专题强化2：抛体运动的规律及其分析-2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

专题强化2：抛体运动的规律及其分析 【考点归纳】 考点1 平抛运动的基本规律 1 考点2 与斜面有关的平抛运动 3 考点3 斜抛运动 4 【题型归纳】 题型1：平抛运动速度的计算 5 题型2：平抛运动位移的计算 8 题型3：速度偏转角与位移偏转角 8 题型4：速度反向延长线的特点 11 题型5：飞机投弹问题 14 题型6：平抛运动中追及相遇问题 17 题型7：与曲面结合的平抛运动 21 题型8：斜面上上的平抛运动 24 题型9：斜抛运动 27 【考点归纳】 考点1 平抛运动的基本规律 1. 平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2. 平抛运动的规律 （1）规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） （2）水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， （3）竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， （4）平抛运动的轨迹：是一条抛物线 （5）合速度：大小：即， （6）方向：v与水平方向夹角为，即 （7）合位移：大小：即， （8）方向：S与水平方向夹角为，即 （9） 两个推论： ①做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. ②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 3. 对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间，可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 4. 小结：平抛运动的分解方法与技巧 （1）如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度. （2）如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移. （3）两种分解方法： ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动. 考点2 与斜面有关的平抛运动 1. 沿着斜面平抛 （1）斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ，v0 θ( )α )α y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 （2）斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 2. 垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 v0 )θ H H-y x 3. 撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 考点3 斜抛运动 1. 运动规律 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 （2）水平位移； （3）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 （4）任意时刻的速度和位移分别是 2. 轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 o V0x X 3. 对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 4. 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 ③斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 【题型归纳】 题型1：平抛运动速度的计算 1．（24-25高三上·云南昆明·期中）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则下列说法正确的是（　　） A．青蛙跳到荷叶a上和荷叶b上的初速度相等 B．青蛙跳到荷叶a上和荷叶c上的初速度相等 C．青蛙跳到荷叶c上的初速度最小 D．青蛙跳到荷叶d上的初速度最大 2．（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）一个物体以初速度水平抛出，经过一段时间t后其速度方向与水平方向夹角为60°，若重力加速度为g，则t为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图所示，在水平地面上放置一边长为0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面打至侧壁不再弹起，水的密度为1.0×103kg/m3，则（　　） A．水在空中运动时间的最大值为0.4s B．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面 C．空中运动的水的质量最大值为0.8kg D．若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长一定逐渐缩短 5．（23-24高一下·新疆·期末）沙滩排球是风靡全世界的一项体育运动。某次比赛中，运动员将排球（视为质点）水平拍出，拍出点距水平地面的高度为，落地点与拍出点间的水平距离为。重力加速度大小为，不计空气阻力。该排球被拍出时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·辽宁·期末）如图所示，竖直固定靶上端为O点，线段MNO垂直于靶面，N位于M、O两点的中点。某同学在练习飞镖时，第一次从M点水平抛出的飞镖，击中O点正下方的P点，；第二次从N点水平抛出的飞镖，击中O点正下方的Q点，。若飞镖在M点的初速度为v，飞镖在N点的初速度为（　　） A． B． C． D．v 7．（23-24高一下·海南海口·期末）如图所示，投掷飞镖时靶盘竖直放置，将飞镖沿水平方向正对靶心掷出，经0.25s飞镖射中靶心正下方的某点。已知飞镖掷出前距靶心的水平距离为3.0m，飞镖可视为质点，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．以地面为参考系，飞镖在空中做变加速曲线运动 B．飞镖掷出时速度的大小为12m/s C．为使飞镖命中靶心，可适当减小飞镖的质量 D．为使飞镖命中靶心，可适当增大掷出时的速度 8．（23-24高一下·福建泉州·期末）“投壶”是古代盛行的一种投掷游戏．如图，姐弟俩先后在同一地点将相同的箭水平掷出，投进了同一个壶里。已知姐姐的出手点在弟弟出手点的正上方，不计空气阻力，则姐姐投出去的箭与弟弟投出去的箭相比（    ） A．位移较小 B．飞行时间较短 C．初速度较小 D．初速度较大 题型2：平抛运动位移的计算 9．（23-24高一下·青海·期末）如图所示，某同学取水时，发现水平细水管到水平地面的高度恰好为水桶高的两倍。在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则水从细水管出水口到桶口中心的时间与从桶口中心落到A点的时间之比为（　　） A． B． C． D． 10．（21-22高一下·广西柳州·阶段练习）游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距高度为h，如图所示，不计空气阻力。关于两枪射出子弹的初速度大小，下列说法正确的是（　　） A．甲枪射出的子弹初速度较大 B．乙枪射出的子弹初速度较大 C．甲枪射出的子弹运动的时间较长 D．甲、乙两枪射出的子弹运动的时间相等 11．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）乒乓球运动是我国喜闻乐见的体育运动，所有人都可以通过乒乓球运动来锻炼身体。某同学在一次乒乓球练习中，以大小为的初速度将乒乓球水平击出，乒乓球在空中形成一段抛物线，乒乓球在点的速度方向与水平方向成角，运动到点时速度方向与水平方向成角，取重力加速度大小，不计空气阻力，则乒乓球从A点运动到B点的竖直位移大小为（　　） A．0.1m B．0.4m C．0.45m D．0.9m 12．（23-24高一下·广西贵港·期中）学习了平抛运动后，周末小李约小张到射箭馆里体验射箭。小李和小张两人沿水平方向各自射出一支箭，箭头插入箭靶时与水平面的夹角分别为37°和53°，分别如图甲，乙所示。两支箭在竖直方向下落的高度相同，取，，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小李和小张射出的箭在空中运动的时间之比为4:3 B．小李和小张到箭靶的距离之比约为4:3 C．小李和小张射出的箭插入箭靶时的速度大小之比为4:3 D．小李和小张射出的箭在空中运动的位移大小之比为1:1 13．（23-24高一下·山东潍坊·期中）如图在水平地面上放置一边长为0.45m的正方体水箱，一水管可在abcd面内绕a点转动（）。已知出水口截面积为，出水速率为2.0m/s，水的密度，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，已知重力加速度为，则水沿各方向射出时（　　） A．水柱都能打到竖直侧壁上 B．水在空中运动时间的最大值为 C．空中运动的水的质量最大值为6kg D．若保持不变，则随着液面上升，水在空中运动的时间一定变短 14．（23-24高一下·湖北咸宁·阶段练习）如图，某一小球以的速度水平抛出，在落地之前经过空中两点，在点小球的速度与水平方向的夹角为，在点小球的速度与水平方向的夹角为，空气阻力忽略不计，取，下列说法正确的是（　　） A．小球经过到达点 B．在B点的速度为 C．小球从A点运动到B点的时间为 D．之间的水平距离为 15．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，一小球对准竖直墙壁上的P点水平射出，由于重力作用打在瑞壁上的Q点，P、Q两点之间的距离h=1.25m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s，小球射出时的速度v0=40m/s，求： (1)抛出点到P点的距离x； (2)小球打到Q点时的速度vQ。 16．（23-24高一下·甘肃兰州·阶段练习）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现质量为60 kg的某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得a、b间的距离L=40 m，斜坡与水平方向的夹角为θ=30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求∶ (1)运动员从a点水平飞出时的速度大小； (2)运动员在飞行过程中，何时离斜坡最远？最远距离是多少？ 题型3：速度偏转角与位移偏转角 17．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）从同一竖直线上的不同位置水平抛出P、Q两小球，分别经时间tP、tQ后落在水平地面上的同一点，且有tP=2tQ。若P、Q两小球抛出时的速度用vP、vQ表示，下落的高度用hP、hQ表示，落地时的速度与水平方向的夹角用、表示，从抛出到落地的位移用、表示，不计空气阻力，则下列关系中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·吉林四平·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60° 19．（22-23高一下·吉林延边·阶段练习）如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球水平抛出时的初速度大小为 B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度减小，则增大 20．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）某物体做平抛运动时，它的速度偏向角（速度与水平方向的夹角）的正切值随时间变化的图像如图所示（取），则下列说法不正确的是（　　） A．物体的平抛初速度的大小为 B．第物体下落的高度为 C．第末物体的位移偏向角（位移与水平方向的夹角）为 D．前内物体的速度变化量的大小为 21．（多选）（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）如图为湖边一倾角为的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石块，已知，重力加速度，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）。 A．若，则石块一定落入水中 B．若，则石块不可以落入水中 C．若石块能落入水中，则越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与无关 22．