第04讲 垂直平分线和角平分线（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第04讲 垂直平分线和角平分线 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 【题型6：角平分线性质】 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 【题型8：角平分线的性质与全等】 考点1 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 考点2 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【典例1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式1-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-2】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为（   ）    A．6 B．4 C．3 D．1.5 【变式1-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【典例2】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，P，边的垂直平分线分别交，于点N，Q．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【典例3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【变式3-1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆（图中的点）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（    ） A．、两边高线的交点处 B．在、两边中线的交点处 C．在、两内角平分线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 【变式3-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边两条高的交点处 B．在边两条中线的交点处 C．在边两条垂直平分线的交点处 D．在两条角平分线的交点处 【变式3-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 【典例4】（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，与相交于点O，，，． (1)求证； (2)求证：垂直平分． 【变式4-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【变式4-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【变式4-3】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 考点3：角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 【典例5】（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得； (3)求点D到的距离． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知，，． (1)尺规作图：在上作一点，使点到、两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，则________． 【变式5-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，为三个景点，连接各景点的有，，三条小路，现计划在三个景点围成的三角形区域内建立一个纪念品商店，要求商店与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路，的距离也相等，请你确定纪念品商店的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型6：角平分线性质】 【典例6】（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式6-1】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 【变式6-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 【典例7】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【变式7-1】（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ）   A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处 C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处 【变式7-2】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【变式7-3】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【题型8：角平分线的性质与全等】 【典例8】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，于点，于点，，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【变式8-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，E是的中点，连接．    (1)若平分，求证：是的平分线； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； (3)若，求证：是的平分线． 【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，点在边上，于点，点在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，的平分线交于点，作于点．若点恰好是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，下列尺规作图能确定的是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（   ） A．10 B．13 C．16 D．19 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，是线段的垂直平分线，且分别交，于点D，E，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，平分，于点，，，，则的长是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题 7．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，且，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，的平分线交于点，于点．若，，则的面积为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F． (1)若，求证：是的角平分线； (2)若是的角平分线，求证：． 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，点是的中点．平分． (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 11．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 垂直平分线和角平分线 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 【题型6：角平分线性质】 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 【题型8：角平分线的性质与全等】 考点1 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 考点2 ：线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【典例1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，再计算的周长即可． 【详解】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，若，则的长为（   ）    A．6 B．4 C．3 D．1.5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，根据，得，结合垂直平分线性质求解即可得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得∠且，再利用外角的性质得，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∵，， ∴且， ∴， ∴． 故选：B． 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【典例2】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分，得出，求出，根据，利用等边对等角，最后求出结果即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的内角和，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ， ， ， ， ； 故选：A 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，P，边的垂直平分线分别交，于点N，Q．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，分别是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得，又由三角形的内角和定理可得，结合，易求得的度数，继而求得答案．此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 【详解】解：在中，分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定是解题的关键．由垂直平分以及垂直平分线的性质，可得，再由，可得，再结合，通过角度计算即可求解的度数． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故选：B． 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【典例3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 【变式3-1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆（图中的点）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（    ） A．、两边高线的交点处 B．在、两边中线的交点处 C．在、两内角平分线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，作分别作、的垂直平分线交于点，连接，，， 则，， ， 故选：D． ． 【变式3-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在边两条高的交点处 B．在边两条中线的交点处 C．在边两条垂直平分线的交点处 D．在两条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 【变式3-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】解：到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：C． 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 【典例4】（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，与相交于点O，，，． (1)求证； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式4-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明， ，进而得， 由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质 【详解】（1）证明：如图，连接，，． 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， （2）解： 垂直平分，垂直平分， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， 【变式4-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)24 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）先说明点B、点D都在线段的垂直平分线上即可证明结论； （2）根据以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ． （2）解：由（1）得，， ． 