， 所以①正确； 对于②，若数列为等比数列，设公比为，显然不满足要求， 考虑的情况，依题意有， 即， ， 两式相除，得到， 若，则取为奇数，那么，所以， 所以， 当足够大时，显然不成立； 若，则， 因为， 所以当足够大时，可以使，故也不成立.从而知②错误； 对于选项③，取，则，所以， 当时，，故③正确； 对于选项④，取数列， 显然不存在，使得，故④错误， 综上正确的有：①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第②选项，根据条件得到，从而得到，再对进行讨论，从而解决问题. 专题三：名校等比数列新定义试题精选 1．若项数有限的数列，满足，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质. (1)判断数列，1，2是否具有性质； (2)若，数列具有性质，是中的任意一项， ①证明：是中的项； ②证明：当时，数列为等比数列. 【答案】(1)数列具有性质 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用数列新定义，检验题设数列即可得解； （2）①分类讨论与两种情况，分析得不是数列中的项，从而得到是数列中的项，由此得证；②结合①中结论与数列的新定义，分析得与，从而利用等比数列的定义即可得证. 【详解】（1）对于数列，1，2， 显然或1或2，都是数列，1，2中的项， 故数列具有性质. （2）因为数列具有性质，且是中的任意一项， ①令，则或是数列中的项， 由于，且，则， 故不是数列中的项，则是数列中的项， 故是数列中的项，则满足； 当时，，则， 故不是数列中的项，从而是数列中的项； 综上，是数列中的项. ②由①知， 由，则， 故， 即，（Ⅰ） 由于，则时，， 则不是数列中的项，故为数列中的项， 而， 故，即， 由于，故，故（Ⅱ） 由（Ⅰ）（Ⅱ）有，故， 所以当时，数列为等比数列. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 2．给定数列，若对任意且是中的项，则称为“数列”；若对任意且是中的项，则称为“数列”. (1)设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； (2)设数列既是等比数列又是“数列”，且，求公比的所有可能取值； (3)设等差数列的前项和为，对任意是数列中的项，求证：数列是“数列”. 【答案】(1)是“数列”，理由见解析 (2)或8 (3)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系直接求，结合“数列”的概念直接判断即可； （2）根据等比数列的性质，构造，结合“数列”的概念求解即可； （3）根据等差数列的性质，结合“数列”的定义证明即可． 【详解】（1）， 当时，， 当时，符合上式， . 对任意，且， ， 是“数列”. （2），且数列是等比数列， ，且， 是“数列”， 也为数列中的项， 令得， ， 且， 的所有可能取值为或8. （3）设数列公差为，故；对，有， 即， 当时，，此时数列显然为“数列”， 当时，， 取，则， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ， 设，即， 对，且， ， 易知， 为数列中的项， 数列为“数列”. 【点睛】关键点点睛：数列新定义，弄清题意新定义的含义，结合所学内容，分析问题与解决问题，以及要有较强的运算求解能力和转化与化归的思想. 3．对于数列，，其中，对任意正整数，都有，则称数列为数列的“-接近数列”.已知为数列的“-接近数列”，且，. (1)当时，若，求，的值； (2)当时，若，是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)当时，若为无穷等差数列，公差为，证明：“数列为等差数列”的充要条件是“”. 【答案】(1)或3，或7 (2)存在， (3)证明见解析 【分析】（1）根据通项公式可求得，再由“-接近数列”可得，的值； （2）易知为递减数列，可得，再对为奇数或偶数分类讨论，可得存在满足题意； （3）根据等差数列以及充要条件定义，再根据“-接近数列”的定义以及公差的范围即可证明得出结论. 【详解】（1）由题可得，，， ，， 所以或3，或7. （2）当为奇数时，，此时随着的增加而变小， ，，可得； 当为偶数时，，此时随着的增加而变大， ，，可得. 故 ， 当为奇数时，令， 所以，即，，，，，故； 当为偶数时，令， 所以，无解. 综上，. （3）证明：①若，由题意得对于任意正整数，均有，且， 则，， 从而， 即. 因为，，所以，即. 因此为等差数列，且公差也为. ②若为等差数列，设公差为. ， 又， 即，亦即对任意正整数都成立， 当时，，所以. 又，所以. 因此，“数列为等差数列”的充要条件是“”. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“-接近数列”的定义，再结合数列通项公式以及对应值，即可得出相应结论. 4．设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若，且为“和等比数列”. (1)求的值，并求出的和公比； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式求出，再根据“和等比数列”的定义列出方程即可得解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）分离参数可得，再利用分离常数法求出的最小值即可得解. 