（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的水平距离为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 23．（23-24高一下·四川达州·期末）愤怒的小鸟是曾经风靡全球的2D画面游戏，该游戏是通过调节发射小鸟的力度与角度达到轰击肥猪堡垒的目的，现简化为右图模型：假设小鸟从离草地高度h=12.8m处用弹弓以水平抛射，恰好击中肥猪的堡垒（将小鸟和肥猪堡垒均视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2），求： （1）小鸟击中肥猪堡垒时速度的大小和方向； （2）若击中肥猪堡垒前小鸟经过位置A时速度与竖直方向夹角，则小鸟从位置A到肥猪堡垒所用的时间。 24．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图甲所示，竖直墙面悬挂一个直径的飞镖盘（厚度不计），盘的下边缘离地，小明同学在距离墙面的水平地面上方处将飞镖水平抛出，不计空气阻力，。 （1）若要飞镖射中飞镖盘，投掷的最小速度大小； （2）若某次飞人靶（或人墙）时情况如图乙所示，求飞抛出时的初速度大小。 题型4：速度反向延长线的特点 25．（22-23高一下·吉林延边·阶段练习）如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 26．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为、，经时间、分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量 D．落在D点的小球不可能垂直打在圆弧上 27．（21-22高一下·江苏·开学考试）如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径。 有一小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，则小球（　　） A．初速度越大，运动时间越长 B．初速度不同，运动时间一定不同 C．落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向 D．落到轨道的瞬间，速度方向的反向延长线与水平直径的交点在O点的左侧 28．（20-21高一下·天津东丽·阶段练习）如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴以的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与轴相交于Q点，已知，则小球运动的时间为（　　） A．1s B．1.5s C．2.5s D．3s 29．（多选）（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（    ） A．两只飞镖的抛出速度满足 B．两只飞镖击中墙面的速度满足 C．两只飞镖的运动时间一定相等 D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点 30．（多选）从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．落在a点的小球撞在墙面的速度最小 B．三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式 C．落在c点的小球飞行时间最短 D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点 31．（20-21高一下·河南·阶段练习）随着2022年北京冬奥会的临近，滑雪运动在我国受到人民群众的广泛欢迎。一名滑雪探险运动员从山坡上滑下，如图所示，这一段山坡由两段斜坡组成，靠近山顶的一段陡峭的斜坡倾角为53°，第二段连接坡底的斜坡倾角为37°，第一段和第二段山坡长度之比为，二者之间通过一段长度为的水平滑道平滑连接。运动员在坡顶由静止开始滑下，经过一段时间的运动，恰好落在坡底处。已知运动员质量为60kg，从飞离水平滑道到落到坡底经历的时间为3s，不计空气阻力，重力加速度取，，。求：从坡顶到坡底的竖直高度h和运动员从水平滑道飞出的速度大小。 32．（22-23高一下·黑龙江双鸭山·阶段练习）请尺规作图并结合必要文字证明： （1）平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。 （2）匀速圆周运动的向心加速度大小。 题型5：飞机投弹问题 33．（2024·广东·模拟预测）为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破。飞机在河道上空高处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。投出的炸弹在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，设下落高度为h，时间为t，动能为Ek，机械能为E，加速度为a，速度与水平方向的夹角为θ，则下列能表示炸弹在空中运动过程中各物理量的变化图像是（　　） A． B． C． D． 34．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示，一轰炸机模型沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方15m时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A．忽略空气阻力的影响，重力加速度 g取 10 m/s2，山坡倾角为θ=45°，则该模型的初速度大小为（    ）    A．20 m/s B．15 m/s C．10 m/s D．5m /s 35．（22-23高一上·安徽·期中）疫情期间，某小区用无人机投送小型急救包，无人机在离地高度以恒定速度向目标位置匀速水平飞行，在离目标位置水平距离为时投送急救包，结果急救包刚好落到目标位置，若无人机飞行高度降为，飞行速度不变，要使急救包也刚好落到目标位置，无人机投送急救包时的位置离目标位置水平距离为（不考虑空气阻力的影响）（    ） A． B． C． D． 36．（22-23高一下·安徽淮北·阶段练习）如图所示，距离水平地面高为h的飞机沿水平方向做匀加速直线运动，从飞机上以相对地面的速度v0依次从a、b、c水平抛出甲、乙、丙三个物体，抛出的时间间隔均为T，三个物体分别落在水平地面上的A、B、C三点，若，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．三个物体在空中运动的时间关系为 B．飞机的加速度为 C．物体乙刚离开飞机时飞机的速度为 D．三个物体在空中运动时总在一条竖直线上 37．（20-21高一下·陕西渭南·阶段练习）如图所示，一架在2000m高空以250m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别轰炸图中两个目标A和B。已知两目标在同一水平面上，之间水平距离为800m。若不计空气阻力，取，下列说法正确的是（　　） A．飞机在目标A的正上方时投第一枚炸弹 B．飞机两次投弹的时间间隔为3.2s C．飞机两次投弹相距1000m D．飞机与目标B的水平距离为4000m时投第二枚炸弹 38．（2022高三·全国·专题练习）如图所示是消防车利用云梯（未画出）进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H=40m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h=20m的楼层，其水平射出的水的初速度在5m/s≤v0≤15m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则（　　） A．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40m B．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10m C．如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15m，则射出水的初速度最小为5m/s D．若该着火点高度为40m，该消防车仍能有效灭火 39．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图所示，一架直升机现需要将机舱内两箱物资（均可视为质点）分别准确地投送（物资放出时与直升机相对静止）至位于山脚、山顶的A、B两处，直升机在距水平地面高为H=180m的空中水平向右匀速飞行，在飞行至与A处水平距离为x1=180m的位置时，从舱内放出第一箱物资恰好能落到A处，此后继续保持原速飞行到适当的位置从舱内放出第二箱物资恰好能落到B处。已知山顶B处到水平地面的高度为h=135m，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。 （1）求直升机在空中匀速飞行的速度大小v； （2）为保证第二箱物资能准确落到B处，求从舱内放出第二箱物资时直升机与B处间的水平距离x。 40．（22-23高一下·安徽滁州·期末）在一次军事演习中，距地面高处的飞机以的水平速度投下一颗炸弹，轰炸地面目标，若不计空气阻力，（），求： （1）炸弹落地所用的时间； （2）飞机投下炸弹时距目标的水平距离； （3）若在飞机投下炸弹的同时在地面上点处恰好竖直向上发射了一颗炮弹，并击中炸弹，已知炮弹的发射点与炸弹投掷点的水平距离为，则发射炮弹的速度为多少。    题型6：平抛运动中追及相遇问题 41．甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置上，甲比乙高。将甲、乙两球以水平速度v1、v2沿同一方向平抛，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（　　） A．甲先抛出，且v1＜v2 B．甲先抛出，且v1＞v2 C．甲后抛出，且v1＜v2 D．甲后抛出，且v1＞v2 42．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）A和B两质量相等的小球，从同一水平直线上的两位置分别沿同方向水平抛出，其运动轨迹是抛物线，如图所示，不计空气阻力，两球在空中相遇，下列说法正确的是（　　） A．相遇时A球速度一定小于B球速度 B．相遇时A、B两球的动能一定相等 C．A小球必须先抛出 D．相遇时A和B两小球重力的功率一定相等 43．（2024·浙江温州·三模）如图所示，将两小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5s水平相向抛出，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点，并在同一竖直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．A处比B处高1.25m B．若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇 C．若已知B处高度和沙包b的下落时间，可求出A、B的水平距离 D．若已知A处高度和沙包a的初速度，可求出A、B的水平距离 44．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现将两个小球在两点，分别以的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点，已知，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．两球抛出的速度大小之比为 B．若仅增大，则两球将在落入碗中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上同一点，两球抛出的速率之和就不变 D．若仅从点水平抛出小球，无论如何改变小球抛出的速度，都不可能垂直打在碗上 45．（23-24高三下·云南·阶段练习）如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1的初速度大小为，方向水平，谷粒2的初速度大小为，方向与水平方向之间的夹角为37°。忽略空气阻力，重力加速度为g，取。谷粒2从O点运动到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，将球甲从高为H处以速度水平抛出，同时将球乙从水平地面以的初速度竖直上抛，两球在空中相遇。不计空气阻力，忽略两球的大小，重力加速度为g，则（　　） A．乙在下降中遇到甲 B．相遇点离地高度为 C．从抛出到相遇的时间为 D．抛出时，两球之间的水平间距为 47．（23-24高一下·辽宁·期中）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球以速度大小为v竖直向上抛出。在球上升到最高点时恰与球相遇，不计空气阻力。则在这段过程中，下列说法中正确的是（    ） A．两球的速度变化量大小相同 B．两球的相遇点在N点上方处 C．相遇时小球的速度方向与水平方向夹角为 D．M、N间的距离为h 48．