【变式4-3】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 考点3：角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 【典例5】（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，则与的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 【变式5-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点，使得； (3)求点D到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图及性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧与相交；再以两交点为圆心，同一半径画弧即可完成作图； （2）作出线段的垂直平分线即可； （3）作，证，得，；根据，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求 （2）解：如图所示：点即为所求 （3）解：作，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D到的距离为． 【变式5-2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知，，． (1)尺规作图：在上作一点，使点到、两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，则________． 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）作线段的垂直平分线，此直线与线段的交点即为D点； （2）先根据求出，再由直角三角形的性质得出的度数，进而可得出． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线，此直线与线段相交于D点， ∴， 如图，点D即为所求， ； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：44． 【变式5-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，为三个景点，连接各景点的有，，三条小路，现计划在三个景点围成的三角形区域内建立一个纪念品商店，要求商店与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路，的距离也相等，请你确定纪念品商店的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图作线段的垂直平分和角平分线、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，则直线上的点到、两点的距离相等，作的平分线，则上的点到小路，的距离也相等，所以、的交点满足与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路，的距离也相等． 【详解】解：如下图所示，作线段的垂直平分线，作的平分线， 、交于点， 点即为所求作的纪念品商店位置． 【题型6：角平分线性质】 【典例6】（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据直角三角形的性质得出，根据即可解答． 【详解】解：过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-1】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些 知识点是解题的关键． 由角平分线得到，再证明，继而 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长 ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 【变式6-2】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，    由作图痕迹知平分，，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：2． 【变式6-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 ． 【答案】33 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别平分和， ∴点O到的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 【典例7】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，不符合题意． 故选B． 【变式7-1】（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ）   A．两内角的平分线的交点处 B．两边高线的交点处 C．两边中线的交点处 D．两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，根据根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得出答案． 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：D． 【变式7-2】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 【变式7-3】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 【题型8：角平分线的性质与全等】 【典例8】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，于点，于点，，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由于点，于点，得，由，，推导出，而，可根据“”证明，得，即可证明平分； （）由，，根据“”证明，得，则，据此即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）解：由（）得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式8-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为9． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为9． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，E是的中点，连接．    (1)若平分，求证：是的平分线； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； (3)若，求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】（1）如图：过E作，由角平分线的性质定理可得，再结合已知条件可得，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）如图：延长交于点N，再证明可得，进而得到是线段的垂直平分线，即；最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图：过E作，    ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴；    同理可得：， ∴． 故答案为：5． （3）证明：如图：延长交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是的平分线（三线合一）．    【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，点在边上，于点，点在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，进而根据角平分线的判定定理，即可得证； （2）证明，可得，进而根据已知条件可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分； （2）解：在与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，的平分线交于点，作于点．若点恰好是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，即，据此即可求出的度数． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 的平分线交于点， ， ， 又， ， 即：， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2.（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，下列尺规作图能确定的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查作垂直平分线，角平分线，等边对等角；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A、选项作图痕迹可知，为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，在 的垂直平分线上，则，∴，故本选项符合题意； C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； D、选项作图痕迹可知，在的平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，作角平分线；根据作图得出符合全等三角形的判定定理，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 在和中， ， ， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（   ） A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于， 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，是线段的垂直平分线，且分别交，于点D，E，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出是正确解决本题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线且分别交，于点D和E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ 故选：B． 6．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，平分，于点，，，，则的长是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选： B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据垂直平分线的性质，结合线段的和差计算即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，，且， ∴． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，的平分线交于点，于点．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作， 平分，， ， 的面积， 故答案为：6． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F． (1)若，求证：是的角平分线； (2)若是的角平分线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （2）根据角平分线的性质得出，然后根据证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即是的角平分线； （2）证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，点是的中点．平分． (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据中点定义得出，从而得出，即可证明结论； （2）证明，得出，，证明，得出，，求出，根据，得出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点， ，平分， ， 点是的中点， ， ， 又 ，， 平分； （2）解： ，， ， ，， ，， ， ，， ，即， ， ． 11．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 【答案】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解； （2）过点D作，交于E，，交延长线于F，先证明，即可证明 ，根据全等三角形的性质即可得证 （3）过点D作，交延长线于F，连接，证明，进而证明 ，得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过点D作，交于E，，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ． ， （3）解：过点D作，交延长线于F，连接， ，， ， ， ， 在和中， ． ，， 在和中， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$