高二数学开学摸底考01（人教A版2019选择性必修第一册+第二册全部）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（    ）． A． B． C． D． 2．若直线与平行，则与之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 3．设等比数列的前n项和为，已知，，则（　　） A．15 B．18 C．31 D．63 4．设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 5．已知椭圆的左、右焦点为，，点是上一点，延长交于点，若为正三角形，且周长为12，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 7．已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 10．已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（   ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若的面积为16，则直线的倾斜角为或 D．若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，则的通项公式为 . 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 14．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的图象与直线均过定点. (1)若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值. 16．（15分）已知等比数列和等差数列中，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求满足的最小自然数． 17．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 18．（17分）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 19．（17分）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 6 8 A c B E D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.a,-mn+0 2 13,2 14.2+v5 2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15,(13分) 【详解】(1)因为f(4)=1,所以定点4(4,1)…… 2分 因为直线在x,y轴上的截距相等，设截距分别为m,1, 当m=n=0时，直线经过原点，设y=,又经过点A, 则有长=}，直线1的方程为x-4y=0,4分 当m=n≠0时，设直线1的方程为x+上=1，代入点44，)，解得m=n=5, m n 所以直线/的方程为x+y-5=0. 综上可得直线1的方程为X-4y=0或x+y-5=0…6分 (2)设0，，P(xoy)由P0=6,-4) 可得 x=x-3 6=y+4代入后+坊=9， 得(x-3+(y+4)=9即为点Q的轨迹方程，如下图所示：9分 1/6 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A 圆心(3,4)，半径r=3,点A在圆外，点A到圆心的距离为 V(4-3)2+(1+4)2=√26，.11分 所以AQ的最大值为√26+3.…。 13分 16.(15分) 【详解】(1)设{an}的公比为9，{b,}的公差为d, 由a=aa5=16a4-4,则a-16a.+64=0,解得a4=8,2分 结合4=1，所以g2=4=8今q=2,故a,=2,.4分 a 由b1=1+2020d=2021,可得d=1,结合=1，故bn=n…6分 (2)由(1)S,=1×2°+2×2+3×22++n×2-1,则2Sn=1×2+2×22+3×2++n×2,9分 所以-Sn=1+2+22+2+…+24-1-n×2”=2°-1-n×2°， 11分 则S。=(n-1)2+1,n∈N,显然{Sn}单谓递增，。 …13分 n=8时，S,=(8-1)×23+1=1793<2021, n=9时，S。=(9-1)×2”+1=4097>2021, 故满足S。>2021的最小自然数n为9.… 15分 17.(15分) 【详解】(1)证明：连接BD,在直角梯形ABCD中，易得BD=2,AD=2, 又yAB=2√2，BD2+AD2=AB2BD⊥AD,1分 又：平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,BDc平面ABCD, BDL平面PAD,PAC平面PAD,3分 BD⊥PA,又PA⊥PD,BDOPD=D,BD,PDC平面PBD, 之PA⊥平面PBD,PBC平面PBD,5分 PA⊥PB… 6分 2/6 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)如图，取AD的中点O,AB的中点G,连接OP,OG, 由题意可得OP⊥AD,OG⊥AD,OP=1, ”平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,OPc平面PAD, P0平面ABCD,7分 以0为坐标原点，以OA,OG,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A1,0,0,D(-1,0,0),B(-1,2,0,P(0,0,1,AD=-2,0,0,AM=(-1-1,22,1-元)， 设PM=入PB,则M-九，21,1-元，8分 设平面MAD的一个法向量为m=(x,y,z, mAD=0 「-2x=0 则 m-AM=0(-1-1）x+22y+(1-)z=0 令y=1,得z= 2 10分 又：BD⊥平面PAD,平面PAD的一个法向量i=BD-(0,2,0), 11分 .cos(m,）= mn 2 2 √2 同 2×1+ 42 2×1+ 422 解得天-写我1（合）一卫分 元2-21+1 12-21+1 即M为P阳的靠近P的三等分点时，二面角M-AD-P的平面角为子 P01平面ABCD,且P0=1,13分 M到平面ABCD的距离为 ,又四边形ABCD的面积为3， 2 1 1 22 :四棱锥M-4BCD的体积，-n-3Smh= 3 3 33 15分 G 18.(17分) 3/6 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4,1 a+1 【详解】(1)由题可知 a 2 ,解得a2=8,=2, a2=b+c2 故E的方程为广+广 =14分 82 (2》设1的方程为=红+m,P(xy),(,*2,4*2. x2+ =1 联立方程组82 y=kx+m 整理得(4k2+1x2+8kmx+4m2-8=0, △=64k2m2-(16k2+4(4m2-8=128k2-16m2+32>0 即m<8+2,则马+=4西=4+ 8km 4m2-8 6分 kko=当二_+m-训在+m- -2x3-2xx2-2x+x2)+4 k2xx2+k(m-1)(x+x2)+(m-1)2 x3-2(x+x3)+4 k2(4m2-8-8k2m(m-)+(4k2+1(m2-2m+1 4m2-8+16km+16k2+4 m2-2m-4k2+11 4m2+16km+16k2-44’…8分 整得2+圳a2-=0,则k=-现+2让0， 若m+2-1=0,则y=红+1-2k,则1过点A,不符合题意， 敌大三，即1的斜率为定值.10分 3》由(2》可得直线1：+-m=0,写+与=2m,4=2m-4, 因为1与线段OA(不含端点)相交，所以0<m<2, Pg=1+kV低+x}2-4x=V20-5m2,11分 4/6 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 一m 2m d41= 点O到1的距离 1)2 √5,12分 2 d 1+1-m- 4-2m 点A到I的距离 5 +1 …13分 四边形0P40的面积S=P01(d,+d)=24-m=25,15分 解得m=1或m--1(舍去)， 故I的方程为：y=一。