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）如图所示，在距地面2l的高空A处以水平初速度投掷飞镖，在与A点水平距离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度沿竖直方向匀速上升，在升空过程中被飞镖击中。飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和气球视为质点，已知重力加速度为g。求： （1）飞镖击中气球时，飞镖的速度大小； （2）是先掷飞镖还是先释放气球？两个动作之间的时间间隔应为多少？ 题型7：与曲面结合的平抛运动 49．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，每一级台阶的高为5cm，宽为15cm，某同学用发射器（忽略大小）从第1级台阶边缘向右水平弹射一个可以看作质点的小球，要使小球能落到第4级台阶上（小球没有与台阶顶点接触），取重力加速度为，则弹射速度v可能是（　　） A．2.5m/s B．2m/s C．1.5m/s D．1m/s 50．（23-24高一下·云南昭通·期末）如图所示，以＝3m/s的速度水平抛出的小球，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ＝37°的斜面上，，以下结论中正确的是（　　） A．物体飞行时间是s B．物体飞行时间是0.4s C．物体下降的距离是1m D．物体撞击斜面时的速度大小为4m/s 51．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图所示，光滑斜面与水平面的夹角为，的长度为，在点正上方且与点等高的位置水平抛出一可看做质点的物体A，抛出的速度为，在物体A抛出的同时，在斜面的顶点处一可看做质点的物体B沿斜面无初速度下滑，重力加速度以下说法正确的是（　　） A．两物体一定能在斜面上相遇 B．两物体可能在斜面上相遇 C．物体A落在斜面上的时间为 D．物体A落在斜面上的时间为 52．（23-24高一下·河南郑州·期末）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的竖直高度差为20m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取。则下列说法错误的是（　　） A．运动员在A处的速度大小为 B．运动员在空中飞行的时间为2s C．运动员在空中离坡面的最大距离为 D．运动以从A到B速度变化量为10m/s 53．（多选）（23-24高一下·河南·期末）跳台滑雪需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知运动员（可视为质点）从A点水平飞出的速度，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，，，，下列说法正确的是（　　） A．运动员从飞出至落在斜面上的位移大小为75m B．运动员落在斜面上的速度大小为30m/s C．经过1.5s运动员离斜面最远 D．运动员离斜面的最远距离为9m 54．（多选）（23-24高一下·甘肃·期末）如图所示，为某滑雪爱好者滑雪的画面，已知滑雪坡的倾角为，该滑雪爱好者从滑雪坡的顶端O点以初速度水平滑出，在斜坡上A点落地，在空中飞行的时间为，不计一切阻力，滑雪爱好者可视为质点，g取，则（    ） A． B． C．OA的长度为 D．OA的长度为75m 55．（23-24高一下·安徽·阶段练习）2023年12月2日，苏翊鸣参加了在首钢大跳台举行的2023至2024赛季国际雪联滑雪大跳台世界杯，并夺得男子单板大跳台冠军。如图为可视为质点的运动员在训练时的情景：运动员穿着专用滑雪板，在滑雪道上获得速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后恰好在山坡底端B点着陆，如图所示。已知山坡可看成倾角为的斜面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求： (1)运动员落在B点时速度与水平方向夹角的正切值； (2)运动员从A点到与斜面距离最大时所用的时间及与斜面的最大距离。 56．（23-24高一下·广西防城港·期末）如图所示，正在斜坡上玩耍的小猴子遇到了危险，在高处的母猴纵身一跃去救小猴子，最终落在小猴子前面的M点处。已知斜坡与水平面的夹角，母猴跳离前的位置O点与M点的竖直高度，母猴的初速度沿水平方向，落在M点时速度方向与斜坡的夹角，不计空气阻力，取重力加速度大小。求： （1）母猴在空中的运动时间t； （2）母猴落到斜面上时水平速度的大小，以及O、M之间的水平距离x。 题型8：斜面上上的平抛运动 57．（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 58．（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O。一小球（可视为质点）从与圆心等高的圆形轨道上的A点以速度水平向右抛出，落于圆轨道上的C点。已知OC的连线与OA的夹角为，重力加速度为，则小球从A运动到C的时间为（，）（　　） A．4s B．6s C．8s D．3s 59．（23-24高一下·福建福州·期中）如图所示，、两个小球均从一个倾角为的斜面顶端以不同的初速度向右水平抛出，斜面与一个圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。则下列说法正确的是（　　） A．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，在空中运动时间不相同 B．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，速度变化量相同 C．a、b两个小球分别落到斜面上不同位置时，速度方向不相同 D．若小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 60．（2019·山东滨州·二模）如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为，在轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（　　）    A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m） 61．（21-22高三下·河北·阶段练习）如图所示，直角坐标系的轴水平向右、y轴竖直向下，一挡板的曲线形状满足方程，现从坐标原点以速率竖直向上抛出小球甲，经过时间返回到坐标原点，再从坐标原点以速率水平向右抛出小球乙，经过一段时间落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g取，则为（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：4 D．1：6 62．（多选）（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为、，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球同时落到轨道上 B． C．乙球的速度变化量比甲球的大 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 63．（多选）如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处以初速度v0开始做平抛运动，小球可视为质点，飞行过程中的轨迹恰好与半圆轨道相切于B点。 O为半圆轨道的圆心，半圆轨道的半径为R，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球从抛出到运动至B点的飞行时间是（　　）    A． B． C． D． 64．（23-24高一下·湖北·开学考试）水平放置的圆柱体正上方有一点P，将一个小球从P点以沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，其飞行一段时间后，恰由Q点沿切线飞过，测得圆心O与Q的连线与OP的夹角为θ，试求： （1）小球从P运动到Q的时间t； （2）小球的初始位置P点到圆柱体最高点的高度H。 题型9：斜抛运动 65．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 66．（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示，光滑斜面ABCD为边长a=2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的时间为0.5s B．小球在B点的速度大小为2.5m/s C．小球在D点的速度大小为5m/s D．小球的速度变化量大小为10m/s 67．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，将小球从倾角为的光滑斜面上A点以速度水平抛出（即），最后从B处离开斜面，已知AB间的高度，g取，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球的加速度为 B．小球作平抛运动，运动轨迹为抛物线 C．小球到达B点时的速度大小为 D．小球从A点运动到B点所用的时间为 68．（21-22高一下·四川南充·阶段练习）如图所示的光滑斜面长度为L，宽度为S，倾角为θ，某滑块（可视为质点）沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从斜面右侧的Q点离开斜面，Q点距离底端的距离为，已知重力加速度为g。则（　　）    A．滑块由P点至Q点做变加速曲线运动 B．滑块由P点至Q点做匀变速曲线运动，且加速度大小为gcosθ C．滑块由P点至Q点的运动时间为 D．滑块的初速度大小为 69．（20-21高一下·四川达州·期末）如图所示，特技演员平时训练有这样一个高难度科目：有一条结实的绳子一端栓在高度差为m的AB两楼顶上，绳子绷直，使其与水平面夹角，演员现从A楼顶下方m的窗台上以速度v水平飞跃而出，如果能抓住绳子，则v至少为（忽略空气阻力，特技演员视为质点，）（　　） A． B． C． D．5m/s 70．（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是（　　）    A．t1＞t3＞t2 B．t1=t1′、t2=t2′、t3=t3′ C．t1′＞t2′＞t3′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′ 71．（23-24高一下·广东深圳·期末）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。 （1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向； （2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。 72．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）风洞试验主要采用人工的方式产生并且控制气流，在风洞中安置飞行器或其它物体模型，研究气体流动与模型的相互作用，从而了解实际物体的空气动力学特性。某次风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度方向的夹角为。求： （1）小球从O点运动到P点的时间t； （2）小球运动到P点时的速度大小v； （3）小球从O点运动到P点的位移大小L。 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化2：抛体运动的规律及其分析 【考点归纳】 考点1 平抛运动的基本规律 1 考点2 与斜面有关的平抛运动 3 考点3 斜抛运动 4 【题型归纳】 题型1：平抛运动速度的计算 5 题型2：平抛运动位移的计算 12 题型3：速度偏转角与位移偏转角 12 题型4：速度反向延长线的特点 20 题型5：飞机投弹问题 30 题型6：平抛运动中追及相遇问题 39 题型7：与曲面结合的平抛运动 46 题型8：斜面上上的平抛运动 54 题型9：斜抛运动 63 【考点归纳】 考点1 平抛运动的基本规律 1. 平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2. 平抛运动的规律 （1）规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） （2）水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， （3）竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， （4）平抛运动的轨迹：是一条抛物线 （5）合速度：大小：即， （6）方向：v与水平方向夹角为，即 （7）合位移：大小：即， （8）方向：S与水平方向夹角为，即 （9） 两个推论： ①做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. ②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 3. 