河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三上学期1月数学期末模拟试题

新蔡县第一高级中学高三2025年1月份期末模拟数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 3．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．24 D．48 8．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是2km，从点沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h，时间（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点的距离．设，则（   ） A．函数为增函数 B． C．当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D．当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过 10．在信道内传输，，信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为．输入五个相同的信号，，的概率均为．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，事件表示“输出”，则（    ） A．若输入信号，则输出的信号只有三个的概率为 B． C． D． 11．“牛顿切线法”是结合导函数求零点近似值的方法，是牛顿在17世纪首先提出的．具体方法是：设r是的零点，选取作为r的初始近似值，在处作曲线的切线，交x轴于点；在处作曲线的切线，交x轴于点；……在处作曲线的切线，交x轴于点；可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值．其中数列称为函数的牛顿数列．则下列说法正确的是（    ） A．数列为函数的牛顿数列，则 B．数列为函数的牛顿数列，且，则对任意的，均有 C．数列为函数的牛顿数列，且，则为递增数列 D．数列为的牛顿数列，设，且，，则数列为等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．甲乙二人参加一种游戏：在一副扑克牌中取出5张数字分别为3，4，5，6，7的牌，随后两人分别从其中随机取走一张．甲声称：我不知道谁牌上的数字更小，乙思考片刻后，作出了与甲同样的判断．在二人的判断均准确的前提下，甲推断出了乙手中牌上的数字，其为 ． 13．已知函数不是常数函数，的定义域为，且，写出一个满足条件的函数 . 14．已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下列联表. 性别 感冒情况 合计 不感冒 感冒 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 (1)请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为性别与感冒情况具有相关性； (2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为，求随机变量的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．设为数列的前项和，满足． (1)求证：； (2)记，求． 17．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)恒成立，求a的取值范围． 18．已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 19．如图，已知四面体中，平面，. (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C A C C BCD CD 题号 11 答案 BCD 12．5 13．（答案不唯一，，且） 14．2 15．（1）零假设为：性别与感冒情况不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为性别与感冒情况无关. （2）根据分层随机抽样的知识可知，男性有2人，女性有3人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 16．（1）因为数列的前项和，满足， 当时，可得， 两式相减得，即，所以； 当时，，解得； 所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以的图象公式为． （2）由（1）知，可得， 所以， 则 ． 17．（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为的定义域为，若， 可得，整理可得， 构建，则，可知在内单调递增，则， 令，则对任意恒成立，构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，所以a的取值范围为. 18．（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 19（1）因为平面，平面BCD，则， 又，，平面ABC，所以平面， 因为平面ABC，所以. （2）由（1）可知：，， 且平面，平面ABC，则， 且其余各棱均不垂直，可得； 由平面，且平面，平面， 可得平面平面，平面平面， 同理：由平面可得：平面平面， 且其余各面均不垂直，可得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，可得； 综上所述：. （3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， . 由（1）知， 在图1中，因为平面，平面BCD，所以， 又因为，所以， 故在图2中，， 所以在图2中，在中，由余弦定理得， 所以彩带的最小长度为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$