专题04 垂直平分线和角平分线（八大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题04 垂直平分线和角平分线（八大题型） 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 【题型6：角平分线性质】 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 【题型8：角平分线的性质与全等】 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，则的长为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为18，则的周长是（   ） A．12 B．15 C．16 D．10 7．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）在中，，的垂直平分线交于点，，则等于（　　） A． B． C．3 D．6 9.（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为18，，则为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B．25° C．30° D．35° 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 12．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 16．（24-25八年级上·江西上饶·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 17．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　） A．，两边中线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．与这两个角的角平分线的交点处 D．，两边的垂直平分线的交点处 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，点O是内一点，满足，则点O是（    ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 19．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，已知，求的度数． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接． (1)如图的周长为18，求的长． (2)，求的度数． 21．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 22．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，垂直平分，，，求的度数． 23．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 24．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 25．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 26．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，为三个景点，连接各景点的有，，三条小路，现计划在三个景点围成的三角形区域内建立一个纪念品商店，要求商店与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路，的距离也相等，请你确定纪念品商店的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 27．（24-25九年级上·全国·期末）线段与射线有一公共端点A． (1)用直尺和圆规作出的角平分线；（不写作图方法） (2)用圆规在射线上截取线段，连接； (3)用直尺和圆规在右侧作出以点B为顶点的，使，且与相交于点E；（不写作图方法） (4)你认为线段和的大小关系如何？ 28．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，P为边上一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点E，使； (2)在（1）的条件下，求的长． 【题型6：角平分线性质】 29．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于点，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 30．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 31．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，平分，于．如果，，那么 33．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 34．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）三角形的三个角平分线相交于一点，这一点到 （ ） A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．都有可能 【题型8：角平分线的性质与全等】 35．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知：如图，是的垂直平分线，连接，过点D作于点E，于点F． (1)求证：； (2)求证：． 36．（24-25八年级上·全国·期末）如图，平分，，，垂足分别为点、． (1)求证：； (2)在图的条件下，如图，点、分别在、上，且，，，求的长． 37．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 38．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 垂直平分线和角平分线（八大题型） 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 【题型6：角平分线性质】 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 【题型8：角平分线的性质与全等】 【题型1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分，则.利用这一性质和已知的和的长度，可以计算出的长度. 【详解】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：先利用基本作图得到垂直平分，，从而可求出． 【详解】解：由基本作图得到垂直平分， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，即可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，则的长为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点；根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，求出即可；能根据定理求出和是解题的关键． 【详解】解：边的垂直平分线交于点E，交于点D， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求出的长． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故选：A． 6．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为18，则的周长是（   ） A．12 B．15 C．16 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据的周长为18，可得，从而可求出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为18， ， ， 的周长， 故选：A． 7．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：． 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）在中，，的垂直平分线交于点，，则等于（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的判定性质，勾股定理是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的外的性质可得，是等腰直角三角形，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：C ． 9.（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为18，，则为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，等腰三角形的性质得到． 由等腰三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，得到，因此，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵周长为18，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 10．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．首先根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合易得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 底角为或． 故选：B． 12．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握有关性质． 设，则．根据线段的垂直平分线的性质，得，再根据等边对等角得，然后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵的垂直平分线交于D，交于E， ∴， ∴． ∴，即， 解得：， ∴． 故选：A． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 14．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到，根据内角和定理求得，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【详解】由题意可得：是的垂直平分线， 则， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 16．（24-25八年级上·江西上饶·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决此题的关键． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 17．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）如图，、、表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（　　） A．，两边中线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．