X+1417分 2 19.(17分) 【详解】1)函数)=子0=山，点P在)上，求导得f)=-子 设切点为aa小.切线方程为y-言=子x-,即y=子+昌 2 ，2分 由切线过P1),得a2-3a+2=0,(a-1)(a+2引=0，解得a=1或a=-2,3分 因此切线方程为y=-2+3.y+子，所以点P为)的A类含…4分 (2)函数f(x)=x3-mx,求导得f"(x)=3x2-m,设切点为(，f(), 切线方程为y-(t-m)=(32-m)(x-),即y=(32-m)x-2t, 切线过Q(2,0),则22-6t2+2m=0,… 5分 依题意，方程2r-62+2m=0有三个不同解，且成等差数列，设为4,42,4，公差为d, 212-612+2m=20-1)t-2)1-43)=23-24+2+1)12+2442+443+4)1-24243 5+42+43=3 因此42+4+4=0，则%=1,4+与=2.4=-2，则m=-4=2,7分 1243=-m 当m=2时，f(x)=x3-2x,不过Q(2,0), 所以m的值为2 8分 (3)假设y轴上存在函数f)=x+的C类点”，记为R,设坐标为0，b), e 5/6 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 求导得f)=- e本，设切点为，f(),切线方程为y一”=一。”(x-4), es、 即y=-“x++1+,由切线过R0,),得b=+u+山，此方程至少有两个不同解，…10分 -x+ e e e" 了设gm+u+1,则g'(w0=”’由870，得“=0或=1， e" 当u∈(-0,0)U(1,+∞)时，g(0<0,函数g0是(-o,0),(1,+o)上的严格减函数， 当4∈(0,1)时，g'(4)>0,g(u)为(0,1)上的严格增函数， 函数0的极小值g0=1,极大值80-，又ge=e>g0= i<l, 当b=1或时，方程gu)=0有两个不同解，当b∈0，三时，方程gu)=0有三个不同解， 当b=1时，QD在f)上，其余情况下R在f)外，则ben,三， .13分 设两垂直切线的斜率为k,k2,对应方程的两根为“，， 则kk=点()=-，由6“七w中， e e" 得c=ee°=C++1++》,则有2=G+4+1u+4+ b2 ，14分 -4142 由442=-e<0,得山，4：异号，不妨设山1<0<41， 由均值不等式知，+%+-4+-121，G+%+1-4++123,…16分 -4 -41 42 43 则623，与e之不盾，即4，不存在。 所以y轴上不存在f(x)的“C类点” 17分 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（    ）． A． B． C． D． 2．若直线与平行，则与之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 3．设等比数列的前n项和为，已知，，则（　　） A．15 B．18 C．31 D．63 4．设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 5．已知椭圆的左、右焦点为，，点是上一点，延长交于点，若为正三角形，且周长为12，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 7．已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 10．已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（   ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若的面积为16，则直线的倾斜角为或 D．若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，则的通项公式为 . 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 14．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸 15．（13分）已知函数的图象与直线均过定点. (1)若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值. 16．（15分）已知等比数列和等差数列中，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求满足的最小自然数． 17．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 18．（17分）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 19．（17分）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年下学期开学摸底考试 高二数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点式求斜率，结合斜率与倾斜角关系求角的大小即可. 【详解】令直线倾斜角为，则，又， 所以. 故选：A 2．若直线与平行，则与之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的判定列方程求参数，注意验证，再应用平行线的距离公式求距离. 【详解】由题设，可得或， 当，，，即两线重合，不符； 当，，，满足； 所以它们的距离为. 故选：C 3．设等比数列的前n项和为，已知，，则（　　） A．15 B．18 C．31 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得其公比与首项，再由等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，等比数列为等比数列，设其公比为， 因为，所以， 变形可得：， 又，所以， 因为，解得， 所以， 故选：C． 4．设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 5．已知椭圆的左、右焦点为，，点是上一点，延长交于点，若为正三角形，且周长为12，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用椭圆的定义以及余弦定理逐步推导出的值. 【详解】因为为正三角形且周长为，所以正三角形的边长. 根据椭圆的定义，，. ，得. 由，所以. 在中，，，，. 根据余弦定理， 即,,,解得. 由，，，可得，所以. 故选： B. 6．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 7．已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到和渐近线方程，并设点，则，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到双曲线方程. 【详解】由题意得，解得， 双曲线渐近线方程为，即， 设点，则，即， 则到两渐近线方程的距离分别为， 所以， 解得， 故双曲线方程为. 故选：A 8．若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和． 【详解】对于选项A：由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于选项B：因为，即， 显然，且，即， 所以为递增数列，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 两式相减得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：错位相减法的关注点 1.