对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间，可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 4. 小结：平抛运动的分解方法与技巧 （1）如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度. （2）如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移. （3）两种分解方法： ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动. 考点2 与斜面有关的平抛运动 1. 沿着斜面平抛 （1）斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ，v0 θ( )α )α y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 （2）斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 2. 垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 v0 )θ H H-y x 3. 撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 考点3 斜抛运动 1. 运动规律 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 （2）水平位移； （3）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 （4）任意时刻的速度和位移分别是 2. 轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 o V0x X 3. 对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 4. 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 ③斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 【题型归纳】 题型1：平抛运动速度的计算 1．（24-25高三上·云南昆明·期中）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则下列说法正确的是（　　） A．青蛙跳到荷叶a上和荷叶b上的初速度相等 B．青蛙跳到荷叶a上和荷叶c上的初速度相等 C．青蛙跳到荷叶c上的初速度最小 D．青蛙跳到荷叶d上的初速度最大 【答案】C 【详解】A．根据平抛运动规律可知 ， 联立解得 可知青蛙跳到荷叶a上的初速度小于跳到荷叶b上的初速度，故A错误； B．由于水平位移一样，荷叶c的高度差大，所以青蛙跳到荷叶a上的初速度大于跳到荷叶c上的初速度，故B错误； C．青蛙跳到荷叶c的高度差最大，水平位移最小，所以青蛙跳到荷叶c上的初速度最小，故C正确； D．青蛙跳到荷叶b的高度差最小，水平位移最大，所以青蛙跳到荷叶b上的初速度最大，故D错误。 故选C。 2．（2024·辽宁鞍山·一模）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示 网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有 解得 若网球恰不触网，则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 因与为相似三角形，则有 因、，可得 则发球机有效发球时发出网球的最小速率为 故选A。 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）一个物体以初速度水平抛出，经过一段时间t后其速度方向与水平方向夹角为60°，若重力加速度为g，则t为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】物体做平抛运动，根据速度分解有 解得 故选D。 4．（23-24高一下·广东惠州·期中）如图所示，在水平地面上放置一边长为0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面内绕A点转，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面打至侧壁不再弹起，水的密度为1.0×103kg/m3，则（　　） A．水在空中运动时间的最大值为0.4s B．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面 C．空中运动的水的质量最大值为0.8kg D．若保持θ不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长一定逐渐缩短 【答案】A 【详解】AB．根据平抛知识，如果全都落在水平面上，则在竖直方向上 水平方向上 求得 ， 而由几何关系可知 所以不是所有方向喷出的水都能达到DCGH或CGFB侧面，水在空中运动时间的最大值为，故A正确，B错误； C．水的流量为 空中运动的水的质量最大值为 故C错误； D．若保持与AD边一个较小的角或者与AB边一个较小的角不变，使喷出的水打到侧面一个较高位置处，则随着液面上升，水在空中运动的时长先不变，然后再减小，故D错误。 故选A。 5．（23-24高一下·新疆·期末）沙滩排球是风靡全世界的一项体育运动。某次比赛中，运动员将排球（视为质点）水平拍出，拍出点距水平地面的高度为，落地点与拍出点间的水平距离为。重力加速度大小为，不计空气阻力。该排球被拍出时的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意有 ， 联立，解得 故选A。 6．（23-24高一下·辽宁·期末）如图所示，竖直固定靶上端为O点，线段MNO垂直于靶面，N位于M、O两点的中点。某同学在练习飞镖时，第一次从M点水平抛出的飞镖，击中O点正下方的P点，；第二次从N点水平抛出的飞镖，击中O点正下方的Q点，。若飞镖在M点的初速度为v，飞镖在N点的初速度为（　　） A． B． C． D．v 【答案】A 【详解】设，第一次从M点水平抛出的飞镖，击中O点正下方的P点，根据平抛运动规律有 ， 第二次从N点水平抛出的飞镖，击中O点正下方的Q点，根据平抛运动规律有 ， 联立可得飞镖在N点的初速度为 故选A。 7．（23-24高一下·海南海口·期末）如图所示，投掷飞镖时靶盘竖直放置，将飞镖沿水平方向正对靶心掷出，经0.25s飞镖射中靶心正下方的某点。已知飞镖掷出前距靶心的水平距离为3.0m，飞镖可视为质点，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．以地面为参考系，飞镖在空中做变加速曲线运动 B．飞镖掷出时速度的大小为12m/s C．为使飞镖命中靶心，可适当减小飞镖的质量 D．为使飞镖命中靶心，可适当增大掷出时的速度 【答案】B 【详解】A．以地面为参考系，飞镖在空中做匀变速曲线运动，因为平抛运动的加速度等于重力加速度，A错误； B．飞镖掷出时速度的大小为 B正确； C．为使飞镖命中靶心，不能适当减小飞镖的质量，因为飞镖的运动与质量无关，C错误； D．为使飞镖命中靶心，不能适当增大掷出时的速度，因为飞镖在竖直方向做自由落体运动，一定命中靶心的下方。为使飞镖命中靶心，可以适当提高抛出点的高度，D错误。 故选B。 8．（23-24高一下·福建泉州·期末）“投壶”是古代盛行的一种投掷游戏．如图，姐弟俩先后在同一地点将相同的箭水平掷出，投进了同一个壶里。已知姐姐的出手点在弟弟出手点的正上方，不计空气阻力，则姐姐投出去的箭与弟弟投出去的箭相比（    ） A．位移较小 B．飞行时间较短 C．初速度较小 D．初速度较大 【答案】C 【详解】A．姐弟俩先后在同一地点将相同的箭水平掷出,已知姐姐的出手点在弟弟出手点的正上方,则由几何关系可知，在水平位移相同，姐姐的竖直位移较大，则位移为 即姐姐的箭位移较大，故A错误； B．根据竖直分运动为自由落体运动可知，其飞行时间为 则姐姐的箭飞行时间较长，故B错误； CD．由水平分运动为匀速直线运动，有 水平位移相同，姐姐的箭飞行时间较长，则初速度较小，故C正确，D错误。 故选C。 题型2：平抛运动位移的计算 9．（23-24高一下·青海·期末）如图所示，某同学取水时，发现水平细水管到水平地面的高度恰好为水桶高的两倍。在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则水从细水管出水口到桶口中心的时间与从桶口中心落到A点的时间之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设桶高h，则水平细水管到水平地面的高度为2h，根据 可得水平细水管到水平地面的时间为 水平细水管到桶口的高度为h，则根据 解得 则水从细水管出水口到桶口中心的时间与从桶口中心落到A点的时间之比为 故选B。 10．（21-22高一下·广西柳州·阶段练习）游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距高度为h，如图所示，不计空气阻力。关于两枪射出子弹的初速度大小，下列说法正确的是（　　） A．甲枪射出的子弹初速度较大 B．乙枪射出的子弹初速度较大 C．甲枪射出的子弹运动的时间较长 D．甲、乙两枪射出的子弹运动的时间相等 【答案】A 【详解】由题图可以看出，子弹射出后到打到靶上的过程中，竖直方向的位移关系是 由 得 由 可以得出 故选A。 11．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）乒乓球运动是我国喜闻乐见的体育运动，所有人都可以通过乒乓球运动来锻炼身体。某同学在一次乒乓球练习中，以大小为的初速度将乒乓球水平击出，乒乓球在空中形成一段抛物线，乒乓球在点的速度方向与水平方向成角，运动到点时速度方向与水平方向成角，取重力加速度大小，不计空气阻力，则乒乓球从A点运动到B点的竖直位移大小为（　　） A．0.1m B．0.4m C．0.45m D．0.9m 【答案】B 【详解】分解乒乓球在A、B两点的速度，可得 ， 根据 可得 故选B。 12．（23-24高一下·广西贵港·期中）学习了平抛运动后，周末小李约小张到射箭馆里体验射箭。小李和小张两人沿水平方向各自射出一支箭，箭头插入箭靶时与水平面的夹角分别为37°和53°，分别如图甲，乙所示。两支箭在竖直方向下落的高度相同，取，，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小李和小张射出的箭在空中运动的时间之比为4:3 B．小李和小张到箭靶的距离之比约为4:3 C．小李和小张射出的箭插入箭靶时的速度大小之比为4:3 D．小李和小张射出的箭在空中运动的位移大小之比为1:1 【答案】C 【详解】A．两支箭在竖直方向下落的高度相同，根据 解得 可知，箭在空中运动的时间之比为1:1，故A错误； B．在水平方向有 解得 故B错误； C．箭插人箭靶时的速度大小 解得 故C正确； D．结合上述可知，竖直分位移相等，水平方向分位移甲的大于乙的，根据 可知，两小李和小张射出的箭在空中运动的位移大小之比大于1:1，故D错误。 故选C。 13．（23-24高一下·山东潍坊·期中）如图在水平地面上放置一边长为0.45m的正方体水箱，一水管可在abcd面内绕a点转动（）。已知出水口截面积为，出水速率为2.0m/s，水的密度，不计水管管口长度及一切阻力，水落至液面或打至侧壁不再弹起，已知重力加速度为，则水沿各方向射出时（　　） A．水柱都能打到竖直侧壁上 B．水在空中运动时间的最大值为 C．空中运动的水的质量最大值为6kg D．若保持不变，则随着液面上升，水在空中运动的时间一定变短 【答案】C 【详解】AB．根据平抛知识，如果全都落在水平面上，则在竖直方向上 水平方向上 解得 ， 由几何关系可知 所以不是所有方向喷出的水都能打到竖直侧壁上。水在空中运动时间的最大值为0.3s，故AB错误； C．水的流量为 空中运动的水的质量最大值为 故C正确； D．若保持与ad边一个较小的角或者与ab边一个较小的角不变，使喷出的水打到侧面一个较高位置处，则随着液面上升，水在空中运动的时长先不变，然后再减小，故D错误。 故选C。 14．（23-24高一下·湖北咸宁·阶段练习）如图，某一小球以的速度水平抛出，在落地之前经过空中两点，在点小球的速度与水平方向的夹角为，在点小球的速度与水平方向的夹角为，空气阻力忽略不计，取，下列说法正确的是（　　） A．小球经过到达点 B．在B点的速度为 C．小球从A点运动到B点的时间为 D．之间的水平距离为 【答案】C 【详解】A．在点，根据抛体运动的规律有 A错误； B．同理在点有 解得 B错误； C．在点有 在点有 解得 小球从点运动到点的时间 C正确； D．根据上述分析，两点间的水平距离为 D错误。 故选C。 15．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）如图所示，一小球对准竖直墙壁上的P点水平射出，由于重力作用打在瑞壁上的Q点，P、Q两点之间的距离h=1.25m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s，小球射出时的速度v0=40m/s，求： (1)抛出点到P点的距离x； (2)小球打到Q点时的速度vQ。 