专题01 等差数列（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二等差数列易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校等差数列易错题精选 专题二：名校等差数列培优题精选 专题三：名校等差数列新定义试题精选 专题四：等差数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校等差数列易错题精选 1．已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 【答案】D 【分析】由题设求出即可判断A；由和等差数列通项公式和前n项和公式即可判断BC；由和前n项和公式结合一元二次函数性质即可判断D. 【详解】设数列的公差为d， 对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为 ， 所以时，最大，故D错误. 故选：D. 2．在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（    ） A．数列为递增数列 B． C．数列的前项和最小 D． 【答案】C 【分析】推导出，，可判断BD选项；利用等差数列的单调性可判断A选项；分析可知，当且时，；当且时，，可判断C选项. 【详解】设等差数列的公差为， 对于A选项，，可得， ，可得，所以，， 所以，，所以，数列为递增数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，，B对； 对于D选项，由A选项可知，，D对； 对于C选项，因为数列为递增数列， 当且时，；当且时，， 所以，数列的前项和最小，C错. 故选：C. 3．若等差数列满足，则的最大值为（    ） A．600 B．500 C．800 D．200 【答案】B 【分析】由，得到，再由，由求和公式得到，两式联立，消去，通过一元二次方程有解，即可求解； 【详解】， 即，，即， 整理，得，即有解， ，解得，. 故选：B. 4．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 5．将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 【答案】C 【分析】先根据题中规律，并采用累加法结合等差数列前n项和公式求出拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是， 第11个“拐角数”是， 第12个“拐角数”是.故C对； 故选：C 6．已知正项等差数列满足，则（   ） A．2 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】B 【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，从而得到，即可得解. 【详解】因为为等差数列， 所以， ， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：B 7．已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（ ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】由及等差数列前n项和的函数性质判断①③；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②④. 【详解】由，即存在最大值，故，①③对； 可得，所以，②错； 由，可知， 所以满足成立的最大n值为15，④错. 故选：A 8．已知数列为等差数列，其前项和为，且，则以下结论不正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，推导出，然后利用等差数列的求和公式与等差中项的性质逐判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，由可得， 即，A对； 因为的符号不确定，若，则无最小值，B错； ，即，C对； ，D对. 故选：B. 9．在各项均不为零的数列中，，若，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】A 【分析】根据等差数列定义得出数列是等差数列，再结合等差数列基本量运算得出，进而可得解. 【详解】由已知，得， 则数列是等差数列，公差为． ，则． 故选：A． 10．已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，判断数列的有关项的符号，再结合等差数列的求和公式求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以数列为递减数列，，且，. 所以即，所以， . 所以使的最小的的值为19. 故选：C 11．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据条件可知，，列出不等式组得出，得，即可求使得的的最大值， 【详解】设的公差为，由题意得， 即，解得， 即， ∴， 所以 由，解得，即的最大值为. 故选：C. 12．已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得为等差数列，则，即可求出. 【详解】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 13．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题可得，然后由等差数列求和公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 即. 因为，所以. 故选：D 14．（多选题）等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 【答案】AB 【分析】A选项，作差法得到，A正确；B、C选项，由等差数列求和公式和性质得到，从而得到，；D选项，举出反例，D错误. 【详解】A选项，， 由于， 所以是递增数列，A正确； B选项，， 令得，所以，B正确； C选项，由B选项，令得，故，C错误； D选项，当时，，D错误． 故选：AB 15．（多选题）已知等差数列，前项和为，满足，，下列说法正确的是（   ） A．若，则数列单调递减 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据题设，利用等差数列的性质，得，，再结合各个选项的条件，逐一分析判断，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以一正一负， 对于选项A，若，则，所以数列单调递减，故选项A正确， 对于选项B，若，则，所以，得到，所以选项B正确， 对于选项C，若，则，所以，故的最小值为，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，，所以，故选项D正确， 故选：ABD. 16．（多选题）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【分析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 17．（多选题）已知等差数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，的最大值为27 【答案】BC 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，从而逐项判断. 【详解】由已知， 所以等差数列的前13项大于0，从第14项开始小于0，故B正确； 设等差数列的公式为，则， 所以是递减数列，故A错误； 且为等差数列的前项和的最大值，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 18．（多选题）记等差数列的前项和为，公差为，若且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由条件结合等差数列通项公式可得，由此可得判断A，结合等差数列求和公式判断B，根据等差数列通项公式判断C，根据求和公式及通项公式判断的符合，判断D. 【详解】对于A，由题意得， 由可得， 由，即， 可知，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，等价于， 又，故C正确； 对于D，，且， 故，故D错误. 故选：BC. 19．已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 【答案】8 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得，再求得，然后由等差数列的求和公式求. 【详解】设等差数列的公差为d，则． 由可得，． 又，则，故，又，则， 所以，因此数列的前8项和． 故答案为：8. 20．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为 ． 【答案】20 【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得. 【详解】当时，， 因为数列为“速增数列”， 所以，且， 所以，即， 当时，，当时，， 故正整数的最大值为20， 故答案为：20. 21．已知为等差数列的前项和，且，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的前项和和等差中项求解即可； 【详解】，故. 故答案为：. 22．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 【答案】16 【分析】利用等差数列前n项和公式可得，结合有，进而求基本量，最后求. 【详解】令数列的公差为，则，即， 由，则， 综上，，，则. 故答案为：16 23．已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由等差数列的求和公式可得出，设等差数列的公差为，可得出，求出的取值范围，结合不等式的性质可求得的取值范围. 【详解】由题意可得，， 即，所以，， 设等差数列的公差为，则， 可得等差数列为递增数列，则， 由，则， 所以． 故答案为：. 24．记等差数列的公差为，前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得出、的等量关系，再结合等差数列的通项公式和求和公式可求得的值. 【详解】由题意可知，，， 因为，可得，所以，， 所以，， 所以，. 