专题05：水平面内圆周运动的临界问题-2024-2025学年高中物理同步练习分类专题教案（人教版2019必修第二册）

第六章 圆周运动 专题强化练5　水平面内圆周运动的临界问题 题组一　以弹力改变为临界条件的问题 1.(2024山东临沂期中)如图所示，一质量为m的小球用两个长度均为L的轻质细绳系着，两根绳另一端分别固定在竖直转轴上的a、b两点，a、b两点之间的距离也为L。当转轴以一定角速度ω转动时，两绳均处于伸直状态，已知重力加速度为g，则下列说法不正确的是 (　　) A.要保证两绳均处于伸直状态，竖直转轴的最小角速度为 B.当竖直转轴的角速度增大到一定程度时，绳1可以变为松弛状态 C.两绳均处于伸直状态时，绳1上的张力与绳2上的张力差值恒定 D.当竖直转轴的角速度为2时，绳2上的张力大小等于mg 2.(2024江苏扬州中学月考)如图甲所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间的夹角为θ，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体顶点O处的轴上，另一端拴着一个质量为m的小球(小球可看作质点，轻绳与母线平行)。小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，轻绳的拉力F随ω2变化的关系如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　) 　 A.绳长为l=2 m B.母线与轴线之间的夹角θ=30° C.小球质量为0.6 kg D.小球的角速度为3 rad/s时，小球刚离开锥面 3.(2023广东茂名期中)如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳与竖直方向的夹角θ=60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上。已知重力加速度为g，则 (1)当小球绕圆心O点匀速转动时，如果小球刚好离开水平桌面，小球匀速转动的角速度ω0为多大？ (2)当小球以角速度ω1=绕圆心O匀速转动时，绳子张力F1为多大？桌面对小球的支持力FN1为多大？ 题组二　以摩擦力改变为临界条件的问题 4.(2024江苏苏州常熟期中)如图所示，甲、乙圆盘的半径之比为1∶3，两水平圆盘紧靠在一起，乙靠摩擦随甲不打滑转动，两圆盘上分别放置质量为m1和m2的小物体a、b，m1=2m2，两小物体与圆盘间的动摩擦因数相同。a距甲盘圆心r，b距乙盘圆心2r，此时它们正随盘做匀速圆周运动。下列判断正确的是 (　　) A.a和b的线速度之比为1∶2 B.a和b的向心加速度之比为9∶2 C.a和b的角速度之比为1∶3 D.随转速慢慢增加，b先开始滑动 5.(2024江苏苏州第三中学月考)如图所示，小物块A、B、C(均可视为质点)与水平转台相对静止，B、C间通过原长为1.5r、劲度系数k=的轻弹簧连接，已知A、B、C的质量均为m，A与B之间的动摩擦因数为2μ，B、C与转台间的动摩擦因数均为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是 (　　) A.逐渐增大转台角速度，B先相对于转台滑动 B.当B与转台间摩擦力为零时，C受到的摩擦力方向沿半径背离转台中心 C.当B与转台间摩擦力为零时，A受到的摩擦力为 D.当A、B及C均相对于转台静止时，允许的最大角速度为 6.(2023江苏连云港新海高级中学月考)如图甲所示，两个完全一样的小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上，a到转轴OO'的距离为l。圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度，a、b与圆盘保持相对静止的过程中所受摩擦力与ω2满足如图乙所示关系，图中f2=3f1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列判断正确的是 (　　) 　　 A.图线(1)对应木块a B.绳长为3l C.ω2=ω1 D.ω=ω2时绳上张力大小为f2 7.(2023湖北武汉部分重点高中联考)如图所示，半径为2r的水平圆盘距地面的高度为h=，质量mA=4m与mB=m的A、B两个物块均可看成质点，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心，长3r。A和B一起随圆盘绕竖直中心轴OO'转动(O'为圆盘圆心沿竖直方向在地面的投影)，转动的角速度ω从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。A、B两物块的转动半径rA=r，rB=2r(B在圆盘边缘)，它们与圆盘间的动摩擦因数均为μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度为g，所有物理量的单位为国际单位制中的单位。 (1)当绳上恰好出现拉力时，求圆盘的角速度大小ω1。 (2)ω>后，随着角速度的缓慢增大，是否有物块受到的摩擦力为零？如果有，求出此时圆盘角速度大小ω2。 (3)随着角速度进一步缓慢增大，两物块相对圆盘滑动，假设滑动瞬间绳子断裂，求B落地的位置与O'之间的距离。 答案与分层梯度式解析 专题强化练5　水平面内圆周运动的临界问题 1.B　两绳都处于伸直状态时，两绳与竖直杆的夹角均为60°；要保证两绳均处于伸直状态，当绳2刚好伸直时，竖直转轴的角速度最小(点拨：此时绳2弹力为零)，则有T1 cos 60°=mg，T1 sin 60°=mω2L sin 60°，解得ω=，A正确；当竖直转轴的角速度为时，两绳都处于伸直状态，之后继续增大角速度，两绳一直处于伸直状态，绳1不可能变为松弛状态，B错误；两绳均处于伸直状态时，竖直方向有T1 cos 60°=mg+T2 cos 60°，可得T1-T2=2mg，知绳1上的张力与绳2上的张力差值恒定，C正确；当竖直转轴的角速度为2时，竖直方向有T1 cos 60°=mg+T2 cos 60°，水平方向有T1 sin 60°+T2 sin 60°=mω2L sin 60°，联立解得绳2上的张力大小为T2=mg，D正确。 