【答案】(1) (2)，与水平方向夹角的正切值为 【详解】（1）小球在空中做平抛运动，竖直方向有 解得 水平方向有 （2）小球打到Q点时的竖直分速度大小为 则小球打到Q点时的速度大小为 与水平方向夹角的正切值为 16．（23-24高一下·甘肃兰州·阶段练习）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现质量为60 kg的某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得a、b间的距离L=40 m，斜坡与水平方向的夹角为θ=30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求∶ (1)运动员从a点水平飞出时的速度大小； (2)运动员在飞行过程中，何时离斜坡最远？最远距离是多少？ 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）依题意，运动员在空中做平抛运动，竖直方向有 代入数据，解得运动员在空中运动时间为 水平方向 解得运动员初速度为 （2）将与g向平行斜面方向与垂直斜面方向分解，当运动员垂直斜面方向的速度减为0时高斜面最远，如图 则有 在垂直斜面方向上，速度减为0时高斜面最远，有 解得 最远的距离就是在垂直斜面方向上，速度减为0的位移 题型3：速度偏转角与位移偏转角 17．（22-23高一下·四川攀枝花·期末）从同一竖直线上的不同位置水平抛出P、Q两小球，分别经时间tP、tQ后落在水平地面上的同一点，且有tP=2tQ。若P、Q两小球抛出时的速度用vP、vQ表示，下落的高度用hP、hQ表示，落地时的速度与水平方向的夹角用、表示，从抛出到落地的位移用、表示，不计空气阻力，则下列关系中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．小球在空中做平抛运动，竖直方向有 又，则有 由题意可知两球做平抛运动水平位移相等，根据 则两小球抛出时的速度关系为 故AB错误； D．小球从抛出到落地的位移大小为 由于，，则有 故D错误； C．小球落地时的速度与水平方向的夹角正切值为 则有 故C正确。 故选C。 18．（23-24高一下·吉林四平·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60° 【答案】D 【详解】A．根据 B小球竖直位移最大，时间最长，A、C两个小球竖直位移相等，时间相同，故A错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，时间相同，根据 C小球抛得最远，A小球抛得最近，故平抛初速度满足 故B错误； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故C错误； D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，则 速度与水平方向夹角大于60°，故D正确。 故选D。 19．（22-23高一下·吉林延边·阶段练习）如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球水平抛出时的初速度大小为 B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度减小，则增大 【答案】D 【详解】A．小球落地时竖直方向的速度 根据题意可得 解得 故A错误； B．设在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为，根据平抛运动的推论 可知 故B错误； C．竖直方向高度不变，根据 可得 若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变。故C错误； D．根据 可知若小球初速度减小，则增大，故D正确。 故选D。 20．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）某物体做平抛运动时，它的速度偏向角（速度与水平方向的夹角）的正切值随时间变化的图像如图所示（取），则下列说法不正确的是（　　） A．物体的平抛初速度的大小为 B．第物体下落的高度为 C．第末物体的位移偏向角（位移与水平方向的夹角）为 D．前内物体的速度变化量的大小为 【答案】A 【详解】A．由平抛运动规律 由图可知斜率为 联立解得 故A错误，符合题意； B．第1s内物体下落的高度 故B正确，不符合题意； C．第2s末物体下落的高度为 第2s末物体的水平位移为 则有 第末物体的位移偏向角（位移与水平方向的夹角）为 故C正确，不符合题意； D．前3s内物体的速度变化量可以看成是水平方向的速度变化量与竖直方向速度变化量的矢量和，而水平方向的速度变化量为0，所以前3s内物体的速度变化量即为竖直方向速度变化量 故D正确，不符合题意。 故选A。 21．（多选）（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）如图为湖边一倾角为的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石块，已知，重力加速度，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）。 A．若，则石块一定落入水中 B．若，则石块不可以落入水中 C．若石块能落入水中，则越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与无关 【答案】ABD 【详解】AB．小石块恰好到达点O时，有 解得 所以当，则石块一定落入水中，，则石块不可以落入水中，故AB正确； C．若石块能落入水中，则有 时间t一定，越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小，故C错误； D．设速度方向与水平方向的夹角为，则 则为定值，速度方向与斜面的夹角也是定值，与v0无关，故D正确； 故选ABD。 22．（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的水平距离为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 【答案】AB 【详解】AB．设乒乓球被击出时的初速度大小为v0，乒乓球被击出后做平抛运动，恰好经过网上边沿的c点，设所用时间为t，则有 ， 解得 设球落在球台上的时间为t1，落点与击出点之间的水平距离为l，则有 ， 解得 故AB正确； C．球在竖直方向做自由落体运动，在落点d处竖直方向的速度为vy，落点d处速度方向与水平方向的夹角为θ，则有 ， 解得 故C错误； D．若保持击球高度不变，且垂直MN击打乒乓球，当球恰好不出界时，则平抛运动的速度为 但若只限定在b点水平击出，则水平位移的最大值应该是a点与P或Q的连线，大于2L，因此最大速度应该大于v，而平抛运动的最小速度为 故D错误。 故选AB。 23．（23-24高一下·四川达州·期末）愤怒的小鸟是曾经风靡全球的2D画面游戏，该游戏是通过调节发射小鸟的力度与角度达到轰击肥猪堡垒的目的，现简化为右图模型：假设小鸟从离草地高度h=12.8m处用弹弓以水平抛射，恰好击中肥猪的堡垒（将小鸟和肥猪堡垒均视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2），求： （1）小鸟击中肥猪堡垒时速度的大小和方向； （2）若击中肥猪堡垒前小鸟经过位置A时速度与竖直方向夹角，则小鸟从位置A到肥猪堡垒所用的时间。 【答案】（1），方向与水平方向的夹角为；（2） 【详解】（1）小鸟做平抛运动，竖直方向有 可得小鸟击中肥猪堡垒时竖直分速度为 则小鸟击中肥猪堡垒时的速度大小为 设速度的方向与水平方向的夹角为，则有 可得 （2）小鸟从抛出到击中肥猪堡垒所用时间为 若击中肥猪堡垒前小鸟经过位置A时速度与竖直方向夹角，则小鸟在位置A时，有 解得小鸟在位置A时的竖直分速度为 则小鸟从抛出到位置A所用时间为 则小鸟从位置A到肥猪堡垒所用的时间为 24．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图甲所示，竖直墙面悬挂一个直径的飞镖盘（厚度不计），盘的下边缘离地，小明同学在距离墙面的水平地面上方处将飞镖水平抛出，不计空气阻力，。 （1）若要飞镖射中飞镖盘，投掷的最小速度大小； （2）若某次飞人靶（或人墙）时情况如图乙所示，求飞抛出时的初速度大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）若要飞镖射中飞镖盘，当飞镖射中飞镖盘的下端时，投掷的速度最小，根据平抛运动规律，竖直方向有 解得 水平方向有 解得投掷的最小速度大小为 （2）若某次飞人靶（或人墙）时情况如图乙所示，设飞抛出时的初速度大小为，则有 右 联立解得 题型4：速度反向延长线的特点 25．（22-23高一下·吉林延边·阶段练习）如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 【答案】C 【详解】A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有 x=v0t 飞镖击中墙面的速度与竖直方向夹角的正切值为 联立，解得 α越大，v0越大，故有 vA0>vB0>vC0 故A错误； BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，可得飞镖击中墙面的速度 故 vA=vC＞vB 故B错误；C正确； D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点。故D错误。 故选C。 26．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB为水平直径，O为圆心，质量不等的甲、乙两个小球同时从A点水平抛出，速度分别为、，经时间、分别落在等高的C、D两点，OC、OD与竖直方向的夹角均为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量 D．落在D点的小球不可能垂直打在圆弧上 【答案】D 【详解】AB．根据几何关系可知，两小球下落高度相等，竖直方向有 可知两小球下落的时间相等，则有 水平方向有 又 ， 则有 故AB错误； C．根据 由于两小球下落的时间相等，则甲球的速度变化量等于乙球的速度变化量，故C错误； D．根据平抛运动推论可知，落在D点的小球速度方向反向延长线交水平位移的中点，由图可知交点一定位于圆心O点的左侧，所以落在D点的小球不可能垂直打在圆弧上，故D正确。 故选D。 27．（21-22高一下·江苏·开学考试）如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径。 有一小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，则小球（　　） A．初速度越大，运动时间越长 B．初速度不同，运动时间一定不同 C．落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向 D．落到轨道的瞬间，速度方向的反向延长线与水平直径的交点在O点的左侧 【答案】D 【详解】AB．平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大；初速度大小不同的小球下落的高度也可能相等，如碰撞点是关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，它们运动的时间却相等，故AB错误； C．若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则此时速度方向与水平方向的夹角是此时位移方向与水平方向夹角的2倍，但根据平抛运动推论可知：同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是此时位移与水平方向夹角正切值的两倍。由数学知识可知两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误； D．小球做平抛运动，根据平抛运动推论可知，落到轨道的瞬间，此时速度方向的反向延长线交于此时小球水平位移的中点，由于小球落在轨道上的水平位移小于水平直径AB，所以可推知速度方向的反向延长线与水平直径的交点一定在O点的左侧，故D正确。 故选D。 28．（20-21高一下·天津东丽·阶段练习）如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴以的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与轴相交于Q点，已知，则小球运动的时间为（　　） A．1s B．1.5s C．2.5s D．3s 【答案】D 【详解】根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向沿长线过其这段时间水平位移的中点，则有 解得小球运动的时间为 所以D正确；ABC错误； 故选D。 29．（多选）（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（    ） A．两只飞镖的抛出速度满足 B．两只飞镖击中墙面的速度满足 C．