故答案为：. 25．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 26．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列基本量法建立方程组并求解，进而求出通项公式可得； （2）两两并项应用平方差公式化简后再根据等差数列求和公式可求. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，则. 依题意，，即， 解得，，所以. 故. （2）由（1）得，， . 专题二：名校等差数列培优压轴试题精选 1．已知是等差数列的前项和，若对任意的，均有成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推出，公差，当，此时，此时，即，则，当，，此时，，即，则，由得到的最小值为. 【详解】由题意，等差数列，对任意的，均有成立， 即是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差， 当，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，即，则． 当，，此时是等差数列的前n项和中的最小值， 此时，，即， 则， 则有，，，，， 综合可得，所以的最小值为． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于适当判断数列各项的符号，并根据符号得到相应的不等关系. 2．已知正项数列前项和为，首项且，则以下说法中正确的个数（   ） ①；②当为奇数时，；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由得，当时解得， 当时由递推关系得到，分奇偶讨论求出，做出判断. 【详解】因为，故，即， 当时，，解得，故①正确； 当时，， ， 即，又，所以， 则数列的奇数项是以3为首项，6为公差的等差数列， 偶数项是以5为首项，6为公差的等差数列， 则当为偶数时，， 则当为奇数时，，故②正确； ，故③正确. 故选：D 3．已知是递减的整数数列，若，且，则的最小值为（   ） A．54 B．55 C．63 D．64 【答案】D 【分析】根据数列为递减的整数数列，考虑所给条件，利用等差数列的求和公式及通项公式分析即可得解. 【详解】因为是递减的整数数列， 所以要使最小，应使递减的幅度尽可能小,考虑公差为的等差数列, 设,由,得. 记的前项和为，则,当时,， 不满足题意；当时，， 因为,只需去掉这一项即可， 即满足题意的数列为 ，即的最小值为 64. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由数列最后一项为，为了首项最小，可考虑递减幅度最小，公差为的数列探索求解即可. 4．设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（    ） A． B．0 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据与的关系，探索数列的结构特点，分别求出和，再根据及数列是无穷数列对各选项进行判断. 【详解】当时，. 当时，，所以， 两式相减得：，因为，所以. 所以数列的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，且. 所以. 同理，数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. 所以. 若，则数列各项均不为0，数列是无穷数列，故A正确； 若，这与矛盾，故B错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故C错误； 若，根据奇数项成公差为1的等差数列，则，则无法求出，这与数列是无穷数列矛盾，故D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：观察出数列的特点后，一定要注意及数列是无穷数列这两个条件的应用. 5．设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用可得,继而可得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，根据可得或，对的取值讨论即可求解． 【详解】由可得存在，使得，且 因为， 所以， 假设，解得或（舍去）， 此时， 由存在，，所以有或， 由可得，，两式相减得：， 当时，有，即， 根据可知：数列的奇数项和偶数项分别是等差数列，且公差均为2， 所以，解得， 当时，有，即，，解得， 由已知得，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：利用可得,得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列. 6．已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设出公差和公比，利用等差数列和等比数列的性质得到，设，则，作商法得到函数单调性，进而求出最大值. 【详解】设等差数列的公差为d，由，则， 即，故， 则，则． 设正项等比数列的公比为， 由，则，所以， 解得，则，． 设，则． 当时，，即， 当时，，即 所以最大． 故选：C 【点睛】方法点睛：数列的单调性，可通过作差或作商法进行求解，或利用函数单调性得到. 7．数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（    ） A．45 B．46 C．90 D．91 【答案】B 【分析】利用累加法表示出，先计算时的，然后依次将调整为3可求得的最大值，然后可得解. 【详解】由题设可得，其中， 故，且奇偶交错出现． 若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数； 若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数， 又， 当时，， 考虑时，调整为3，则对应的可增加， 依次对诸（至少一个）调整为3后， 即， 从上述的调整过程可得，取遍了中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性）， 当时，取遍了中的奇数，合计46个， 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题关键在于先根据求的最小值，然后依次将调整为3求的最大值，然后分析即可得解. 8．数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（     ） A．是递减数列 B．数列的前 2025 项和为 2017 C． D．设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 【答案】D 【分析】根据作差求出的通项公式，即可判断A、C；再由并项求和法判断B；列出的前几项，再分析其余项的特征，即可判断D. 【详解】因为，当时， 当时， 所以， 经检验当时也成立，所以， 因为，所以， 所以是递减数列，故A正确； 因为， 记的前项和为， 则 ，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，， 又，所以，，，，， 当时，，，，所以， 所以当或时数列的前项和取最大值，故D错误. 故选：D 9．（多选题）已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由为等差数列，先求出，可判断选项A；对于选项B，分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断; 对于选项C，先得出，从而得出，再分为奇数和偶数分别求的前项和；对于选项D，由，求出，从而可求出的前项的和. 【详解】∵数列是等差数列，，公差为，，， . 当时，，故选项A错误； 当为偶数时，；当为奇数时，， 故，选项B正确； ，， ∴当为偶数时，； 当为奇数时，， ，选项C正确； ，， ，选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：此题考查等差数列的求和与分组并项求和法，解题的关键是对分奇数、偶数讨论求出，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 10．（多选题）已知数列满足，，设数列的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ） A．数列是等差数列 B．数列的最大项为 C．使得取得最小值的为7 D．有最小值，无最大值 【答案】ACD 【分析】由已知，由定义法即可证明；由数列是等差数列，可求得，即可判断，；根据数列的前几项，即可判断. 【详解】对于，因为，所以， ， 所以数列是等差数列，故正确； 因为等差数列的首项为，公差为， 所以， 所以， 又因为， 当时，，， 所以数列的最大项为，所以不正确； 所以为7时最小，故正确； 由，可知， ，所以无最大值， 因为的负项只有有限个，，，，， ，，， ，所以有最小值，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差数列的常用方法： （1）定义法：即或，为常数； （2）等差中项法：即. 11．（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（  ） A．当，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得，，，由此可判断ABC的真假；再由和时，，时，，再结合，的单调性可判断D的真假. 【详解】因为，所以，，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大.故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对D选项，应先判断当，时，，当时，，再结合，的单调性，求中的最小项. 12．（多选题）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据题设及等差数列前n项和公式有，即有，结合已知得到，，，依此为前提判断各项正误即可. 【详解】由，得， 即①，则， 又，所以，又， 若，则，，不合题意， 所以，则，，A正确； 结合①知，，所以，则， 又，所以，B正确； 由，得，所以， 由，所以， 由，所以， 所以，C正确； 由，得，所以， 由C知，，所以的最大值为，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据等差数列前项和公式及已知得到，，为关键. 13．