2.A　当小球离开锥面后，设轻绳与竖直方向的夹角为α，轻绳拉力与小球重力的合力提供向心力，如图甲所示，有F sin α=mω2l sin α，可得F=mω2l，结合题图乙可知，当ω2> rad2·s-2时，小球离开锥面，F-ω2图线的斜率k2=ml=1 kg·m；当小球未离开锥面时，小球受到重力、锥面的支持力和轻绳的拉力，如图乙所示，则水平方向有F sin θ-N cos θ=mω2l sin θ，竖直方向有F cos θ+N sin θ=mg，联立可得F=ml sin2 θ·ω2+mg cos θ，结合题图乙可知，当ω2< rad2·s-2时，F-ω2图线的斜率k1=ml sin2 θ= kg·m，mg cos θ=4 N，联立解得θ=37°，l=2 m，m=0.5 kg，故A正确，B、C错误。根据题图乙可知，当小球的角速度满足ω2= rad2·s-2时恰好要离开锥面，此时小球的角速度为 rad/s，故D错误。 　　 方法技巧　水平面内圆周运动的临界问题，无非是临界速度、角速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳子的拉力、弹簧的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关联，解答此类问题的方法是找准临界点，应用圆周运动的动力学规律分析。 3.答案　(1)　(2)mg　mg 解析　(1)根据题意，当小球刚好离开水平桌面做匀速圆周运动时，小球与桌面之间无压力，小球受力如图所示，重力和绳子拉力的合力提供向心力。 可得Fn=mg tan θ 小球做圆周运动的半径r=L sin θ 由向心力公式可得Fn=mr 即mg tan θ=m·L sin θ· 解得小球的角速度为ω0= (2)当小球以ω1=做匀速圆周运动时，由于ω1<ω0，故桌面对小球有支持力，竖直方向小球处于平衡状态，有FN1+F1 cos θ=mg 水平方向，由向心力公式可得 F1 sin θ=m·L sin θ· 联立解得F1=mg，FN1=mg 4.B　甲、乙两圆盘边缘上的各点线速度大小相等，由关系式v=ωr，可得甲、乙两圆盘的角速度之比为ω1∶ω2=3∶1，物体相对圆盘静止时的角速度等于圆盘的角速度，故物体a、b的角速度之比为3∶1，则线速度之比为==，故A、C错误；根据a=ω2r，可得物体a、b的向心加速度之比为a1∶a2=(·r)∶(·2r)=9∶2，故B正确；摩擦力提供圆周运动的向心力，物体将要相对圆盘滑动时有μmg=mrω2，可得临界角速度ω=，可知a先达到临界角速度，即当转速增加时，a先开始滑动，故D错误。 5.B　假设C不动，当A、B即将相对于转台滑动时，弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供向心力，有kr+μ·2mg=2mr，解得ω1=；同理，假设B不动，当C即将相对于转台滑动时，有kr+μmg=m·1.5r，解得ω2=，因ω1>ω2，可知C比B先相对于转台滑动，而此时A受到的摩擦力为f=mr=<2μmg，故A相对于B静止，综上可知，A、B及C均相对于转台静止时允许的最大角速度为ω2=，故A、D错误。当B与转台间的摩擦力为0时，对A、B整体，由弹簧弹力提供向心力，则有kr=2mω2r，解得ω=，此时对A，由摩擦力提供向心力，有f'=mω2r=μmg，此时C受到的向心力大小为Fn=m·1.5r·ω2=μmg<kr=1.5μmg，故C受到的摩擦力方向沿半径背离转台中心，故B正确，C错误。 6.D　 关键点拨　当转速较小时，a、b做圆周运动的向心力由各自的静摩擦力提供，根据f=mω2R可知，随着转速增大，静摩擦力增大，转动半径较大的b先达到最大静摩擦力；转速继续增大，轻绳中出现张力，最大静摩擦力与轻绳的拉力的合力提供b做圆周运动的向心力，随转速增大，轻绳上的拉力逐渐增大，静摩擦力不变；轻绳对a的拉力沿半径背离圆心，a受到的指向圆心的静摩擦力随角速度的增大而增大，当增大到最大静摩擦力时，木块a、b和转盘恰好保持相对静止；此时转速继续增大，a、b将相对转盘滑动。 解析　由图可知，当0≤ω≤ω1时，绳上无拉力，木块a和b都由各自的静摩擦力提供向心力，fa=mraω2，fb=mrbω2，因为rb>ra，所以fb>fa，故图线(1)对应木块b，A错误。当ω=ω1时，木块b恰好达到最大静摩擦力，且f2=3f1，即mrb=3mra，可得rb=3ra=3l，所以绳长为rb-ra=2l，B错误。当ω=ω1时，对木块b，有μmg=m·3l，可得ω1=，当ω=ω2时，对木块a，有μmg-T=m·l，对木块b，有μmg+T=m·3l，联立可得ω2=，所以ω2=ω1，T=μmg=f2，故C错误，D正确。故选D。 7.答案　(1)　(2)有　　(3)6r 解析　(1)圆盘转速较小时，物块与圆盘间的摩擦力提供向心力，绳上恰好出现拉力时，B与圆盘之间的静摩擦力达到最大，有μmBg=mB·2r 解得圆盘的角速度为ω1= (2)ω>后，当A与圆盘间的静摩擦力达到最大，随着角速度的继续缓慢增大，B的摩擦力可减小为0，设此时绳子拉力大小为T； 对A有T+μmAg=mAr 对B有T=mB·2r 解得ω2= (3)当A所受静摩擦力最大，且指向圆心，B所受静摩擦力也最大，且背离圆心时，两物块即将滑动，设绳子拉力大小为T'，角速度为ω3； 对A有T'+μmAg=mAr 对B有T'-μmBg=mB·2r 解得ω3= 绳子断裂瞬间，B的线速度大小为 vB=ω3·2r= B做平抛运动的水平位移大小为x=vB=4r B落地点与O'间的距离为L==6r 模型强化　(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力fm=，方向指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$