【详解】（1）因为， 所以数列所以为公差的等差数列， 则， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得 ， 所以； （3）， 即， 即， 即， 即，即， 因为，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 5．已知数列的前n项和为，若满足：①项数有限为N；②；③，则称数列为“N阶型数列”． (1)若，请判断数列是否为“N阶型数列”？若是，请求出N的值；若不是，请说明理由； (2)若等比数列为“6阶型数列”，求的通项公式； (3)若等差数列为“2m阶型数列”，且，证明：数列中不存在两项之和仍在该数列中． 【答案】(1)是， (2)或． (3)证明见解析 【分析】（1）新定义数列，按照定义要求进行证明即可； （2） 利用等比数列公式，按照新定义满足的条件进行求解即可； （3）根据等差数列满足新定义的条件来求出首项和公差，即可得通项来判断. 【详解】（1）若数列是“N阶型数列”，则， 因为是首项为，公差为的等差数列， 所以， 解得或（舍去）． 此时满足条件①数列项数有限为5，满足条件②， 又， 满足条件③， 故数列为“5阶型数列”，． （2）若，则，解得，不满足为等比数列； 若，则 ， 解得， 而，解得或， 故或． （3）设等差数列，，，…，的公差为d， 因为，则，则，故， 由，得，，，而， 故，， 两式相减得，即， 又，得， 所以（，）． 任取数列中的第s，t，r项， 不妨设，则（，）， ，（，）， 所以 因为，所以，即， 因为s，t，r，，所以为偶数， 而1为奇数，所以上式不成立，即数列中不存在两项之和仍在该数列中 【点睛】方法点睛：解决这类问题的方法就是在于根据数列新定义中所满足的条件，结合等差等比数列公式，来加以解决，注意要分类讨论和问题特殊化思想的应用. 6．已知项数为m（，）的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”. (1)数列4，10，16，19是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”，若不存在，说明理由； (2)若为的“伴随数列”，证明：； (3)已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值. 【答案】(1)存在，“伴随数列”是15,13,11,10 (2)见解析 (3)的最大值为 【分析】（1）根据定义求出即可； （2）证明即可得出； （3）首先证明的伴随数列是存在的，最小的，然后确定得到范围，求得到最大值，由（2）知，利用累加法可得，得出，从而，（是整数）又由知是的正约数，这样得出得到最大值为，构造数列，，它存在伴随数列，从而得证. 【详解】（1），, ,，均为正整数， 所以数列4，10，16，19存在“伴随数列”，且其“伴随数列”是15,13,11,10. （2）因为数列存在“伴随数列”， 所以，且， 所以， 所以，即， 所以. （3）①因为，，其中， 当时，，，有，均为正整数， 即当时，数列1,2025存在“伴随数列”：， 因此的最小值为2； ②一方面，由（2）知，， 于是， 所以， 另一方面，由数列存在“伴随数列”，知， 所以是的正约数， 取， 即取， 综合上述为最大值，取，， 当时， ，符合条件， 当，，符合条件 因此的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义， 新定义求解，在求的最大值时，注意数列与不等式的综合应用，解题时分两个方面，两方面确定满足题意的伴随数列存在，至少是可以的，另一方面，确定得到最大值，利用累加法估计出得到范围，再由伴随数列的性质得出满足的性质，由这两个确定出得到最大值，但要构造出一个满足题意的数列，它的项数是，且存在伴随数列. 7．设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. (1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； (2)设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； (3)对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)证明见解析； (3)是无理数. 【分析】（1）既是等差数列又是等比数列的数列是非0常数列，由此可得； （2）用反证法证明其中任意三项都不可能成等比数列； （3）在（2）的提示下， 是无理数是其充分条件，利用反证法得是无理数时，假设其为等比数列不成立． 【详解】（1）既是等差数列又是等比数列的数列最简单的是非0常数列， 如，它是等差数列，它的任意子列均为公比为1的等比数列； （2）若存在一个子列是等比数列，则中必存在某三项成等比数列， 下证的任意三项不能构成等比数列， 假设，其中且， 因为公差，所以， 从而， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，（1）中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等， 所以假设不成立，故的任意三项不能构成等比数列， 从而的任意子列不是等比数列； （3）若无穷等差数列的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列， 设的公差为，则，下证“是无理数”为满足题意的一个充分条件． 假设，其中且， 因为， 所以， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，有理数， 所以，当是无理数时，假设不成立，从而的任意三项不能构成等比数列，进而的任意子列不是等比数列， 故“是无理数”为“的任意子列不是等比数列”的一个充分条件． 