专题03 直角三角形（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题03 直角三角形（六大题型） 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，直线，是直角三角形，，点在直线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征，作出辅助线是解题的关键．延长交直线于点，得到，根据平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点， ， ， 直线， ， 在中，， 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在中，，，则两个锐角的度数为（   ） A．和 B．和 C．和 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形中两锐角互余等知识点，掌握直角三角形两锐角互余成为解题的关键． 由，则，然后按比例分配即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·北京·期中）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，直角三角形两个锐角互余．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，直线于点A，若，则的度数 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质等知识点，由平行线的性质可得，根据垂直定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可解答，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，是边上的高，则的度数为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．由三角形的内角和定理及得．进而利用直角三角形的性质即可得解． 【详解】解∶ ． 又是边上的高， ， ∴， 故答案为：54． 6．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，，，垂足为点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据，可得，再根据得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 7．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）下列数据分别是三角形的边长，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．9，12，13 D．13，14，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理来进行判定：如果三角形中较短的两边的平方和等于较长的一边的平方，则这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、由于，不能够构成三角形，本选项不符合题意； B、由于，能够构成直角三角形，本选项符合题意； C、由于，不能够构成直角三角形，本选项不符合题意； D、由于，不能够构成直角三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 8．（22-23八年级下·河南漯河·期中）下面各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（  ） A．，2， B．1，， C．6，12，13 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故本选项符合题意； C、，故是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．（24-25八年级上·四川达州·期中）下列几组数不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）下列各组三条线段中，不能够组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．13，14，15 C．13，12，5 D．，，2 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，，故此选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，，故此选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，12，13 B．12，16，20 C． D．4，5，6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项分析即可． 【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 13．（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 14．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 15．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（    ） A．∠B=50° ，∠C=40° B．∠B=∠C=45° C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D．∠A-∠B=90° 【答案】D 【详解】A.是直角三角形，因为∠B+∠C=90°,根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形； B.是直角三角形．因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形； C.是直角三角形．因为∠A:∠B:∠C=5:3:2,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形; D. 由∠A-∠B=90°无法判断哪个角是直角， 故选D. 16．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①，推出，得到是直角三角形；②根据勾股定理逆定理，即可推出是直角三角形；③，推出，得到是直角三角形；④，结合三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ②∵， 设， ∴， ∴是直角三角形；故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形；故④错误； 综上：能确定是直角三角形的条件有①②③； 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的定义，以及勾股定理逆定理，是解题的关键． 17．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）下列对的判断，错误的是（   ） A．若，，则是等边三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，，则是等腰三角形 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）即可判断A；设三个角的度数之比为，利用三角形内角和为计算求解即可判断B；利用三角形内角和为求解未知角度数即可判断C；根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可判断D． 【详解】选项A：，， 是等边三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项B： ，， 最大角的度数是． 是直角三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项C：，， ． ． 是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意． 选项D：， ． ， ． ，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定的理解能力以及三角形的内角和定理．涉及有一个角是的等腰三角形是等边三角形；在同一个三角形中，有两个底角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）；内部有一个角为的三角形为直角三角形；任意三角形内角和为．明确相关知识点进行分析是解本题的关键． 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 18．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，于点D，，，，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先利用勾股定理计算出，，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为：直角． 19．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理判断形状，即可求出答案． 【详解】解： ∵，， 为直角三角形， ． 20．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 【答案】(1)与互相垂直，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得． （1）先根据三角形中线的定义得出，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）由（1）可得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：与互相垂直， 证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 21．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解题关键． （1）根据勾股定理逆定理确定即可得出结果； （2）利用勾股定理得出，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 22．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】（1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理，得， ∴， ∴的面积为：． 23．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先根据等腰三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理逆定理说明，即可得出答案． 【详解】解：连接， ，， . 在中，， 在中，， ， ， 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 24．（24-25八年级上·江西吉安·期中）图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理的内容是关键；连接，由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ， ∵，， ， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 25．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，青青想用自己学过的知识测量一条湖两端的距离，他在地面上取了一点，测得米，米，在上取了一点，测得米，米，请你根据青青的测量结果，计算这条湖两端的距离． 【答案】这条湖两端的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识．