（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 【答案】ABD 【分析】利用关系及等差数列通项公式得判断A；根据已知及A项分析得，进而确定的符号判断C；根据A、C项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n项和确定对应n的最小值判断B；根据以上分析确定各项符号判断D. 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得，当时，最大，故A正确； 由，可得，所以， 故， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当或时；当时； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD 14．（多选题）已知数列满足，则下列选项正确的是（   ） A．，…是公差为2的等差数列 B．，…是常数数列 C． D．若数列满足，则数列的前101项和为 【答案】BD 【分析】根据递推关系得出，利用等差数列的定义可判定A，B；利用等差数列的通项公式可判定C；利用分组求和计算可判定D. 【详解】由，得，两式相减得． 当时，，两式相加得， 则是公差为4的等差数列，A错误； 上面两式相减得， 则为常数数列，B正确； 因为，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 即，C错误； 数列的前101项和 ， 由B可知，数列是常数数列，， 所以，D正确． 故选：BD． 【点睛】思路点睛：结合选项可利用条件给出的递推关系去判定数列的性质，结合等差数列的通项公式、分组求和法判定几个选项即可. 15．（多选题）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则， B．若，，则中最大 C．若，则使的最大的为21 D．若（为常数），则 【答案】ACD 【分析】对于A，由等差数列前项和公式得，关系及符号，在结合通项公式判断符号即可；对于B，先由等差数列前项和公式及性质得到数列项的正负界，再结合数列单调性分析的最值；对于C，利用和的关系，得及，结合等差数列前项和公式及性质找到数列的正负界分析可得；对于D，求出通项后可判断其正误. 【详解】对于A，由，得， 由题可得，，则， 所以， ，故A正确； 对于B，由，得， ，则； ，则，则， 则等差数列的首项，公差，即数列为递减数列， 当时，；当时，， 则中最大，故B错误； 对于C，由， 得且，故. 故等差数列首项，公差，等差数列为递减数列， 当时，；当时，， 则，， 故使的最大的为21，故C正确. 对于D，因为为等差数列，故,故, 故，故D正确. 故选：ACD. 16．（多选题）记等差数列的前项和为，数列的前项和为.已知当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．若，则当且仅当时，取得最大值 B．若，则当且仅当时，取得最大值 C．若，则当或14时，取得最大值 D．若，，则当或14时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】由等差数列前项和有最大值，得数列为递减数列，分析的正负号，可得取得最大值的情况，逐项分析即可. 【详解】由等差数列前项和有最大值，所以数列为递减数列， 对于A，当且仅当时取最大值，则当时，，当时，. 若，则，， ，， 所以前14项和最大，A项正确； 对于B，，则， 同理，，，前13项和最大，B项错误； 对于C，且时取最大值， 设，则， 当时，；时，；时，， 所以或14时，前项和取最大值，C项正确； 对于D，，，得， 由题等差数列在时，，时，， 所以，，， 所以或14时，前项和取最大值，D项正确； 故选：ACD. 17．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列定义以及等比中项性质列方程组计算可得，求出数列的通项公式，再利用分组求和计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，成等比数列可得，即， 整理可得，又，解得， 所以，因此； 易知， 因此可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出数列的通项公式之后结合的性质利用分组求和即可得出结果. 18．设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ． 【答案】1或2 【分析】结合题意可得当时，，进而得到，进而结合数列为等差数列可得为常数，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，为数列的前项积，且， 则当时，，即， 所以． 由数列为等差数列，则为常数， ①若，则恒成立，即恒成立，所以； ②若，则，所以，解得. 综上所述，或． 故答案为：1或2. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合题意得到，进而结合等差数列的性质求解即可. 19．设是公差不为零的等差数列，. (1)求和； (2)求的前n项和； (3)试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据题中条件，求出首项和公差，即可得出和. （2）由数列通项公式可得时，，时，，分类讨论即可计算出. （3）利用通项公式计算，利用换元法，结合数列中各项均为整数即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即， 由得，，联立方程可得， ∴，. （2）由得，时，，时，． 当时，， 当时，， ∴. （3）由（1）得，， 设，则． 因为为整数，所以要使为整数，则t为8的约数， 由得为奇数，∴． 当时，，， 由得，此时是数列中的第5项. 当时，，， 由得，此时不是数列中的项. 综上得，． 20．已知数列满足：，， (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和，求实数t的值，使得数列是等差数列． 【答案】(1) (2)-2 【分析】先得出所以是等比数列，得，化简得，可得数列成等差数列，可得数列的通项公式； 先运用错位相减可得，先得出的前三项，由等差数列的定义得出t，再由等差数列的定义证明即可. 【详解】因为， 所以 因为，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 于是， 所以，即， 所以数列成等差数列，其首项为，公差为 于是， 所以 因为， 所以， 所以 ， 所以 因为，，， 所以，所以 当时，因为， 所以，所以数列是等差数列. 专题三：名校等差数列新定义试题精选 1．（多选题）在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 【答案】ABCD 【分析】根据等定义可知选项A正确；根据可得选项B正确；根据条件表示，利用p为常数可得选项C正确；利用可得，选项D正确. 【详解】根据等方差数列的定义可知A正确. 因为，所以数列是等方差数列，B正确. 若数列既是等方差数列，又是等差数列， 设公差为d，则． 又p为常数，所以，C正确. 若数列是等方差数列，则， 故为常数，D正确． 故选：ABCD. 2．若项数为m（，）的数列满足：①单调递增且；②对任意的正整数，都存在正整数，使得或，则称数列具有性质P. (1)若，，分别判断数列，是否具有性质P，并说明理由； (2)若数列具有性质P，证明：且（且）； (3)若数列具有性质P且，，求数列的通项公式. 【答案】(1)不具有，数列具有性质P，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用性质P的定义分别判断两个数列； （2）根据数列具有性质P，得到，且又，于是，，…，，，再求和即可； （3）根据数列具有性质P，判断数列是等差数列，求其通项公式即可. 【详解】（1），即，，， 所以单调递增且， 因为不存在正整数，使得或， 所以数列不具有性质P； ，即，，，， 所以单调递增且. 因为或的结果有：，，，，，，，，，， 都存在正整数，使得等于以上值，所以数列具有性质P. （2）因为数列具有性质P，所以对任意的， 都存在正整数，使得或， 由，得， 即不存在正整数，使得， 从而存在正整数，使得，则， 又，，所以. 由，得. 即不存在正整数，使得， 从而存在正整数，使得. 又， 于是，，…，，， 从而， 所以， 所以， 即. （3）已知，由（2）知，，，， 所以，即，. 因为数列单调递增，所以， 即不存在正整数，使得， 所以存在正整数，使得，又， 所以，所以，所以. 因为数列单调递增，所以， 即不存在正整数，使得， 所以存在正整数，使得， 又，所以， 所以，又，所以，即. 综上所述，，所以数列是等差数列. 设等差数列的公差为，由，，得，解得， 所以数列的通项公式为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对数列新定义的理解，运用性质进行分析. 3．若无穷数列的满足对于给定的正整数，对均成立，则称数列是可均分数列． (1)若各项均为正整数的递增数列是可均分数列，且，求； (2)若“是等差数列”是“是可均分数列”的充要条件，求； (3)若既是可均分数列，也是可均分数列，满足：，求证：是可均分数列．（注：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，分别令，，即可求解； （2）讨论时的充分性及必要性，再通过当时，取，不满足等差数列即可求解； （3）由是可均分数列，得到，由是可均分数列，得到，联立得到，再说明是公差为的等差数列，进而解决问题. 【详解】（1）因为是可均分数列，所以对均成立， 即， 令，则，令，则， 两式相减得，， 又因为是各项均为正整数的递增数列，所以对任意， 所以等号当且仅当时成立， 又因为，所以． （2）当时，若是可均分数列，对，，所以， 所以为常数，故是等差数列； 另一方面，若是等差数列，则对，，从而， 故是可均分数列； 所以，当时，“是等差数列”是“是可均分数列”的充要条件． 当时，取，则是可均分数列， 但不是等差数列，“是等差数列”不是“是可均分数列”的充要条件． 综上，． （3）由于是可均分数列， 所以时，，即， 故时，，①  ，② 即，， ③ 由于是可均分数列，由（1）知时，，④ ③代入④可得，化简得， 即时，，所以，设， 又由①令，得，所以， 从而，即， 由①令，得，即， 从而，即， 故对，，即是公差为的等差数列，， 故 ， 故对均成立，所以是可均分数列． 【点睛】关键点点睛：通过是可均分数列，得到， 通过是可均分数列，得到， 联立得到，再说明是公差为的等差数列. 