【点睛】方法点睛：在证明数列无穷等差数列的任意子列不可能是等比数列时，考虑其中任意三项（成等比数列的数列的最小项数）不能成等比数列，由于题中条件较少，因此用反证法，可以把等比数列作为一个条件进行推导，根据是有理数与无理数不可能相等． 8．已知无穷数列（，），构造新数列满足，满足，…，满足（，），若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，……，（，），若为常数数列，则称为阶等比数列． (1)已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式； (2)若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列．证明：为三阶等比数列； (3)已知，令的前项和为，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由新定义得为公差为2，首项为的等差数列，由等差数列的通项公式求解； （2）由已知（为常数），证明是关于的二次多项式，求，结合定义证明是三阶等差数列，由此完成证明； （3）利用待定系数法证明，由裂项相消求和，再结合放缩，错位相减法求和证明结论. 【详解】（1）因为，又， 所以为公差为，首项为的等差数列， 因此，即， 所以 ． （2）因为为二阶等差数列，所以（为常数）， 因此，即， 所以 ， 故是关于的二次多项式， 又是一阶等比，设公比为，则，则， 由是关于的二次多项式，知是关于的三次多项式． 下面证明是三阶等差数列： 设，，则， 所以， ， ，此为常数， 因此是三阶等差数列， 故是常数列， 故是三阶等比数列． （3）由上可知，可设，（其中）， 则， 所以 故， 所以， 因此， 设数列的前项和为，则， 所以， 两式相减，得 ， 所以． 即，得证． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 9．若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 【答案】(1)为等方差数列，不是等方差数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断； （2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解； （3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解． 【详解】（1）因为常数， 所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为， 所以数列不是等方差数列； （2）因为是等差数列，设其公差为d， 则， 又是等方差数列，所以， 故， 所以， 即， 所以，故是常数列； （3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以， 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项含前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 10．已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集. (1)证明：好集可以构成优集合. (2)若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数. (3)若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)能， 【分析】（1）根据题设定义，即可求解； （2）根据题设得中必有一个集合的元素公差为2，且公差必为偶数，再分类证明即可； （3）设的公比为，总项数为（为偶数）或（为奇数），再对分类证明即可. 【详解】（1），，，（答案不唯一） （2）由于集合公差不影响结果，不妨设其公差为2.记，由等差数列的性质： 若全为偶数，则为偶数 ，而中的元素同样满足上述性质，所以互为相反数的元素一定属于同一集合 而，所以中必有一个集合的元素公差为2，且公差必为偶数 不妨设，， ①的公差为2：则中有一个公差为，那么另一个集合元素公差为且与中至少有一个不为， 不妨设，则中至少有一个集合必然存在公差为2和或的项，这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去； ②的公差不为2：则此时的相邻两项中包含的个元素，这些元素中必有连续的不超过项来自公差为2的集合（不妨设为）， 那么中集合元素公差应不为2，这时，中元素必然存在公差为2与不为2的项，这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去， 故不全为偶数. （3）能.设的公比为，总项数为（为偶数）或（为奇数）， 因为，所以项数最多的集合公差最小为2，总项数至少为 ①为大于2的偶数，下试证：，即证： 而 ②为大于2的奇数，，由此说明：时不符合题意     ③时，给中元素从小到大编号：. 令，，， ，...，， 所有中元素总数为：，又假设，则： ，等式两边奇偶性不同，可以证明， 中最大元素为，故编号与集合中的元素一一对应， 由等差数列的性质：再证明：集合中任意两个下标和为的项其值和为， 这样令中编号为的元素为0，公差为1就得到了一系列：成立， 所以. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 11．