适用题型：等差数列与等比数列对应项相乘型数列求和； 2.步骤：①求和时先乘以数列的公比；②把两个和的形式错位相减．③整理结果形式． 10．已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（   ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若的面积为16，则直线的倾斜角为或 D．若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则 【答案】ACD 【分析】对于，设直线的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理即可求解；对于，由弦长公式求解即可；对于，由求解即可；对于，由中点坐标公式可得，所以，当和分别求解即可. 【详解】 依题意直线的斜率不为0，， 设直线：，联立， 则，则，故A正确； 又，， ， 解得， 故直线的斜率为，故B错误； ，解得， 则直线的斜率为，故直线的倾斜角为或，故C正确； ，而，故， 当时，易知， 当时，，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则（   ） A．若，则有三个零点 B．若，则函数存在个极值点 C．在单调递减，则 D．若在恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用导函数判断函数单调区间，从而得到极值点，得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区 间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数，利用导函数求函数最值，从而判断参数的取值范围. 【详解】对于选项A：若，，，由，得：， 当时，，得：在上单调递减； 当和时，，得：在和上单调递增； 所以函数有极大值，有极小值， 所以三次函数有三个零点，故A选项正确； 对于选项B，若，， 由，得有两个解， 当和时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以存在两个极值点，故B选项正确； 对于选项C，由题意可知：是解集的子集， 当时，显然恒成立； 当时，，由于，可得：，即； 综上可得：，故C选项错误； 对于选项D，当时，恒成立， 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，则； 当，令，则， 令（）， ， 当时，，单调递增； 所以，则； 综上所述：若在恒成立，则，故D选项正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】利用导数的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 14．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为 . 【答案】 【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解. 【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：， 在椭圆中，， 又，，， 则，即， 在双曲线中，， 又，，， 则，即， 从而，得，0 则，，即， 则，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆，双曲线定义及余弦定理得到，进而利用基本不等式求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数的图象与直线均过定点. (1)若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）对直线在，轴上的截距是否为零进行分类讨论，可得结果； （2）求得点的轨迹方程，再由圆上点到直线距离的最值计算即可. 【详解】（1）因为，所以定点 因为直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，， 当时，直线经过原点，设，又经过点， 则有，直线的方程为； 当时，设直线的方程为，代入点，解得， 所以直线的方程为. 综上可得直线的方程为或. （2）设，，由 可得，代入， 得即为点的轨迹方程，如下图所示： 圆心，半径，点在圆外，点到圆心的距离为 ， 所以的最大值为. 16．已知等比数列和等差数列中，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求满足的最小自然数． 【答案】(1)，； (2)9. 【分析】（1）设的公比为，的公差为，结合已知及等差、等比通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式； （2）利用错位相减法、等比数列前n项和公式求和，判断的单调性，代入法解不等式． 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 由，则，解得， 结合，所以，故， 由，可得，结合，故. （2）由（1），则， 所以， 则，，显然单调递增， 时，， 时，， 故满足的最小自然数为9. 17．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面可得到； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式解出，再由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接BD，在直角梯形ABCD中，易得， 又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面平面， ，又，平面， 平面平面， . （2）如图，取的中点的中点，连接， 由题意可得， 平面平面平面平面，平面， 平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得， 又平面平面的一个法向量， ，令，解得或（舍）. 即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为， 平面，且， 到平面的距离为，又四边形的面积为3， 四棱锥的体积. 18．已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出，，； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. （3）利用（2）中直曲联立的结果，结合弦长公式求出，再利用点到直线距离求出四边形面积，得到方程，求解方程即可. 【详解】（1）由题可知，解得，， 故的方程为. （2）设的方程为，，. 联立方程组 整理得， 即，则，， ， 整理得，则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值. （3）由（2）可得直线，，， 因为与线段（不含端点）相交，所以， ， 点到的距离， 点到的距离， 四边形的面积， 解得或（舍去）， 故的方程为：. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面， 不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系，解决弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19．过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【详解】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$