4．已知是各项都为正数的递增数列，给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得； ②对于中任意一项，在中都存在两项，使得. (1)若，判断是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若同时满足性质①和性质②，证明：成等差数列. 【答案】(1)不满足性质①，理由见解析 (2)同时满足性质①和性质②，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）结合性质①定义，找出反例即可得； （2）由，分别验证性质①与性质②即可得； （3）由性质②可得当时，有，当时，可得或，再利用性质①可排除，即可得证. 【详解】（1）因为，而6不是中的项，所以不满足性质①； （2）， 所以，所以满足性质①； ，， 所以满足性质②； 所以同时满足性质①和性质②； （3）由性质②，取，则，所以， 此时，，所以； 由性质②，取，则，所以， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则； 因为， 所以不是中的项，不满足性质①，不符合题意，舍去； 所以，则， 所以，故成等差数列. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 5．已知无穷数列中，，记. (1)若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义可直接求出的值. （2）令（周期），结合新定义，即可证明结论. （3）根据定义分别证明充分性和必要性，为非负整数，是公差为的等差数列，，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列. 【详解】（1）因为，，所以； ，，所以； ，，所以； ，，所以. （2）不妨设的周期为（）， 记，， 则当时，是常数. 记，使得当时，是常数，结论正确. （3）先证充分性：因为是公差为（为非负整数）的等差数列，则. 所以，， 所以（）. 再证必要性：因为，所以， 因为，，所以， 于是有：，，因此. 故数列是公差为的等差数列. 【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性. 6．已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数， 对任意的成立，则称数列具有性质. (1)若，请判断数列是否具有性质； (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； (3)已知数列中，且.若数列只有性质，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列不具有“性质” (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据性质的定义和递推公式结合放缩法判断即可； （2）先证明充分性，依题意可得，即可得到，从而得，再根据定义证明必要性即可； （3）首先根据定义证明，然后利用反证法证明，即可得到，结合即可得解. 【详解】（1），对于， 故，所以数列不具有“性质”. （2）先证“充分性”： 当数列具有“性质”时，有， 又因为，所以， 进而有， 结合有，即“数列为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列为常数列”， 则有， 即“数列具有”性质. （3）首先证明：， 因为具有"性质，所以， 当时，有， 又因为，且， 所以有，进而有， 所以， 结合可得， 然后利用反证法证明：， 假设数列中存在相邻的两项之差大于2， 即存在满足：或， 进而有 ， 又因为，所以， 依此类推可得：，矛盾， 所以有， 综上有， 结合可得， 经验证，该通项公式满足， 所以. 【点睛】本题考察数列新定义问题，考察学生获取新知识、应用新知识的能力，难度较大. 7．已知正边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如： 记个顶点上的个数顺时针排列依次为，则，为整数，，，.设（共个，表示次变换） (1)若，，，求，，，； (2)对于正边形，若，，证明：； (3)设，，，证明：存在，使得不全为整数. 【答案】(1)，，，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）涉及到根据给定的变换规则进行多次变换的计算，按照变换公式逐步计算即可. （2）需要利用假设和变换公式进行推导，结合等差数列性质公式，证明所有数相等. （3）运用反证法，要结合整数整除性质来证明存在这样的. 【详解】（1）当时，的变换如下： 所以，，，. （2），， 成等差数列，令公差为， 又，则，， 则 （3）反证法，假设对任意，均为整数 由于，为整数，故与的奇偶性相同，故同奇偶，同奇偶，而， 中有个奇数，个偶数， 故可不妨设为奇数，设为偶数. ， 又为整数，且或， 和除4的余数相同 同理 ， 和除4的余数相同， ， 和除4的余数相同. 除4的余数相同. ， 和除4的余数相同 ， 和除4的余数相同. ， 和除4的余数相同 除4的余数相同. 综上，除以4的余数都相同，而，矛盾！ 假设不成立，所以存在，使不全为整数. 【点睛】关键点点睛：本题关键读懂新定义“变换”，结合等差数列和反证法解题，属于难题. 8．若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为2级等差数列，且前四项分别为，求数列的前项和； (3)若，且是3级等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）当时，，数列为等差数列，求出通项即可； （2）数列为2级等差数列，且前四项分别为，根据条件得到递推关系，由等差数列前项公式求得即可； （3）是3级等差数列，先求通项公式，结合等差数列的求和公式可得所求和. 【详解】（1）若数列为1级等差数列， 即为对一切都成立， 则数列为等差数列，设公差为， 由，可得， 则 （2）数列为2级等差数列，且前四项分别为， 可得对一切都成立. 且数列中奇数项是首项为2､公差为0的等差数列， 偶数项是首项为0､公差为4的等差数列， 则. （3）是3级等差数列，，对一切都成立. 即 或. 若对恒成立时，则. 若时，，则， 又因为，所以， 所以， 又因为， 所以. 【点睛】思路点睛：根据新定义，将问题转化为等差数列的相关概念计算通项与求和即可. 9．若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 【答案】(1) (2)不是“线性可控数列”，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由“线性可控数列”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先求得数列的通项公式，然后结合“线性可控数列”的定义代入计算，即可判断； （3）根据题意，先由“线性可控数列”的定义列出式子，然后分别假设，以及假设，推导出矛盾结论，从而可得，且，即可证明. 【详解】（1）由“线性可控数列”的定义可知，， 解得.因为，所以，即. （2）数列不是“线性可控数列”，理由如下： 令，得. 当时，也符合）， 所以，所以. 要使为“线性可控数列”，则需， 即恒成立. 因为 ，显然不可能恒小于等于零， 所以不能恒成立， 所以数列不是“线性可控数列”. （3）由题可知，且， 则，即.① 假设，得，所以，所以. 因为，所以，所以由①式可得 ，得， 即.② 同理由，得③ 因为，所以，所以，所以. 因为，所以， 所以②式可得， 即，所以，④ 所以②和④式矛盾，所以假设不成立，所以不能同时大于2. 当时，再假设，则由④式， 因为不能大于2，所以，即. 这与第一次的假设又会相矛盾，所以，且 所以当时， ，所以. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列新定义知识，难度较大，解答本题的关键在于理解清楚“线性可控数列”的定义，然后结合数列的相关知识代入计算求解. 10．对于任意，向量列满足. (1)若，，求的最小值及此时的. (2)若，，其中，，，，若对任意，，设函数，记，试判断的符号并证明你的结论. (3)记，，，对于任意，记，若存在实数和2，使得等式成立，且有成立，试求的最小值. 【答案】(1)，此时或 (2)，证明见解析 (3)2 【分析】（1）运用累加法可求得，进而可求得的最值. （2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可. （3）根据题意构造函数，根据函数性质建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为对任意成立， 所以，，，， 将上述各式相加得， 又因为，， 所以， 所以 所以当或时，，此时或. （2）可判定， （i）因为，，所以数列不可能是各项均为0的常数列； （ii）当数列为非零常数列时，任意，， 若，则， 若，则， 故当数列为非零常数列时，. （iii）当数列为公差不为0的数列时， 因为，， 若，① 由等差数列的性质有，其中， 又为奇函数，且在上单调递增， 则由可得，所以， 即，， 所以有， 即，② 所以由①②可知. 同理可证：若， 由为奇函数，且在上单调递增，可证得， 所以 综述：恒成立. （3）因为， 所以，即为等差数列，首项. 所以， 由题意知，构造函数， 则， ， ， 所以函数至少有三个零点：，，， 若使得有三个零点，则存在区间，使得为常数， 且三个零点均在内，所以必为偶数，且， 于是有， 故有， 其中， 实际上， 化简得，解得，又且为偶数，故的最小值为2. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列通项公式以及求和公式，难度较大，解本题的关键在于理解题意，然后结合数列的相关知识解答. 11．已知有限数集A中有个元素，若存在某种分解方式可以将其划分为个两两不交的集合，每个集合中恰有两个元素，记这些集合为，其中，设，的某种排列为等差数列（记为），我们就称这种划分方式为A的一个“分解”，的公差称为该划分的“特征值”（对于同一种划分，特征值取非负数）. (1)尝试写出一种对数集作出的分解，且该划分的特征值为2； (2)对数集作分解，且该划分的特征值为1，证明：的首项不为奇数； (3)探究并证明：对数集作分解至少有3种从属于不同特征值的不同划分方式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据分解的定义分析求解即可； （2）反证：假设成立，根据题意可得，结合整数奇偶性得出矛盾； （3）根据题意分析可以作分解，且特征值为1，2，3，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得：. （2）反证法：假设数集：可以作特征值为1的分解，且的首项为奇数， 则，， 其中：为奇数，为偶数， 则， 即①， 由等差数列的性质：中奇数个数比偶数个数多1， 故为偶数， 所以①式左右边均为奇数，这与①式左边是偶数矛盾，原假设不成立， 所以的首项不为奇数. （3）因为，，是A的一个特征值为0的分解， 接下来研究特征值为2的分解： 设：，，，，， 则：，，，，. 