已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” (1)已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由； (2)设数列的前n项和为． （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值； （ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立． 【答案】(1)存在，理由见解析； (2)（ⅰ）符合条件的实数的值为0；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“k阶可分拆数列”的概念，判断数列为“1阶可分拆数列”. （2）先根据前项和公式，求出数列的通项公式，（ⅰ）由可求的值，再讨论时，无解即可；（ⅱ）根据，可得，利用“累加法”可得：；再利用“错位相减法”证明，即可. 【详解】（1）存在，理由如下： 由已知得， ， ，即， 对，当正整数时，存在，使得成立， 即数列为“1阶可分拆数列”. （2）， 当时，， 当时，， （ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立， 当时，，即，解得， 当时，，即， 因，所以，又， 故方程无解. 综上所述，符合条件的实数的值为0. （ⅱ）证明：， 当时，， ， ， 由（ⅰ）知，所以， ①， ②， 由①-②可得 ， ， ， ， 当且时，成立. 【点睛】思路点睛：本题为数列新定义题，由题意可知对于确定的正整数，存在正整数使得成立即可. 12．设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“数列”； (2)若数列的前n项和，证明：数列不是“数列”； (3)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求d的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等差数列前项和与通项公式，结合“数列”的定义证明即可； （2）由求得数列通项公式，根据通项公式和前项和及“数列”的定义证明结论； （3）由等差数列前项和与通项公式，结合“数列”的定义得到，进而确定参数值. 【详解】（1）因为，设公差为d，所以， 令，则，此时， 即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得，所以，数列是“H数列”； （2）因为数列的前n项和， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，， 假设数列是“H数列”，则对任意正整数，总存在正整数，使得， 当时，有，则，与题意不符； 当时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解， 所以对任意正整数，不存在正整数，使得，所以数列不是“H数列”； （3）依题意，，， 若是“H数列”，则对任意的，都存在使得， 即，所以， 又因为，，所以对任意的，，且， 所以. 【点睛】方法点睛：本题对数列作出了新的定义，根据数列的通项公式和数列前和公式以及新的定义，建立等量关系是本题的关键.当方程有解时，则数列是“H数列”；当方程无解时，则数列不是“H数列”；当数列是“H数列”时，则方程必有解. 13．对于数列，若存在正数k，使得对任意m，都满足，则称数列符合“条件”. (1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？ (2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”. ①求q的取值范围； ②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”. 【答案】(1)公差为2的等差数列符合“条件”； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）直接利用定义判断结论是否成立； （2）①，根据的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列的单调性，求q的取值范围； ②根据①的结果分类讨论，时，易证，当时，要证数列符合“条件”，只要证，构造新数列，由不等式恒成立得到新数列的单调性，由条件只要证即可. 【详解】（1）数列是公差为2的等差数列，则， 则， 所以公差为2的等差数列符合“条件”. （2）①首项为1，公比为的正项等比数列符合“条件”， 则，且对恒成立， ， 若，则，符合， 若数列单调递增，不妨设， 由条件知，即（*）， 设，由（*）式中的任意性，得数列不递增， ， 但当时，，矛盾， 若，则数列单调递减，不妨设， 由条件知，即（**）， 设，由（**）式中的任意性，得数列不递减， ， 时，单调递增， ，，， 综上，公比的取值范围为， ②由①得 当时，，要存在使得，只需即可； 当时，要证数列符合“条件”， 只要证存在，使得， 不妨设，则只要证：， 只要证：， 设，由的任意性可知， 只要证， 只要证：， 存在使得上式成立， 存在正数使得数列符合条件. 【点睛】思路点睛：在第（2）②中判断数列是否符合“条件”时，分类讨论，根据数列的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，研究此数列不递减的条件即可. 14．