第03讲 直角三角形（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第03讲 直角三角形 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 考点 1：直角三角形的性质 （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）两个锐角互余。 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B ． 【变式1-1】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角的个数，直角三角形两锐角互余，注意同一角由多种表示法，不能遗漏也不能重复，先确定直角，在找互余两角是解题关键．根据直角三角形两个锐角互余，找出直接与相加的角，或与的等角相加等于的角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角有三个，分别为，，， 不与互余． 故选择． 【变式1-2】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：需要补的角的度数是， 故选： 【变式1-3】（24-25八年级上·山东济宁·期中）一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了直角三角形的性质及一元一次方程的应用，解题时注意：在直角三角形中，两个锐角互余．根据比例设两锐角分别为，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设两锐角分别为，由题意得 解得， 所以这个直角三角形的最小锐角度数为． 故答案为：． 考点2：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 【典例2】（24-25八年级上·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 用勾股定理的逆定理进行判断，看较短两边的平方和是否等于长边的平方即可． 【详解】解：A．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； B．，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； C．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； D．，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形； 故选B． 【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）以下列长度的各组线段为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 根据勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A中的三条线段能组成直角三角形，符合题意； ，故选项B中的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； ，故选项C中的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； ，故选项D中的三条线段组成的是等边三角形，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（    ） A．4， 5， 6 B．3， 4， 5 C．5， 12， 13 D．1，  ， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形；符合题意； B、，故是直角三角形；不符合题意； C、，是直角三角形；不符合题意； D、，故是直角三角形；不符合题意； 故选：A． 【变式2-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判断即可． 【详解】A．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； B．，；不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； C．，；相等，能构成直角三角形，故符题意； D．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意． 故答案为：C 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 【详解】解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 【变式3-1】（24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形； 综上所述，不能判断是直角三角形的有3个， 故选：． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【变式4-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查勾股定理以及其逆定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形的性质及勾股定理的内容． （1）根据勾股定理的逆定理得到； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 即的长是． 【变式4-2】（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案； （2）根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示． ∵，， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）． 【变式4-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以先求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而根据求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 答：长是5； （2）解：，，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为24． 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 【典例5】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】(1) (2)学校需要投入元买草皮 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，用即可解答； （2）根据总价单价数量计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为：， ； （2）解：根据题意：（元） 答：学校需要投入元买草皮． 【变式5-1】（2024八年级上·全国·专题练习）为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】(1) (2)12540元 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再根据求出这块塑胶场地的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∴ ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元． 【变式5-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准．理由见解析 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 【变式5-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知 在中， ∴． 在中， ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 考点5：直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 【典例6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，中，，直线经过点，，，垂足分别是点，，且． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】此题考查了全等三角的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，选择适当的全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，则，求得，则，所以． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)1.5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等是解题的关键： （1）先证明，再根据证明； （2）先证明，从而证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明： 即 在和中 （2）解： ， 又 在和中 ， ． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：，，、相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由，，，知，根据全等三角形的性质得，最后利用等角对等边即可求证； （）先通过线段和差得出，则，再根据三角形的外角性质可得，最后由平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）以下列长度的各组线段为边长，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】因为，所以能组成直角三角形，则A符合题意； 因为，所以不能组成直角三角形，则B符合题意； 因为，所以不能组成直角三角形，则C符合题意； 因为，所以不能组成直角三角形，则D符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，是的中线，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的两个锐角互余解决问题即可． 【详解】解：是的中线， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、高的定义、含的直角三角形性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到，在和中，由、含的直角三角形性质求出，数形结合表示出即可得到答案，熟练掌握直角三角形两锐角互余、含的直角三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， 是边上的高， ， ， ， 在中，，，，则， 在中，，，，则， ， 故选：A． 6．（2025·山东青岛·一模）如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质． 【详解】解：∵ ∴，     ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·全国·期末）三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，，，于点，于点，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明可得，，再根据线段的和差关系计算即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ， 由折叠的性质知，， ∴在中，， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等角对等边，证明三角形全等，由得到，再结合和即可利用证明三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形且， 该四边形草地的面积． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，图和理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形得，再由，得，即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ； （2）解：，理由如下： 延长与交于点， ， ， ， ， ， ， ． 13．（23-24八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 直角三角形 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 考点 1：直角三角形的性质 （1）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方; （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 （4）两个锐角互余。 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东济宁·期中）一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 考点2：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 【典例2】（24-25八年级上·全国·期末）下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（   ） A．4，6，8 B．，， C．，， D．，， 【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）以下列长度的各组线段为边长，能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（    ） A．4， 5， 6 B．3， 4， 5 C．5， 12， 13 D．1，  ， 【变式2-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 【典例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式3-1】（24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【变式3-2】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 【典例4】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． 【变式4-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式4-2】（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【变式4-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 【典例5】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【变式5-1】（2024八年级上·全国·专题练习）为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【变式5-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【变式5-3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 考点5：直角三角形的判定（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 【典例6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，中，，直线经过点，，，垂足分别是点，，且． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【变式6-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：，，、相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式6-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）以下列长度的各组线段为边长，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，是的中线，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 6．（2025·山东青岛·一模）如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·全国·期末）三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 8．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，，，于点，于点，，，则的长是 ． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，是上的一点，，，求证：． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 13．（23-24八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$