可以是以1为首项，2为公差的等差数列，这是特征值为2的分解. 再研究特征值为1的分解： 设:， 则同（2）得: 所以:. 由于是整数，考虑将上式右端拆成偶数，注意到:， 故令可将上式化为:， 根据该性质可构造：，，， 可知且， 此时：，， 则可以是：，，， 这是特征值为1的分解. 所以：对数集作分解至少有3种从属于不同特征值的不同划分方式. 【点睛】关键点点睛：本题考查了关于数表新定义的问题，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好地考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据其定义解决问题. 12．若数列：，，…，（）满足（），则称为E数列．记. (1)写出一个满足，且的E数列； (2)若，，证明E数列是递减数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数n（），是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)（或 ） (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据E数列的定义结合可求得结果； （2）先证必要性，根据E数列是递减数列，可得，进而可得，再证明充分性，因为，所以，，…，，累加可得结果； （3）令，则，再累加可得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可. 【详解】（1）因为，且， 所以所求数列可以为（或 ） （2）必要性：因为E数列是递减数列， 所以， 所以是首项为2024，公差为的等差数列， 所以 充分性：由于，，…， 所以，即 ， 因为，所以，， 所以数列是递减数列． 综上，结论得证． （3）令，则． 因为 ，，， 所以 因为，所以为偶数， 所以为偶数． 所以要使，必须使为偶数，即4整除， 亦即或． 当时， 数列的项满足，，时， 有，； 当时， 数列的项满足，，，时， 有，． 当，时，不能被4整除， 此时不存在数列使得，． 【点睛】关键点点睛：此题考查数列的新定义，考查数列增减性的应用，考查等差数列性质有应用，解题的关键是对数列新定义的正确理解与应用，考查计算能力和理解能力，属于难题. 13．已知数列是正整数的一个全排列，若对每个都有或，则称为数列 (1)列出所有数列的情形； (2)写出一个满足的数列的通项公式； (3)在数列中，记，若数列是公差为的等差数列，求证：或. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）讨论，由条件确定，由此确定，可得结论； （2）由（1）确定的前项，构造数列满足，证明此时满足条件，由此确定； （3）由条件可得，， 通过讨论，证明结论. 【详解】（1）若，则或， 当，时，，，，此时为， 当，时，，，，此时为， 同理可得可能为：或或或 或或或或， （2）若将记为的第一组数， 构造数列满足， 则对任意的，， 或， 当时， 符合要求， ， . 综上所述： ， 同理可得若将记为的第一组数，则 ，， （3）为等差数列 . ， 且由或3，可得或， 且， ① 若 ，则，，不符题意， ② 若，则 ，，不符题意， ③ 若，则， 当时， ，不符题意， 当时， 或， 所以可以找到这样的使之成立(例如第 (2) 问中的结论)， ④ 若，则，可得，不符题意， ⑤ 若，则， 当时，，不符题意 当时，同③可以找到这样的使之成立 (例如第(2)问中的结论) ⑥ 若，则，，不符题意， 综上所述，若为等差数列，则或. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 14．已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 【答案】(1)，6，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“应联数组”的定义，求出，，，得； （2）由“应联数组”的定义，有，化简得证，，成等差数列； （3）由“应联数组”的定义，有，化简可得. 【详解】（1）数组，3，1，，，， ，，得，，得， 所以，6，. （2）证明：由定义知，，，， ，…，， 所以， 即， 即，所以，，成等差数列. （3）证明：，，，…，， 由于为偶数， ， 即，所以. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 15．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列： ①； ②对于，使得的正整数对恰有个． (1)若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值； (2)若数列为的8增数列，求的最小值； (3)若存在60的增数列，求的最大值． 【答案】(1)35 (2)8 (3)450 【分析】（1）根据题意，由m的k增数列的定义求得m和k的值. （2）根据题意，由m的8增数列的定义，有，并且对于，使得的正整数对恰有个，根据这两个条件分析m的取值范围，求出最小值. （3）由题意得，若存在60的增数列，则根据定义分析当k最大时数列各项的特征，包括各项是否相等，各项的值为多少，相邻项的差值是多少，确定出数列的特征后再具体计算出k的值. 【详解】（1）由题意得，根据m的k增数列的定义， ， 因为， 所以对于，使得的正整数对有： 共10对， 所以，于是. （2）由题意得，数列为的8增数列， 即， 且对于，使得的正整数对恰有个. 所以数列各项中必有不同的项，所以且. 若，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以； 若，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2， 此时数列为，满足要求的整数对分别为 ，符合m的8增数列， 所以当时，存在m的8增数列， 故m的最小值为8. （3）由题意得，若数列中的每个项都相等，则， 若，则数列中存在大于1的项， 若首项，则将拆分成个1后k变大， 所以此时k不是最大值，故. 当时，若， 则交换和顺序后k变为， 所以此时k不是最大值，所以. 若，则， 此时将变为，并在数列首位添加一项1， 则k值变大，所以此时k不是最大值， 所以. 若数列中存在相邻的两项， 设此时中有x项为2， 将改为2，并在数列首位前添加个1后， k的值至少变为， 所以此时k也不是最大值. 综上，若k为最大值，则数列中的各项只能为1或2， 所以数列为的形式. 设其中有x项为1，y项为2， 因为存在60的k增数列，所以， 所以， 所以当且仅当时，k取最大值450. 【点睛】本题是数列有关的新定义问题，这类问题的关键是要准确理解题中对于“的增数列”的定义，特别是条件②中的正整数对指的是数列下标而非数列项本身；其次在最后一问的证明过程中，需要把多种情况都考虑到，只有全面分析数列满足的条件才能准确得出项的特征，而考虑的方面其实从前两问中可以分析出来. 16．已知数列中，对，都有，设，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值． (1)数列为，满足：，写出的通项公式； (2)设为负整数，证明：的充要条件是数列是公差为的等差数列； (3)设函数，已知，求函数的值域. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据和的定义，以及可求，，并且当时，，所以分段表示即可； （2）根据等差数列的定义和数列的单调性即可证明； （3）根据可知，再利用反证法证明，结合，可得值域. 【详解】（1）由题意得：，当时，， 所以； （2）充分性： 若是公差为的等差数列，因为，所以是递减数列， 所以， 必要性： 若，假设是第一个使得的项， 则，与矛盾， 所以是递减数列， 所以， 所以数列是公差为的等差数列； （3）因为，所以，且存在，使得， 下面证明， 假设中存在小于1的项，则设是第一个小于1的项， 因为，所以， 因为，所以时，， 所以， 则，与矛盾， 所以， 又因为，所以或， 所以的值域是. 【点睛】关键点点睛：此题考查了数列相关的新定义问题，涉及求值和证明；在解题时正确理解定义，运用定义，并与所学过的知识相结合是解题的关键. 专题四：等差数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2012高一·全国·竞赛）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ）． A．62 B．64 C．66 D．68 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质得到，求出或2，结合求出和公差，进而得到答案. 【详解】根据等差数列的性质可知，， 故，解得或2， 又， 故不合要求，舍去， 故，公差， 所以. 故选：A 2．（2013高一·全国·竞赛）等差数列的前项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，故的值是常数，进而利用等差下标性质可知代入前项的和的公式中求得，进而推断出为常数，有此可判断A，同理可判断BCD. 【详解】设等差数列的首项和公差分别为， 因为， 所以的值是常数， 对于A，也是常数，故A正确； 对于B，，故不为定值，故B错误； 对于C，， 故不为定值，故C错误； 对于D，， 故不为定值，故D错误. 故选：A. 3．（2010高一·全国·竞赛）已知无穷数列是各项均为正数的等差数列，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论为递增数列和正项常数列，由不等式性质即可得出答案. 【详解】为无穷正项等差数列，为递增数列或正项常数列， 若为递增数列，则为真分数，由不等式性质知，， 若为正项常数列，则. 故选：B. 4．（2014高一·全国·竞赛）等差数列满足为其前项和，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据求出公差和首项，得到通项公式，得到答案. 【详解】 等差数列满足， 分别令，2得，①，②， ②-①可得③，将③代入①可知， 通项公式，经检验符合题意. 