对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”． (1)已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围； (2)若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围； (3)已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)时数列是“优美数列”，理由见解析. 【分析】（1）根据数列新定义列不等式组，求参数范围； （2）根据定义有，结合不等式恒成立求公差的上界，即可得范围； （3）根据题意有最小项为，最小项为，进而有，根据讨论，并由数列新定义判断是否存在数列为“优美数列”即可. 【详解】（1）由题意，则，可得； （2）由题意，令的公差为，且， 则，可得，显然时不等式恒成立， 当时，恒成立，而，故， 综上，. （3）存在，数列是“优美数列”，理由如下： 令的公比为，则，故，显然， 所以最小项为， 同理对于最小项为， 综上，，故或， 所以或或或， 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，令， 所以， 故单调递增，且，此时满足“优美数列”； 综上，时是“优美数列”. 【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设得到，结合讨论为关键. 15．设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，证明：． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)存在，，且k为奇数 【分析】（1）①应用求出通项公式；②应用错位相减得出分奇偶取绝对值证明即可； （2）应用为“Ⅱ（k）数列”且为“Ⅱ数列”的定义计算求解得出及k为奇数. 【详解】（1）①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以． 因为，所以． 当时，，得． 当时，，则， 即， 经检验，当时，满足， 所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列， 所以． ②证明：． ， ， 两式相减得， 所以． 当n为偶数时，． 当n为奇数时，． 故． （2）假设存在这样的数列， 由是“Ⅱ（k）数列”可得． 由是“Ⅱ数列”可得， 所以，， 即，所以． 由，令，得，令，得． 因为，所以，解得， 所以为2，，2，，2，，…， 的通项公式为． 当n为偶数时，，解得，k为奇数． 当n为奇数时，，解得，k为奇数． 综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”， 此时的通项公式为，且k为奇数． 【点睛】关键点点睛：第一问证明及第二问检验数列是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”，n分奇数偶数的讨论是求解关键. 16．如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. (1)写出所有满足的数列； (2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； (3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 【答案】(1)1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7. (2)证明见解析； (3)13. 【分析】（1）由所给信息，找到满足题意的数列即可； （2）即证明存在无穷多个整数，使能被3整除； （3）将正整数集合按被3除余数分为3类，分类讨论所属集合，确定，，所属集合， 并写出相应的数列，后由可确定最小值，即可得答案. 【详解】（1）由题可得， 令，为使任意连续三项的和都能被3整除，则或； 令，则；令，则不存在满足题意；，则. 综上，满足的数列为：1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7； （2）证明：设这样的数列对应的公比为， 则相应的四项，从小到大排列为. 要使任意连续三项的和都能被3整除， 则能被3整除，即被3整除即可. 考虑集合，当时， 一定能被3整除， 因中的元素有无穷多个， 则存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）设. 因都能被3整除，，则. 若，因都能被3整除，则； 则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为5； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为13； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为9. 综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，整数t的最小值是13. 【点睛】关键点睛：本题关键为读懂题意，以及由题目中提及的“被3整除”想到将整数按照被3除的余数分为3类. 17．设数列A： ， ，… ().如果对小于的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合. (1)对数列：，写出的所有元素； (2)证明：若数列中存在使得>，则； (3)证明：若数列满足，则的元素个数不小于. 【答案】(1)和 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素； （2）要证，即证中含有一元素即可； （3）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可. 