两只飞镖的运动时间一定相等 D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点 【答案】AD 【详解】A．设水平距离为，飞镖的初速度为，击中墙面的速度为，速度与竖直方向的夹角为，则有 联立解得 由于从同一位置O抛出，相同，所以有 故A正确； B．击中墙面的速度为 由于 则有 故B错误； C．竖直方向有 可得 可知两只飞镖的运动时间一定不相等，故C错误； D．根据任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水平总位移的中点，可知插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点，故D正确。 故选AD。 30．（多选）从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，三小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角分别为60°、45°、30°，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．落在a点的小球撞在墙面的速度最小 B．三个小球撞在墙面的速度一定满足关系式 C．落在c点的小球飞行时间最短 D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点 【答案】BD 【详解】C．三个小球的竖直位移大小关系为 根据可知 即落在a点的小球飞行时间最短，故C错误； D．三个小球的水平位移相同，a、b、c三点速度方向的反向延长线一定过水平位移的中点，故D正确； AB．令θ表示小球撞到竖直墙壁上的速度方向与竖直墙壁的夹角，x和h分别表示水平位移和竖直位移，则 小球撞在墙面的竖直分速度大小为 合速度大小为 联立以上三式可得 三个小球水平位移相同，代入数据后解得 故A错误，B正确。 故选BD。 31．（20-21高一下·河南·阶段练习）随着2022年北京冬奥会的临近，滑雪运动在我国受到人民群众的广泛欢迎。一名滑雪探险运动员从山坡上滑下，如图所示，这一段山坡由两段斜坡组成，靠近山顶的一段陡峭的斜坡倾角为53°，第二段连接坡底的斜坡倾角为37°，第一段和第二段山坡长度之比为，二者之间通过一段长度为的水平滑道平滑连接。运动员在坡顶由静止开始滑下，经过一段时间的运动，恰好落在坡底处。已知运动员质量为60kg，从飞离水平滑道到落到坡底经历的时间为3s，不计空气阻力，重力加速度取，，。求：从坡顶到坡底的竖直高度h和运动员从水平滑道飞出的速度大小。 【答案】15.75m，20m/s 【详解】由题知，运动员从坡顶滑下，脱离水平滑道后的运动为平抛运动，运动草图和落到坡底时的速度矢量图如图所示。 落到坡底时竖直方向的速度为 所以第二段山坡的高度为 因为 根据几何关系有 联立各式解得 所以得 由平抛运动知识知，运动员落到坡底时有 解得 32．（22-23高一下·黑龙江双鸭山·阶段练习）请尺规作图并结合必要文字证明： （1）平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。 （2）匀速圆周运动的向心加速度大小。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）作出平抛运动的轨迹图，如图所示，在轨迹上取一点A，作速度反向延长线，交于x轴于x＇，设A点速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方向夹角为θ，则有 可得 又有 则有 可得平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。 （2）作匀速圆周运动的轨迹图，如图所示，物体在A点的速度为vA，在B点的速度为vB，因vA和vB大小相等，可用v表示，由矢量合成的三角形定则，可得物体从A到B速度的变化量为 由于很小的时候可以表示物体的加速度，由图可看出几乎与vA、vB都垂直，其方向几乎沿圆周半径，指向圆心。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，很小时，夹角θ很小，θ用弧度表示时，弧长AB可表示为，在θ很小很小时，弧长近似等于弦长，因此可得 在时间内则有 由此可得 将上式代入加速度的定义式，并把代入，可得 题型5：飞机投弹问题 33．（2024·广东·模拟预测）为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破。飞机在河道上空高处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。投出的炸弹在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，设下落高度为h，时间为t，动能为Ek，机械能为E，加速度为a，速度与水平方向的夹角为θ，则下列能表示炸弹在空中运动过程中各物理量的变化图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．炸弹在空中做平抛运动，则有 所以tanθ~t图像为一条过原点的倾斜直线，故A正确； B．炸弹运动过程中只受重力，加速度为重力加速度，保持不变，故B错误； C．运动过程中炸弹的动能为 由此可知，Ek~h图线为一条倾斜直线，故C错误； D．运动过程中炸弹只受重力，只有重力做功，炸弹的机械能守恒，即机械能E不随高度h变化，故D错误。 故选A。 34．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示，一轰炸机模型沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方15m时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A．忽略空气阻力的影响，重力加速度 g取 10 m/s2，山坡倾角为θ=45°，则该模型的初速度大小为（    ）    A．20 m/s B．15 m/s C．10 m/s D．5m /s 【答案】C 【详解】轰炸机的飞行高度为H=15m，设炸弹的飞行时间为t，初速度为v0，A点的高度为h，则炸弹的水平位移为 x= v0t 竖直方向有 垂直击中山坡上的目标A，则根据速度的分解有 根据几何关系可知 代入数据解得 v0=10m/s 故选C。 35．（22-23高一上·安徽·期中）疫情期间，某小区用无人机投送小型急救包，无人机在离地高度以恒定速度向目标位置匀速水平飞行，在离目标位置水平距离为时投送急救包，结果急救包刚好落到目标位置，若无人机飞行高度降为，飞行速度不变，要使急救包也刚好落到目标位置，无人机投送急救包时的位置离目标位置水平距离为（不考虑空气阻力的影响）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】无人机在离地高度时，落地的时间 飞行速度 无人机在离地高度时，落地的时间 要使急救包也刚好落到目标位置，无人机投送急救包时的位置离目标位置水平距离为 故选C。 36．（22-23高一下·安徽淮北·阶段练习）如图所示，距离水平地面高为h的飞机沿水平方向做匀加速直线运动，从飞机上以相对地面的速度v0依次从a、b、c水平抛出甲、乙、丙三个物体，抛出的时间间隔均为T，三个物体分别落在水平地面上的A、B、C三点，若，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．三个物体在空中运动的时间关系为 B．飞机的加速度为 C．物体乙刚离开飞机时飞机的速度为 D．三个物体在空中运动时总在一条竖直线上 【答案】B 【详解】A．物体甲在空中做平抛运动，在竖直方向上有 解得 甲、乙、丙三个物体在空中用时相等，选项A错误； B．，由Δx＝aT2可得 a＝ 选项B正确； C．物体乙刚离开飞机时，飞机的速度为v，等于a、c之间的平均速度，则 选项C错误； D．三个物体在空中运动时，虽然水平速度相同，但飞机在加速，后抛出的物体在T时间内的水平位移大于先抛出的物体，后抛出的物体在先抛出的物体的前方，所以三个物体在空中运动时并不在一条竖直线上，选项D错误。 故选B。 37．（20-21高一下·陕西渭南·阶段练习）如图所示，一架在2000m高空以250m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别轰炸图中两个目标A和B。已知两目标在同一水平面上，之间水平距离为800m。若不计空气阻力，取，下列说法正确的是（　　） A．飞机在目标A的正上方时投第一枚炸弹 B．飞机两次投弹的时间间隔为3.2s C．飞机两次投弹相距1000m D．飞机与目标B的水平距离为4000m时投第二枚炸弹 【答案】B 【详解】A．飞机在目标A的正上方时之前投第一枚炸弹，A错误； B．飞机两次投弹的时间间隔 B正确； C．飞机两次投弹相距 C错误； D．炸弹平抛的时间为，由 得 投第二枚炸弹，飞机与目标B的水平距离 D错误。 故选B。 38．（2022高三·全国·专题练习）如图所示是消防车利用云梯（未画出）进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H=40m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h=20m的楼层，其水平射出的水的初速度在5m/s≤v0≤15m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则（　　） A．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40m B．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10m C．如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15m，则射出水的初速度最小为5m/s D．若该着火点高度为40m，该消防车仍能有效灭火 【答案】B 【详解】AB．出水口与着火点之间的高度差为 又 解得 又 因此出水口与着火点的水平距离x的范围 故B正确，A错误； C．如果出水口与着火点的水平距离不能小于15 m，则最小出水速度为7.5 m/s，故C错误； D．如果着火点高度为40 m，保持出水口水平，则水不能到达着火点，故D错误。 故选B。 39．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图所示，一架直升机现需要将机舱内两箱物资（均可视为质点）分别准确地投送（物资放出时与直升机相对静止）至位于山脚、山顶的A、B两处，直升机在距水平地面高为H=180m的空中水平向右匀速飞行，在飞行至与A处水平距离为x1=180m的位置时，从舱内放出第一箱物资恰好能落到A处，此后继续保持原速飞行到适当的位置从舱内放出第二箱物资恰好能落到B处。已知山顶B处到水平地面的高度为h=135m，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。 （1）求直升机在空中匀速飞行的速度大小v； （2）为保证第二箱物资能准确落到B处，求从舱内放出第二箱物资时直升机与B处间的水平距离x。 【答案】（1）；（2）90m 【详解】（1）物资投放后做平抛运动，在竖直方向有 可解得第一箱物资投放后在空中飞行的时间为 水平方向做匀速直线运动，有 解得 （2）设第二箱物资从投放到落到B处，在空中飞行的时间为t1，在竖直方向有 代入数据解得 则第二箱物资投放时飞机与B处的水平距离 解得 x=90m 40．（22-23高一下·安徽滁州·期末）在一次军事演习中，距地面高处的飞机以的水平速度投下一颗炸弹，轰炸地面目标，若不计空气阻力，（），求： （1）炸弹落地所用的时间； （2）飞机投下炸弹时距目标的水平距离； （3）若在飞机投下炸弹的同时在地面上点处恰好竖直向上发射了一颗炮弹，并击中炸弹，已知炮弹的发射点与炸弹投掷点的水平距离为，则发射炮弹的速度为多少。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】根据得 （2）水平方向上炸弹做匀速直线运动，故飞机投下炸弹时距目标的水平距离为 拦截到炸弹时所经历的时间 则有 解得 题型6：平抛运动中追及相遇问题 41．甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置上，甲比乙高。将甲、乙两球以水平速度v1、v2沿同一方向平抛，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（　　） A．甲先抛出，且v1＜v2 B．甲先抛出，且v1＞v2 C．甲后抛出，且v1＜v2 D．甲后抛出，且v1＞v2 【答案】A 【详解】设乙球击中甲球时，甲球下落高度为h1，乙球下落的高度为h2，设甲球平抛运动的时间为 乙球平抛运动的时间为 由题可知 h1＞h2 则得 t1＞t2 故要使乙球击中甲球，必须使甲比乙早抛出。相遇时两球的水平位移相等，则有 则得 v1＜v2 故选A。 42．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）A和B两质量相等的小球，从同一水平直线上的两位置分别沿同方向水平抛出，其运动轨迹是抛物线，如图所示，不计空气阻力，两球在空中相遇，下列说法正确的是（　　） A．相遇时A球速度一定小于B球速度 B．相遇时A、B两球的动能一定相等 C．