故. 故选：C 5．（2008高一·全国·竞赛）在数列中，，且对于任意大于1的正整数，点在直线上，则的值为（　　）. A．27 B．6 C．81 D．9 【答案】A 【分析】先根据条件得出，再根据等差数列的定义以及通项公式即可求解. 【详解】由题意可得：，故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则有，所以， 故选：A. 6．（2007高一·全国·竞赛）等差数列的前项的和分别为，且，则（　　）. A． B． C． D．以上均不对 【答案】A 【分析】根据给定条件结合等差数列前项和公式计算即可. 【详解】因为等差数列，的前项的和分别为，， 所以，， 所以，，. 故选：A. 7．（2007高一·全国·竞赛）等差数列的前项和分别为，且，则（　　） A． B． C． D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】根据给定条件结合等差数列项的性质、等差数列前n项和公式计算作答. 【详解】根据题意，. 故选：C. 8．（2007高一·全国·竞赛）等差数列的公差，且，则（　　）. A．85 B．145 C．110 D．90 【答案】A 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】由题意，差数列的公差， 可得. 故选：A. 9．（2007高二·全国·竞赛）如果数列是公差不为0的等差数列，且，又定义，则的最大项是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式和等差数列的性质求解得答案. 【详解】∵，∴. 所以数列的最大项为. 故选：B. 10．（2013高一·全国·竞赛）数列都是等差数列，且，若，则的值为（    ）． A．0 B．25 C．45 D．60 【答案】D 【分析】先求出是等差数列，，结合求出答案. 【详解】都是等差数列，设其公差分别为， 故， 所以是等差数列，其中， 又，故， 所以. 故选：D 11．（2011高一·全国·竞赛）设m是正整数，数列满足，且，则（    ）． A．888 B．889 C．890 D．891 【答案】B 【分析】利用递推关系式可得为等差数列，再利用等差数列的性质可得，解得满足题意. 【详解】依题意由可得， 设，则，即，易知数列是等差数列， 根据等差数列的性质可得， 即． 令，即，解得， 因此. 故选：B 12．（2024高三上·全国·竞赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再由5个数均为正数，列d的不等式求解. 【详解】设5个正数组成数列， 则， 则，解得. 故选：D 13．（2019高一下·浙江宁波·竞赛）一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（    ） A．75 B．100 C．50 D．125 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质，，成等差数列，建立方程，进行求解． 【详解】解：设等差数列前项的和为，由等差数列的性质可得，中间的项的和可设为，后项的和设为， 由题意得，， 解得，， 故中间的项的和为75， 故选：A． 【点睛】本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前项和为，则，，，成等差数列，属于中档题． 14．（2011高二上·辽宁大连·竞赛）在圆内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，若公差，那么的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的几何性质求出圆内过的最长弦和最短弦，即得数列的首项和尾项，由此列出不等式求得n的范围，可得答案. 【详解】由题设知圆的圆心坐标与半径分别为， , 故最长弦与最短弦分别为， 由于过点的条弦的长度成等差数列，设公差为d， 所以，所以， 由于，即， 故选：A． 15．（18-19高三·北京·强基计划）已知数列和均为等差数列，，对任意，又数列的前23项的和为，前40项的和为100，则数列的前100项和等于（    ） A．14050 B．16050 C．18050 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】设等差数列和的公差分别为a和b，则可由题设条件得到关于公差和首项的方程组，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设等差数列和的公差分别为a和b， 根据题意，数列的前n项和 进而可得 因此数列的前100项和为． 故选：D. 16．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛多选题）设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 【答案】ABC 【分析】利用等差数列前项和公式，通项公式的性质即可逐个选项判断. 【详解】因为等差数列中， ，， 所以，，，A正确； 当时，取得最大值，B正确； ，C正确； ，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：ABC 17．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知数列均为等差数列，且，则下列各项在集合中的是（    ） A．810 B．1147 C．1540 D．3672 【答案】ABCD 【分析】利用恒等关系可求的解析式，故可判断各选择的正误. 【详解】根据题意，设， 其中a，b，c为待定系数，则 解得 于是， 有 n 3 4 5 6 7 8 9 10 529 810 1147 1540 1989 2494 3055 3672 因此符合题意的选项有A，B，C，D． 故选：ABCD. 18．（2024高二下·重庆·竞赛）数列满足，若，则 . 【答案】 【分析】由已知递推关系化简可得，由等差中项判断数列为等差数列，再由裂项相消法求出的和进而得到公差，最后由等差数列的性质求出结果即可. 【详解】由可得， 则数列为等差数列，首项为，设公差为， 则 ， 故. 故答案为： 19．（2015高一·全国·竞赛）把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设()是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数，如．若，则与的和为 ． 1 2    4 3    5     7 6    8     10   12 9    11    13   15   17 14   16    18   20   22   24 …… 【答案】107 【分析】分析得到奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，为第个奇数，利用等差数列求和公式得到前31个奇数行和前32个奇数行的奇数个数，确定在第63行，且在第列，求出，得到答案. 【详解】由题意可知，奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第行有个数， 记为第个奇数，则， 又，所以为第个奇数， 又前31个奇数行，共有奇数个， 前32个奇数行，共有奇数个， 其中，， 故在第63行，且在第列， 即，. 故答案为：107 20．（2017高二·全国·竞赛）对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为“高斯函数”或“取整函数”．若，，为数列的前项和，则 ． 【答案】 【分析】根据“高斯函数”的定义、分组求和法、等差数列的前项和公式求得正确答案. 【详解】当时，均有， 所以 ． 故答案为： 21．（2018高二·全国·竞赛）已知圆心在轴正半轴上的一系列相外切的圆的圆心的坐标为，且满足，第个圆的圆心横坐标为，这个圆的面积之比为，记，则 . 【答案】 【分析】由题意可得半径为，进而可得，利用对数性质运算可得，化简计算即可得出结果. 【详解】由题意圆心坐标满足 又个圆的面积之比为， 所以半径为； 又，而， 所以， 所以. 故答案为： 22．（2017高二·全国·竞赛）已知正项数列满足，，且，则 . 【答案】 【分析】根据得，由此判断数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而求出，即可求解. 【详解】因为，两边同除以得：， 即，又因为，， 所以满足上式，由此可知：数列是等差数列， 其公差和首项都是，所以，所以， 从而； 故答案为： 23．（2008高一·全国·竞赛）已知数列的前项和为，若，，则数列的前2008项和为 . 【答案】 【分析】根据，作差求出的通项公式，即可得到，再由诱导公式得到，，最后利用分组求和法计算可得. 【详解】因为，当时， 当时， 所以， 经检验当时也成立，所以， 所以，， ， ， 所以， 又， 所以. 故答案为： 24．（2018高一·全国·竞赛）等差数列中，，则数列的公差 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式用和表示出，再由列式即可得解. 【详解】，， ，所以得. 故答案为：. 25．（2016高一·全国·竞赛）数列满足，且对于任意的都有，则等于 ． 【答案】 【分析】由题意可得出，再由累加法结合等差数列的前和公式可得，即可求出，由裂项相消法即可得出答案. 【详解】因为对于任意的都有，， 所以，， 则，，……，， 将以上相加可得：， 当时也成立，所以， 所以 ． 故答案为：. 26．（2013高一·全国·竞赛）在数列中，，且，则 ． 【答案】9050 【分析】由已知条件可得数列是等差数列，再根据可求出公差，从而可求出数列的通项公式，由通项公式可知当时，，当时，，分段求和即可 【详解】由题意， 所以为等差数列， 所以等差数列的公差， 当时，；当时，，， ， 故答案为：9050 27．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）已知各项均为整数的等差数列，若，，，则 的最小值是 ． 【答案】7 【分析】设公差为，由题意可得，都是正整数，将用表示，求出的最大值即可得解. 【详解】设公差为， 因为，，， 所有，， 所以， 所以，， 所以， 又因为的各项均为整数，所以为整数， 则， 因为都是正整数，所以为和的最大公约数， 所以. 故答案为：. 28．（2022高二·江苏苏州·竞赛）若等差数列满足，则的值为 . 【答案】 【分析】直接由条件得出首项和公差的方程组，即可求出. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 29．（2020高三·江苏·竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有 个． 【答案】8100/ 【详解】解析：由题意可得，且为正整数，则． 故必须满足，分别讨论公差的取值情形； 当公差为1时，共1796组； 公差为2时，共1572组； 当公差为3时，共1348组． 组数依次构成公差为-24的等差数列， 而公差为9时，共有4组，故满足要求的数列共有． 故答案：. 30．（17-18高三·北京·强基计划）在数列中，，且递增，则 ． 【答案】 【分析】由题设中的递归关系可得，从而可求，故可求数列的通项，也可以利用特值方程法求出数列的通项. 【详解】解法一 根据题意，有， 于是， 考虑到，于是， 所以 进而． 解法二 根据题意，有， ， 两式相减，得， 因为数列单调递增，所以，， 两式相减，得． 解上式对应的特征方程, 得，因此． 将代入上式，得 31．（20-21高三上·广东深圳·阶段练习）已知等差数列的前n项和，其前三项和为6，后三项和为39，则该数列有 项. 【答案】30 【解析】根据题意和等差数列的性质，求得，得到，在结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由等差数列的前三项和为6，后三项和为39，可得， 根据等差数列的性质，可得，所以 又由，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 32．（2012高二·全国·竞赛）在平面上有一系列的点，对于正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且． (1)判断数列是否为等差数列； (2)设的面积为，求证：． 【答案】(1)数列是等差数列. (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知与两圆外切，利用圆心距等于半径和列出方程，化简变形，即可得出答案； （2）由（1）得出的通项公式，然后用裂项相消法求和，化简即可得出. 【详解】（1）的半径为的半径为和两圆相外切， 则，即， 整理得， 又，所以，即， 故数列是等差数列． （2）由（1）得，即， 又， 所以， ． 得证. 33．（2021高三·全国·竞赛）已知正项数列满足．记数列的前n项和为，求的值． 【答案】 【分析】根据数列的递推关系可得为常数列，从而可求， 求出后可求和式的值. 【详解】由数列的递推式可知，故， 于是，进而， 直接求和可得，于是． 于是我们直接带入得到： ． 【点睛】思维点睛：对于给定的数列的递推关系，应该通过对其变形得到容易求出通项的新数列，从而利用常见数列的求和方法解决与原数列相关的问题. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二等差数列易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校等差数列易错题精选 专题二：名校等差数列培优题精选 专题三：名校等差数列新定义试题精选 专题四：等差数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校等差数列易错题精选 1．已知是等差数列的前项和，，且，则下列说法不正确的是（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 2．在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（    ） A．数列为递增数列 B． C．数列的前项和最小 D． 3．若等差数列满足，则的最大值为（    ） A．600 B．500 C．800 D．200 4．已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 5．将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．111 D．135 6．已知正项等差数列满足，则（   ） A．2 B．1012 C．2024 D．4048 7．已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17.其中正确命题的序号为（ ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 8．已知数列为等差数列，其前项和为，且，则以下结论不正确的有（    ） A． B．最小 C． D． 9．在各项均不为零的数列中，，若，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 10．已知等差数列的前项和为，若，则使的最小的的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 11．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 12．已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 13．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（多选题）等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 15．（多选题）已知等差数列，前项和为，满足，，下列说法正确的是（   ） A．若，则数列单调递减 B．若，则 C．若，则的最小值为 D．若，则 16．（多选题）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 17．（多选题）已知等差数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是（    ） A．是递增数列 B．时，的最大值为13 C．数列中的最大项为 D．时，的最大值为27 18．（多选题）记等差数列的前项和为，公差为，若且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 19．已知公差大于0的等差数列满足，，则数列的前8项和为 ． 20．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为 ． 21．已知为等差数列的前项和，且，则 . 22．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 . 23．已知等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是 ． 24．记等差数列的公差为，前项和为，若，则 ． 25．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 26．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 专题二：名校等差数列培优压轴试题精选 1．已知是等差数列的前项和，若对任意的，均有成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知正项数列前项和为，首项且，则以下说法中正确的个数（   ） ①；②当为奇数时，；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知是递减的整数数列，若，且，则的最小值为（   ） A．54 B．55 C．63 D．64 4．设无穷数列的前项和为，且对任意的正整数，则的值可能为（    ） A． B．0 C．6 D．12 5．设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（   ） A． B．1 C． D．2 7．数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为（    ） A．45 B．46 C．90 D．91 8．数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（     ） A．是递减数列 B．数列的前 2025 项和为 2017 C． D．设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 9．（多选题）已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．（多选题）已知数列满足，，设数列的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ） A．数列是等差数列 B．数列的最大项为 C．使得取得最小值的为7 D．有最小值，无最大值 11．（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（  ） A．当，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 12．（多选题）记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（   ） A． B． C． D．满足的的最大值为 13．（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（   ） A．当时，最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．数列中最小项为 14．（多选题）已知数列满足，则下列选项正确的是（   ） A．，…是公差为2的等差数列 B．，…是常数数列 C． D．若数列满足，则数列的前101项和为 15．（多选题）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则， B．若，，则中最大 C．若，则使的最大的为21 D．若（为常数），则 16．（多选题）记等差数列的前项和为，数列的前项和为.已知当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．若，则当且仅当时，取得最大值 B．若，则当且仅当时，取得最大值 C．若，则当或14时，取得最大值 D．若，，则当或14时，取得最大值 17．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 18．设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ． 19．设是公差不为零的等差数列，. (1)求和； (2)求的前n项和； (3)试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 20．