【详解】（1）根据题干可得，，，，，， 满足条件，2满足条件，不满足条件，3不满足条件， 不满足条件，4不满足条件，，，，，均小于，因此5满足条件，因此； （2）因为存在使得，所以. 记， 则，且对任意正整数. 因此，从而. （3）设数列的所有“时刻”为， 对于第一个“时刻” ，有，3，，，则 ． 对于第二个“时刻” ，有，3，，，则 ． 类似的，，． 于是，． 对于，若（A），则． 若（A），则，否则由（2）知，，，，中存在“时刻”与只有个“时刻”矛盾． 从而． 另解：（Ⅲ）①若（A），由（2）可知，，此时结论成立； ②若（A），设（A），，，，其中，3，，，，2，，， 不妨设，由题意， 所以， 同理，所以． 以此类推，我们有， ， ， 将以上各式累加，得到， 故此时结论也成立． 综合①②可知，若数列满足，3，，，则元素个数不小于． 18．给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”；若对任意，且，是中的项，则称为“数列”. (1)设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； (2)设数列既是等比数列又是“数列”，且，，求公比的所有可能值； (3)设等差数列的前项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“数列”. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)的所有可能值为，，. (3)证明见解析 【分析】（1）由，可求通项公式； （2）由，，数列是等比数列，可得，进而由也为数列中的项，可得，可求的所有可能值. （3）设数列的公差为，可得，分和两种情况可得是“数列”. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，也成立， 所以， 所以对任意，且，， 是“数列” （2）因为，，数列是等比数列 所以，且， 由已知得也为数列中的项， 令，得， 即， 即得， 所以， 因为且 故的所有可能值为，，. （3）设数列的公差为，所以存在，对任意，， 即， 当时，则，故，此时数列为“数列”； 当时，， 取，则，所以，， 当时，均为正整数，符合题意， 当时，均为正整数，符合题意， 所以，， 设，，，即， 所以任意，且，， 显然，所以为数列中的项， 所以是“数列”. 【点睛】关键点点睛：数列新定义，弄清题意新定义的含义，结合所学内容，分析问题与解决问题，以及要有较强的运算求解能力和转化与化归的思想. 专题四：等比数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2012高一·全国·竞赛）已知等比数列首项，公比，用表示该数列前项之积，则中最小的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，进而可得出数列的单调性，再根据的符号即可得解. 【详解】由题意，当为奇数时，，当为偶数时，， 则， 又， 所以当时，；当时，， 又，所以， 所以为数列的最大项， 而，所以的值最小． 故选：C. 2．（2018高一·全国·竞赛）在数列中，，若数列是以3为公比的等比数列，则（    ） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 【答案】C 【分析】 由等比数列的定义可得，进而得数列是公比为9的等比数列，从而求得,即可计算值. 【详解】因为是以3为公比的等比数列，所以， 即，化简得，则数列是公比为9的等比数列， 所以， 由得，所以， 于是. 故选：C. 3．（2016高二·全国·竞赛）设为等比数列，公比为的前项和．记，设为数列的最大项，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由等比数列求和公式以及通项公式可得，通过换元法以及基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】设，则， 则， 设，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以=4． 故选：B. 4．（2007高一·全国·竞赛）两个正项递增数列即等差数列和等比数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设首项为，公差为，公比为，由题意可得，求解可得，，根据=，求解即可． 【详解】设首项为，公差为，公比为，则，解得， 所以，， 令，解得． 故选：C． 5．（2012高一·全国·竞赛）为正项等比数列，且，则（    ）． A．18 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的下标和性质和对数运算性质即可得出答案. 【详解】 所以， , 故选：A. 6．（2022高一下·四川成都·竞赛）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，，当时，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正项等比数列的公比为，求出公比，从而可求得数列通项公式及数列前和，在分离参数，从而可得出答案. 【详解】解：设正项等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 所以， ， 不等式恒成立， 即不等式恒成立， 即不等式恒成立， 又， 所以，解得， 所以实数t的取值范围为. 