与这两个角的角平分线的交点处 D．，两边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】生活超市到这三个居民小区的距离相等， 生活超市应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，点O是内一点，满足，则点O是（    ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可． 【详解】解：∵OA=OB， ∴O在AB的垂直平分线上， ∵OB=OC， ∴O在线段BC的垂直平分线上， ∵OA=OC， ∴O在线段AC的垂直平分线上， 即O是△ABC三边垂直平分线的交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，线段垂直平分线的性质，能熟记到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解此题的关键． 【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】 19．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质得出，推出，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接． (1)如图的周长为18，求的长． (2)，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）由垂直平分，得，；由的周长，得，从而求得； （2）由对顶角相等得，由线段垂直平分线的性质及等边对等角求得，进而得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵的周长， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后由的垂直平分线可得，继而求得的度数，则可求得的度数； （）由是的垂直平分线，，则，，的周长为，从而得，从而求解； 本题考查了线段垂直平分线得性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴的周长为：， ∴． 22．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，垂直平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质在，掌握等腰三角形的性质是解题关键．根据垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，，进而得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】 24．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标注它的位置（尺规作图，不写作法，保留作图的痕迹）． 【答案】见解析 【分析】作直线m和直线n所夹锐角的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求， 【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 25．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)到的距离为3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）过点作，垂足为． 由（1）得平分， 又， 即到的距离为3． 26．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，，为三个景点，连接各景点的有，，三条小路，现计划在三个景点围成的三角形区域内建立一个纪念品商店，要求商店与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路，的距离也相等，请你确定纪念品商店的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图作线段的垂直平分和角平分线、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，则直线上的点到、两点的距离相等，作的平分线，则上的点到小路，的距离也相等，所以、的交点满足与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路，的距离也相等． 【详解】解：如下图所示，作线段的垂直平分线，作的平分线， 、交于点， 点即为所求作的纪念品商店位置． 27．（24-25九年级上·全国·期末）线段与射线有一公共端点A． (1)用直尺和圆规作出的角平分线；（不写作图方法） (2)用圆规在射线上截取线段，连接； (3)用直尺和圆规在右侧作出以点B为顶点的，使，且与相交于点E；（不写作图方法） (4)你认为线段和的大小关系如何？ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，理由见解析． 【分析】本题考查了基本尺规作图方法、平行线的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握作图步骤和方法是解题关键． （1）根据作角平分线的方法，即可找到点C的位置； （2）根据作相等线段的方法，即可找到点D的位置； （3）根据作一个角等于已知角的方法，即可作出，找到点的位置； （4）根据角平分线得出，根据得出，即可得，等量代换得出，即可证明． 【详解】（1）解：作的角平分线如图； （2）解：作，连接如图； （3）解：作，且与相交于点E如图； （4）解：，理由是： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，P为边上一点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点E，使； (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查尺规作图—作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的作图方法． （1）连接，作线段的垂直平分线与的交点即为所求的点E，据此作图即可； （2）设，则，在中利用勾股定理解即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，线段的垂直平分线与的交点即为所求的点E； 理由：由线段垂直平分线的性质可知， 因此． （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即的长为． 【题型6：角平分线性质】 29．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于点，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据题意得出平分，作垂直于点，得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作垂直于点， 由题意得平分， ∵， ∴， ∵， ∴, 故选： D． 30．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 31．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，D为的两个内角的平分线的交点．若，则点D到边的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积法，勾股定理，过点分别作、、，连接，由角平分线的性质得出，利用勾股定理求出利用三角形面积求法得出答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作、、，连接，如图： ∵点为和的角平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴点到的三边的距离相等， 即， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点D到边的距离为， 故选：A． 32．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，平分，于．如果，，那么 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、角平分线的性质和勾股定理，可证得，根据勾股定理求得的长度，结合，即可求得答案． 【详解】∵平分，，， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴． ∴． 故答案为： 33．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质．连接，过点D作，交的延长线于点G，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：连接，过点D作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴平分， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【题型7：角平分线性质在实际中应用】 34．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）三角形的三个角平分线相交于一点，这一点到 （ ） A．三角形三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边距离相等 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， 故选：C． 【题型8：角平分线的性质与全等】 35．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知：如图，是的垂直平分线，连接，过点D作于点E，于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质； （1）根据线段的垂直平分线的性质证明，，再证明可得结论； （2）由可得，结合角平分线的性质证明可得结论． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，， 在和中 ， ， ； （2）证明：∵， ， ，， ，， ∵， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·全国·期末）如图，平分，，，垂足分别为点、． (1)求证：； (2)在图的条件下，如图，点、分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）解：由（）得，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）连接，，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ， ， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质的运用，证明三角形全等是关键． 38．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 【答案】（1）见详解，（2），理由见解析；（3）2 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接，如图， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图， 同理可证：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$