A小球必须先抛出 D．相遇时A和B两小球重力的功率一定相等 【答案】D 【详解】C．由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移h相同，由 可以判断两球下落的时间相同，即应同时抛出，故C错误； A．根据 可知，相遇时A、B两球竖直分速度相等；两球在水平方向上做匀速直线运动，根据 因为A球的水平位移大，下落时间相等，所以A球的初速度大，则相遇时的速度大小为 可知，相遇时A球速度一定大于B球速度，故A错误； B．根据 相遇时A球速度一定大于B球速度，AB球的质量相等，所以相遇时A球动能一定大于B球动能，故B错误； D．重力的功率为 相遇时A和B两小球竖直分速度相同，两球质量相等，所以相遇时A和B两小球重力的功率相等，故D正确。 故选D。 43．（2024·浙江温州·三模）如图所示，将两小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5s水平相向抛出，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点，并在同一竖直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）    A．A处比B处高1.25m B．若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇 C．若已知B处高度和沙包b的下落时间，可求出A、B的水平距离 D．若已知A处高度和沙包a的初速度，可求出A、B的水平距离 【答案】D 【详解】A．设沙包a下落时间为，则沙包b下落时间为，处比处高为 由此可知 故A错误； B．根据平抛运动的轨迹可知，在落地前两沙包不会相遇，故B错误； CD．由于速度方向与竖直方向夹角相等，则 、的水平距离为 由此可知，需要已知沙包的下落时间和初速度，平抛运动的下落时间与高度有关，故C错误；D正确。 故选D。 44．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现将两个小球在两点，分别以的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点，已知，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．两球抛出的速度大小之比为 B．若仅增大，则两球将在落入碗中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上同一点，两球抛出的速率之和就不变 D．若仅从点水平抛出小球，无论如何改变小球抛出的速度，都不可能垂直打在碗上 【答案】C 【详解】A．由几何知识可知，M的水平位移 N的水平位移 由于二者在空中运动时间相等，所以二者的水平速度之比就等于其水平位移之比，即 A正确； B．若仅增大，水平运动看相遇时间变短，竖直方向上的位移会变小，故还没落在圆弧上，两小球可能在空中相遇，B正确； C．要使两小球落在圆弧的同一点上，则有 即 落点不同，竖直方向上的位移不同，故运动时间不同，所以不是定值，C错误； D．如果能够垂直落入坑中，速度反向延长线应过圆心，水平位移应为，应打到点，但由平抛运动知识可知，小球不可能打到点，D正确。 本题选择不正确的，故选C。 45．（23-24高三下·云南·阶段练习）如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1的初速度大小为，方向水平，谷粒2的初速度大小为，方向与水平方向之间的夹角为37°。忽略空气阻力，重力加速度为g，取。谷粒2从O点运动到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设谷粒1、谷粒2从点运动到点的时间分别为，根据运动的合成和分解，对谷粒1有 对谷粒2有 由以上各式解得 故选C。 46．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，将球甲从高为H处以速度水平抛出，同时将球乙从水平地面以的初速度竖直上抛，两球在空中相遇。不计空气阻力，忽略两球的大小，重力加速度为g，则（　　） A．乙在下降中遇到甲 B．相遇点离地高度为 C．从抛出到相遇的时间为 D．抛出时，两球之间的水平间距为 【答案】AD 【详解】AC．由题意可知，若两物体在空中能够相遇，则在竖直方向应满足 则相遇时间为 乙上升时间为 由于 所以在乙下降过程中相遇，故A正确，C错误； B．相遇点离地高度为 故B错误； D．抛出时，两球之间的水平间距为 故D正确。 故选AD。 47．（23-24高一下·辽宁·期中）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球以速度大小为v竖直向上抛出。在球上升到最高点时恰与球相遇，不计空气阻力。则在这段过程中，下列说法中正确的是（    ） A．两球的速度变化量大小相同 B．两球的相遇点在N点上方处 C．相遇时小球的速度方向与水平方向夹角为 D．M、N间的距离为h 【答案】AD 【详解】A．两球加速度均为重力加速度，则相同时间内速度变化量大小相同，故A正确； C．两球相遇时间为 对于小球S1有 相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°，故C错误； B．相遇时，小球S1竖直方向的分位移大小为 小球S2竖直方向的位移大小为 可知相遇时两球竖直方向的分位移大小相等，则相遇点在N点上方处，故B错误； D．M、N间的距离为 又 则有 故D正确。 故选AD。 48．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）如图所示，在距地面2l的高空A处以水平初速度投掷飞镖，在与A点水平距离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度沿竖直方向匀速上升，在升空过程中被飞镖击中。飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和气球视为质点，已知重力加速度为g。求： （1）飞镖击中气球时，飞镖的速度大小； （2）是先掷飞镖还是先释放气球？两个动作之间的时间间隔应为多少？ 【答案】（1）；（2）先释放气球， 【详解】（1）飞镖被投掷后做平抛运动，从掷出飞镖到击中气球，经过时间 此时飞镖在竖直方向上的分速度 故此时飞镖的速度大小 （2）飞镖从掷出到击中气球过程中，下降的高度 气球从被释放到被击中过程中上升的高度 气球的上升时间 ，所以应先释放气球； 释放气球与掷飞镖两个动作之间的时间间隔 题型7：与曲面结合的平抛运动 49．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，每一级台阶的高为5cm，宽为15cm，某同学用发射器（忽略大小）从第1级台阶边缘向右水平弹射一个可以看作质点的小球，要使小球能落到第4级台阶上（小球没有与台阶顶点接触），取重力加速度为，则弹射速度v可能是（　　） A．2.5m/s B．2m/s C．1.5m/s D．1m/s 【答案】A 【详解】小球做平抛运动，当小球恰好落在第3级台阶右边缘时有 ， 解得 当小球恰好落在第4级台阶右边缘时有 ， 解得 可知，要使小球能落到第4级台阶上，弹射速度v的范围 可知，只有第一个选择项在上述范围内。 故选A。 50．（23-24高一下·云南昭通·期末）如图所示，以＝3m/s的速度水平抛出的小球，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ＝37°的斜面上，，以下结论中正确的是（　　） A．物体飞行时间是s B．物体飞行时间是0.4s C．物体下降的距离是1m D．物体撞击斜面时的速度大小为4m/s 【答案】B 【详解】AB．根据题意可知，小球垂直撞在斜面上，小球的速度方向如图所示 由几何关系可知，速度与水平方向的夹角为 根据平抛运动规律，水平方向上 竖直方向上 小球垂直撞在斜面上 解得 ， 故A错误，B正确； C．物体下降的距离是 故C错误； D．物体撞击斜面时的速度大小为 故D错误。 故选B。 51．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图所示，光滑斜面与水平面的夹角为，的长度为，在点正上方且与点等高的位置水平抛出一可看做质点的物体A，抛出的速度为，在物体A抛出的同时，在斜面的顶点处一可看做质点的物体B沿斜面无初速度下滑，重力加速度以下说法正确的是（　　） A．两物体一定能在斜面上相遇 B．两物体可能在斜面上相遇 C．物体A落在斜面上的时间为 D．物体A落在斜面上的时间为 【答案】C 【详解】CD．设物体A落在斜面上的时间为t，则有 解得 s或s（舍） 故C正确，D错误； AB．物体A落点到底端的距离为 m 物体B运动的位移为 m m<m 故两球不会相遇，故AB错误； 故选C。 52．（23-24高一下·河南郑州·期末）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的竖直高度差为20m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取。则下列说法错误的是（　　） A．运动员在A处的速度大小为 B．运动员在空中飞行的时间为2s C．运动员在空中离坡面的最大距离为 D．运动以从A到B速度变化量为10m/s 【答案】D 【详解】B．运动员做平抛运动，在竖直方向 解得 B正确； A．在水平方向 则水平速度为 A正确； C．运动员沿斜面方向的分加速度为 在垂直斜面方向的分加速度为 当运动员运动方向与斜面平行时，离斜面最远。此时垂直斜面方向的分速度为零，可得，运动员离斜面最远为 其中 解得 C正确； D．运动以从A到B速度变化量为 D错误。 本题选择错误的，故选D。 53．（多选）（23-24高一下·河南·期末）跳台滑雪需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图所示。已知运动员（可视为质点）从A点水平飞出的速度，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力，，，，下列说法正确的是（　　） A．运动员从飞出至落在斜面上的位移大小为75m B．运动员落在斜面上的速度大小为30m/s C．经过1.5s运动员离斜面最远 D．运动员离斜面的最远距离为9m 【答案】ACD 【详解】A．运动员从A点到B点做平抛运动，水平方向 竖直方向 又有 代入数据解得 ，， 运动员从飞出至落在斜面上的位移大小 故A正确； B．运动员落在斜面上时速度的竖直分量 运动员落到斜面上时的速度大小 故B错误； C．如图 设运动员在C点距离斜面最远，此时合速度方向与斜面平行，则 解得 故C正确； D．将物体的速度和加速度沿斜面和垂直斜面分解，在垂直于斜面的方向上，速度减为0时距离斜面最远，最远距离 故D正确。 故选ACD。 54．（多选）（23-24高一下·甘肃·期末）如图所示，为某滑雪爱好者滑雪的画面，已知滑雪坡的倾角为，该滑雪爱好者从滑雪坡的顶端O点以初速度水平滑出，在斜坡上A点落地，在空中飞行的时间为，不计一切阻力，滑雪爱好者可视为质点，g取，则（    ） A． B． C．OA的长度为 D．OA的长度为75m 【答案】BD 【详解】滑雪爱好者的运动为平抛运动，水平方向 竖直方向 代入数据解得 故选BD。 55．（23-24高一下·安徽·阶段练习）2023年12月2日，苏翊鸣参加了在首钢大跳台举行的2023至2024赛季国际雪联滑雪大跳台世界杯，并夺得男子单板大跳台冠军。如图为可视为质点的运动员在训练时的情景：运动员穿着专用滑雪板，在滑雪道上获得速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后恰好在山坡底端B点着陆，如图所示。已知山坡可看成倾角为的斜面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求： (1)运动员落在B点时速度与水平方向夹角的正切值； (2)运动员从A点到与斜面距离最大时所用的时间及与斜面的最大距离。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据题意，设运动员在空中飞行的时间为t，水平方向上有 竖直方向上有 又有 设运动员落地时速度与水平方向夹角为，则 （2）运动员速度方向与斜面平行时距离斜面最远 ， 解得 将运动员速度沿斜面方向与垂直斜面方向分解有 ， 距斜面的最大距离 56．（23-24高一下·广西防城港·期末）如图所示，正在斜坡上玩耍的小猴子遇到了危险，在高处的母猴纵身一跃去救小猴子，最终落在小猴子前面的M点处。已知斜坡与水平面的夹角，母猴跳离前的位置O点与M点的竖直高度，母猴的初速度沿水平方向，落在M点时速度方向与斜坡的夹角，不计空气阻力，取重力加速度大小。求： （1）母猴在空中的运动时间t； （2）母猴落到斜面上时水平速度的大小，以及O、M之间的水平距离x。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）母猴做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有 解得 （2）母猴落到斜面上时，竖直方向的速度大小 落到斜面上时，速度方向与水平方向的夹角为 则母猴水平方向的速度大小 之间的水平距离 解得 题型8：斜面上上的平抛运动 57．