故选：A. 7．（21-22高二上·重庆万州·期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可知，设等比数列的首项为，公比，可知，由并根据等比数列的前项和公式得出，进而得出，从而可求出的结果. 【详解】解：由题可知，，则， 设等比数列的首项为，公比，可知， 因为，所以， 则， 所以， 故. 故选：B. 8．（2014高一下·湖北武汉·竞赛）数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，，那么（    ） A．150 B．-200 C．150或-200 D．400或-50 【答案】A 【分析】设公比为，则，由已知数据可知，根据等比数列的求和公式建立方程组，解之可求得，由此可得选项． 【详解】解：∵数列为各项都是正数的等比数列， 设公比为，则，由已知数据可知， ∴，①，，② ①②两式相除可得，解得或（舍去）， 把代入①可得，∴. 故选：A. 9．（2013高三·浙江·竞赛）已知等比数列，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何平均数的定义结合等比数列的通项公式得出，进而得出第三项. 【详解】因为等比数列，且第一项至第八项的几何平均数为9，所以，计算得，所以． 故选B． 10．（22-23高二上·江苏南通·期中多选题）已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【答案】BD 【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项. 【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 11．（2014高一·全国·竞赛）在等比数列中，已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据等比数列的性质，根据两根和，积，构造二次方程，即可求解，即可求解. 【详解】由， 由和分别为方程的根得 或，则. 故答案为： 12．（2012高一·全国·竞赛）设数列满足，且，则通项 ． 【答案】 【分析】取对数运算可得为等比数列，即可由等比数列通项求解. 【详解】由取对数得，令，则， 整理为，所以数列为等比数列，且公比为， 则，故 故， 故答案为： 13．（2007高二·全国·竞赛）等比数列中，和是关于的方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】 根据等比数列中项的性质，利用根与系数的关系，即可求出正确结论. 【详解】由题意可得：，所以， 由等比数列的性质可知：，同号， 所以. 故答案为：. 14．（2014高一·全国·竞赛）已知数列，对任意都有成立，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】 利用已知递推关系式可整理得到，由此可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果. 【详解】 ， ， 整理可得：； ，，，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， . 故答案为：. 15．（2024高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 16．（2010高一·全国·竞赛）如果数列满足（为非零常数），就称数列为和比数列，下列四个说法中正确的是 （填序号）.①若是等比数列，则是和比数列；②设，若是和比数列，则也是和比数列；③存在等差数列，它也是和比数列；④设，若是和比数列，则也是和比数列. 【答案】③④ 【分析】充分理解和比数列的定义，举反例排除①②，举特例判断③，利用其定义判断④，从而得解. 【详解】对于①，当的公比为时，， 因为等比数列的项不能为，则不可能是和比数列，故①错误； 对于②，当数列为时，， 由①的分析可知不可能是和比数列，故②错误； 对于③，当是首项为的常数列时，，， 此时，所以即是等差数列，也是和比数列，故③正确； 对于④，当是和比数列时，，则， 因为，所以， 则，故，故④正确. 故答案为：③④ 17．（2017高一·全国·竞赛）已知数列满足，（），前项和为，则 ． 【答案】 【分析】根据递推关系式可知数列隔项成等比数列，利用分组求和法可得答案. 【详解】又 成等比数列； 成等比数列， . 故答案为： 18．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛）在递减等比数列中，，是方程的两根，若数列前项积为，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】5或6 【分析】依题意，解方程求出，从而求出数列的公比，得到数列的通项公式，即可表示出，根据二次函数的性质计算可得结果. 【详解】因为数列是递减数列，所以. 又，是方程的两根，解得. 所以，解得或（舍去），得， 则， 则当或6时，最大． 19．（2024高三上·全国·竞赛）设数列满足：，，且，对成立. (1)证明：是等比数列； (2)求和的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）变换得到，计算，得到证明； （2）确定，变换得到，解得答案. 【详解】（1）移项得到，， 相加得，所以， 因为，所以是首项为5，公比为的等比数列； （2），，所以对成立， 解得，对成立， 故和. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$