已知数列满足：，， (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和，求实数t的值，使得数列是等差数列． 专题三：名校等差数列新定义试题精选 1．（多选题）在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 2．若项数为m（，）的数列满足：①单调递增且；②对任意的正整数，都存在正整数，使得或，则称数列具有性质P. (1)若，，分别判断数列，是否具有性质P，并说明理由； (2)若数列具有性质P，证明：且（且）； (3)若数列具有性质P且，，求数列的通项公式. 3．若无穷数列的满足对于给定的正整数，对均成立，则称数列是可均分数列． (1)若各项均为正整数的递增数列是可均分数列，且，求； (2)若“是等差数列”是“是可均分数列”的充要条件，求； (3)若既是可均分数列，也是可均分数列，满足：，求证：是可均分数列．（注：） 4．已知是各项都为正数的递增数列，给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得； ②对于中任意一项，在中都存在两项，使得. (1)若，判断是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若同时满足性质①和性质②，证明：成等差数列. 5．已知无穷数列中，，记. (1)若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列. 6．已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数， 对任意的成立，则称数列具有性质. (1)若，请判断数列是否具有性质； (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； (3)已知数列中，且.若数列只有性质，求数列的通项公式. 7．已知正边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如： 记个顶点上的个数顺时针排列依次为，则，为整数，，，.设（共个，表示次变换） (1)若，，，求，，，； (2)对于正边形，若，，证明：； (3)设，，，证明：存在，使得不全为整数. 8．若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列. (1)若数列为1级等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为2级等差数列，且前四项分别为，求数列的前项和； (3)若，且是3级等差数列，求数列的前项和. 9．若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 10．对于任意，向量列满足. (1)若，，求的最小值及此时的. (2)若，，其中，，，，若对任意，，设函数，记，试判断的符号并证明你的结论. (3)记，，，对于任意，记，若存在实数和2，使得等式成立，且有成立，试求的最小值. 11．已知有限数集A中有个元素，若存在某种分解方式可以将其划分为个两两不交的集合，每个集合中恰有两个元素，记这些集合为，其中，设，的某种排列为等差数列（记为），我们就称这种划分方式为A的一个“分解”，的公差称为该划分的“特征值”（对于同一种划分，特征值取非负数）. (1)尝试写出一种对数集作出的分解，且该划分的特征值为2； (2)对数集作分解，且该划分的特征值为1，证明：的首项不为奇数； (3)探究并证明：对数集作分解至少有3种从属于不同特征值的不同划分方式. 12．若数列：，，…，（）满足（），则称为E数列．记. (1)写出一个满足，且的E数列； (2)若，，证明E数列是递减数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数n（），是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由. 13．已知数列是正整数的一个全排列，若对每个都有或，则称为数列 (1)列出所有数列的情形； (2)写出一个满足的数列的通项公式； (3)在数列中，记，若数列是公差为的等差数列，求证：或. 14．已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 15．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列： ①； ②对于，使得的正整数对恰有个． (1)若等差数列1，3，5，7，9为的增数列，求的值； (2)若数列为的8增数列，求的最小值； (3)若存在60的增数列，求的最大值． 16．已知数列中，对，都有，设，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值． (1)数列为，满足：，写出的通项公式； (2)设为负整数，证明：的充要条件是数列是公差为的等差数列； (3)设函数，已知，求函数的值域. 专题四：等差数列全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2012高一·全国·竞赛）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ）． A．62 B．64 C．66 D．68 2．（2013高一·全国·竞赛）等差数列的前项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2010高一·全国·竞赛）已知无穷数列是各项均为正数的等差数列，则有（    ） A． B． C． D． 4．（2014高一·全国·竞赛）等差数列满足为其前项和，那么（    ） A． B． C． D． 5．（2008高一·全国·竞赛）在数列中，，且对于任意大于1的正整数，点在直线上，则的值为（　　）. A．27 B．6 C．81 D．9 6．（2007高一·全国·竞赛）等差数列的前项的和分别为，且，则（　　）. A． B． C． D．以上均不对 7．（2007高一·全国·竞赛）等差数列的前项和分别为，且，则（　　） A． B． C． D．以上答案均不对 8．（2007高一·全国·竞赛）等差数列的公差，且，则（　　）. A．85 B．145 C．110 D．90 9．（2007高二·全国·竞赛）如果数列是公差不为0的等差数列，且，又定义，则的最大项是（    ）． A． B． C． D．不确定 10．（2013高一·全国·竞赛）数列都是等差数列，且，若，则的值为（    ）． A．0 B．25 C．45 D．60 11．（2011高一·全国·竞赛）设m是正整数，数列满足，且，则（    ）． A．888 B．889 C．890 D．891 12．（2024高三上·全国·竞赛）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2019高一下·浙江宁波·竞赛）一个等差数列共有项，若前项的和为100，后项的和为200，则中间项的和为（    ） A．75 B．100 C．50 D．125 14．（2011高二上·辽宁大连·竞赛）在圆内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，若公差，那么的取值集合为（    ） A． B． C． D． 15．（18-19高三·北京·强基计划）已知数列和均为等差数列，，对任意，又数列的前23项的和为，前40项的和为100，则数列的前100项和等于（    ） A．14050 B．16050 C．18050 D．以上答案都不对 16．（2023高二下·安徽阜阳·竞赛多选题）设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（ ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 17．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知数列均为等差数列，且，则下列各项在集合中的是（    ） A．810 B．1147 C．1540 D．3672 18．（2024高二下·重庆·竞赛）数列满足，若，则 . 19．（2015高一·全国·竞赛）把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设()是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数，如．若，则与的和为 ． 1 2    4 3    5     7 6    8     10   12 9    11    13   15   17 14   16    18   20   22   24 …… 20．（2017高二·全国·竞赛）对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为“高斯函数”或“取整函数”．若，，为数列的前项和，则 ． 21．（2018高二·全国·竞赛）已知圆心在轴正半轴上的一系列相外切的圆的圆心的坐标为，且满足，第个圆的圆心横坐标为，这个圆的面积之比为，记，则 . 22．（2017高二·全国·竞赛）已知正项数列满足，，且，则 . 23．（2008高一·全国·竞赛）已知数列的前项和为，若，，则数列的前2008项和为 . 24．（2018高一·全国·竞赛）等差数列中，，则数列的公差 ． 25．（2016高一·全国·竞赛）数列满足，且对于任意的都有，则等于 ． 26．（2013高一·全国·竞赛）在数列中，，且，则 ． 27．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）已知各项均为整数的等差数列，若，，，则 的最小值是 ． 28．（2022高二·江苏苏州·竞赛）若等差数列满足，则的值为 . 29．（2020高三·江苏·竞赛）从集合中取出225个不同的数，组成递增的等差数列，满足要求的数列共有 个． 30．（17-18高三·北京·强基计划）在数列中，，且递增，则 ． 31．（20-21高三上·广东深圳·阶段练习）已知等差数列的前n项和，其前三项和为6，后三项和为39，则该数列有 项. 32．（2012高二·全国·竞赛）在平面上有一系列的点，对于正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴相切，且与又彼此外切，若，且． (1)判断数列是否为等差数列； (2)设的面积为，求证：． 33．（2021高三·全国·竞赛）已知正项数列满足．记数列的前n项和为，求的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$