（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 【答案】B 【详解】A．竖直方向上，根据 可得 可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为 故A错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，C小球抛得最远，A小球拋得最近，由x=vt知平抛初速度满足 故B正确； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误； D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系 速度与水平方向夹角大于60°，故D错误。 故选B。 58．（23-24高一下·四川绵阳·期中）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O。一小球（可视为质点）从与圆心等高的圆形轨道上的A点以速度水平向右抛出，落于圆轨道上的C点。已知OC的连线与OA的夹角为，重力加速度为，则小球从A运动到C的时间为（，）（　　） A．4s B．6s C．8s D．3s 【答案】A 【详解】小球抛出后做平抛运动，设圆形轨道的半径为R，竖直方向有 水平方向有 解得 故选A。 59．（23-24高一下·福建福州·期中）如图所示，、两个小球均从一个倾角为的斜面顶端以不同的初速度向右水平抛出，斜面与一个圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。则下列说法正确的是（　　） A．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，在空中运动时间不相同 B．若a、b两个小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，速度变化量相同 C．a、b两个小球分别落到斜面上不同位置时，速度方向不相同 D．若小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 【答案】B 【详解】A．平抛运动的时间由下落的高度决定，若小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，则小球平抛运动的时间相同，A错误； B．若小球分别落到斜面和圆弧面等高位置，平抛运动时间相同，两小球在空中的加速度相同，则速度变化量为 由此可知，两小球速度变化量相同，B正确； C．a、b两个小球分别落到斜面上不同位置时，根据平抛运动规律可知 斜面的倾角为位移偏转角，则 联立可得 设速度偏转角为，则有 由于两小球落在斜面上位移偏转角相等，即速度偏转角也相等，所以速度方向相同，C错误； D．小球落在圆弧面上使，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为，竖直位移为0，与平抛运动性质不符，D错误。 故选B。 60．（2019·山东滨州·二模）如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为，在轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（　　）    A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m） 【答案】C 【详解】小球做平抛运动，水平方向有 竖直方向有 球第一次打在曲面上的坐标为，有 解得 ，， 故球第一次打在曲面上的坐标为（1m，1m）。 故C正确。 61．（21-22高三下·河北·阶段练习）如图所示，直角坐标系的轴水平向右、y轴竖直向下，一挡板的曲线形状满足方程，现从坐标原点以速率竖直向上抛出小球甲，经过时间返回到坐标原点，再从坐标原点以速率水平向右抛出小球乙，经过一段时间落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g取，则为（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：4 D．1：6 【答案】C 【详解】由竖直上抛运动的规律可得 由平抛运动的规律 结合 综合可得 则有 选项C正确，ABD错误。 故选C。 62．（多选）（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为、，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球同时落到轨道上 B． C．乙球的速度变化量比甲球的大 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 【答案】AB 【详解】AC．由图可知，两个物体下落的高度是相等的，根据 又 可知甲乙两球下落到轨道的时间相等，甲乙两球下落到轨道的速度变化相等，故A正确，C错误； B．设圆形轨道的半径为，则甲水平位移为 乙水平位移为 可得 水平方向做匀速直线运动，则有 故B正确； D．设乙球在D点速度偏转角为，有 设乙球在D点位移偏转角为，有 可见 即在D点速度反向延长线平分水平位移，所以乙球在D点速度的反向延长线不过O点，故D错误。 故选AB。 63．（多选）如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处以初速度v0开始做平抛运动，小球可视为质点，飞行过程中的轨迹恰好与半圆轨道相切于B点。 O为半圆轨道的圆心，半圆轨道的半径为R，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球从抛出到运动至B点的飞行时间是（　　）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据 ， 得 或 故选AC。 64．（23-24高一下·湖北·开学考试）水平放置的圆柱体正上方有一点P，将一个小球从P点以沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，其飞行一段时间后，恰由Q点沿切线飞过，测得圆心O与Q的连线与OP的夹角为θ，试求： （1）小球从P运动到Q的时间t； （2）小球的初始位置P点到圆柱体最高点的高度H。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设小球在Q点时的速度为，在Q点竖直方向的速度为，如图所示 根据几何关系可得到Q点速度同水平方向夹角为，则 可得 小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动 ， 代入数据得 （2）平抛运动，在水平方向匀速运动 由几何关系 竖直方向位移 可得 小球距圆柱体的高度 联立可得 题型9：斜抛运动 65．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 【答案】D 【详解】ABC．根据题意可知，物体水平方向不受力，以做匀速直线运动，竖直方向上，由牛顿第二定律有 解得 竖直方向做匀加速直线运动，可知，物体做类平抛运动，则从运动到的轨迹是抛物线，竖直方向上有 解得物体从M运动到N的时间为 可知减小水平初速度，物体运动时间不变，故ABC错误； D．物体在水平方向做匀速直线运动，M与N之间的水平距离为 故D正确。 故选D。 66．（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示，光滑斜面ABCD为边长a=2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的时间为0.5s B．小球在B点的速度大小为2.5m/s C．小球在D点的速度大小为5m/s D．小球的速度变化量大小为10m/s 【答案】B 【详解】AB．对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得 解得 m/s2 方向沿斜面向下； 小球从B到D做类平抛运动，水平方向有 沿斜面向下方向有 联立方程解得 s，m/s 故A错误，B正确； C．沿斜面向下方向有 m/s 在D点的速度为 m/s 故C错误； D．速度的变化量为 m/s 故D错误。 故选B。 67．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，将小球从倾角为的光滑斜面上A点以速度水平抛出（即），最后从B处离开斜面，已知AB间的高度，g取，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球的加速度为 B．小球作平抛运动，运动轨迹为抛物线 C．小球到达B点时的速度大小为 D．小球从A点运动到B点所用的时间为 【答案】C 【详解】A．小球的加速度为 选项A错误； B．小球水平方向做匀速运动，沿斜面向下做匀加速运动，即小球做类平抛运动，运动轨迹为抛物线，选项B错误； CD．根据 解得小球从A点运动到B点所用的时间为 小球到达B点时沿斜面向下的速度 到达B点的速度大小为 选项D错误，C正确。 故选C。 68．（21-22高一下·四川南充·阶段练习）如图所示的光滑斜面长度为L，宽度为S，倾角为θ，某滑块（可视为质点）沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从斜面右侧的Q点离开斜面，Q点距离底端的距离为，已知重力加速度为g。则（　　）    A．滑块由P点至Q点做变加速曲线运动 B．滑块由P点至Q点做匀变速曲线运动，且加速度大小为gcosθ C．滑块由P点至Q点的运动时间为 D．滑块的初速度大小为 【答案】D 【详解】AB．滑块由P点至Q点，依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小、方向恒定不变，则滑块做匀变速曲线运动；根据牛顿第二定律得，滑块的加速度大小为 故AB错误； CD．滑块由P点至Q点，沿斜面向下方向，有 解得 沿初速度方向有 解得 故C错误，D正确。 故选D。 69．（20-21高一下·四川达州·期末）如图所示，特技演员平时训练有这样一个高难度科目：有一条结实的绳子一端栓在高度差为m的AB两楼顶上，绳子绷直，使其与水平面夹角，演员现从A楼顶下方m的窗台上以速度v水平飞跃而出，如果能抓住绳子，则v至少为（忽略空气阻力，特技演员视为质点，）（　　） A． B． C． D．5m/s 【答案】C 【详解】以速度v水平飞跃而出，如果能抓住绳子，则水平方向位移为 竖直方向位移为 由几何关系可知 联立解得 则当h1=5时，v有最小值。 故选C。 70．（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是（　　）    A．t1＞t3＞t2 B．t1=t1′、t2=t2′、t3=t3′ C．t1′＞t2′＞t3′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′ 【答案】AB 【详解】第一种情况：b球做自由落体运动，a、c做匀加速运动。设斜面的高度为h，对a球 对b球 对c球 由数学知识得 t1＞t3＞t2 第二种情况：a、c两个球都做类平抛运动，沿斜面向下方向都做初速度为零的匀加速直线运动，a的加速度为gsin30°，c的加速度为gsin45°，b球做平抛运动，则有，对a球 对b球 对c球 比较可知 t1=t1′ t2=t2′ t3=t3′ AB正确，CD错误。 故选AB。 71．（23-24高一下·广东深圳·期末）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。 （1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向； （2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。 【答案】（1），速度方向与水平方向夹角为；（2）15m 【详解】（1）当时，小球做平抛运动，水平方向有 解得 竖直分速度为 小球撞击右壁的速度大小 令速度与水平方向夹角为，则有 ， （2）结合上述，当时，小球做平抛运动，竖直方向的分位移 解得 当时，根据牛顿第二定律有 小球做类平抛运动，则有 ， 解得 则小球撞击右壁的区域长度 72．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）风洞试验主要采用人工的方式产生并且控制气流，在风洞中安置飞行器或其它物体模型，研究气体流动与模型的相互作用，从而了解实际物体的空气动力学特性。某次风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度方向的夹角为。求： （1）小球从O点运动到P点的时间t； （2）小球运动到P点时的速度大小v； （3）小球从O点运动到P点的位移大小L。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设小球运动到点时的速度大小为之间的距离。以点为坐标原点、初速度方向为轴正方向、风力方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示 沿方向有 沿风力方向 又有 联立解得 （2）小球运动到点时 小球运动到点时的速度大小 解得 （3）之间的距离 解得 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$