先根据勾股定理的逆定理得到，再求出米，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解： 米，米，米， ，， ， ，即， 米，米， （米）， （米）， 答：这条湖两端的距离为米． 26．（24-25八年级上·山东济南·期中）我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． (1)求四边形的空地的面积； (2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)24 (2)3840 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，米，米， 由勾股定理得米， ∵米，米， ，， ∴， ∴， 该区域面积 (平方米)， （2）用该草坪铺满这块空地共需花费元． 答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元． 27．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 【答案】(1)两支架与为垂直的位置关系，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 28．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解； （2）勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，， ∴． 在中，， ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 29．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，小区有一块四边形空地，其中，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点作了垂直于的小路．经测量，，，． (1)求这块空地的面积； (2)求小路的长．（答案可含根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高． （1）根据和算出的长，再由和 的长得出是直角三角形，分别算出和的面积即可； （2）利用三角形面积的两种不同表示方法，即可得的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中， ， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵空地的面积 ∴空地的面积 答：这块空地的面积为． （2）在中， 即4× ．     答：小路的长为 ． 30．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析； (2)元． 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答． 【详解】（1）连接， 技术人员测量的是A，C两点之间的距离， 理由测量的是A，C两点之间的距离， 理由如下：∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴， ， ∴ ∴绿化这片空地共需花费元． 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 31．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握斜边直角判定两个三角形全等是解题的关键． （1）根据题意证明即可求解； （2）由，得到，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 32．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 证，得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵在与中 ∵， ∴， ∴ ∴， 33．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键． （1）根据题意，运用斜边直角边证明，由全等三角形的性质即可求解； （2）根据题意可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 34．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点E在上，，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，得为等腰直角三角形，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 35．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，连结． (1)若，． ①求证：； ②若，求的度数； (2)若，，，，求． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理； （1）①用证即可； ②由得，，进而可得，再由，即可得出答案； （2）先由，，，得，进而得，进而得，，由勾股定理求出，再由面积法求出，最后由计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 又∵，， ∴在和中 ， ∴，即； ②解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角． （1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可得证； （2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合以及（1）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，， ， 在和中， ，， ． ． （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 因此的度数为． 37．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，，是上的一点，且，． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】此题考查直角三角形的判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题． （1）利用等角对等边，推出，再根据即可证明; （2）由（1）得，从而，进而得从而即可得解。 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． （2）解：由（）得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 38．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接交点于点F，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握三角形的面积，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用证明，即可； （2）利用，得，从而证得，即可得出结论； （3）利用得，从而求得，再利用等积法求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ， ， ， ． （3）解：∵，，，， ，，， ， ， ． 39．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，平分且平分，，点F在射线上，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再利用证明即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分且平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直角三角形（六大题型） 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 【题型1：直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，直线，是直角三角形，，点在直线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在中，，，则两个锐角的度数为（   ） A．和 B．和 C．和 D．以上说法都不对 3．（24-25八年级上·北京·期中）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，直线于点A，若，则的度数 ． 55．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，是边上的高，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，，，垂足为点，若，则 ． 【题型2:判断三边能否构成直角三角形】 7．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）下列数据分别是三角形的边长，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．9，12，13 D．13，14，15 8．（22-23八年级下·河南漯河·期中）下面各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（  ） A．，2， B．1，， C．6，12，13 D．7，24，25 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13 10．（24-25八年级上·四川达州·期中）下列几组数不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）下列各组三条线段中，不能够组成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．13，14，15 C．13，12，5 D．，，2 12．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．5，12，13 B．12，16，20 C． D．4，5，6 【题型3:锐角互余的三角形是直角三角形】 13．（22-23八年级上·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 14．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（    ） A．∠B=50° ，∠C=40° B．∠B=∠C=45° C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2 D．∠A-∠B=90° 16．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 17．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）下列对的判断，错误的是（   ） A．若，，则是等边三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，，则是等腰三角形 D．若，，则 【题型4:利用勾股定理的逆定理求解】 18．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，于点D，，，，则是 三角形． 19．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    20．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 21．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 22． （24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 23．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 【题型5:勾股定理逆定理的实际应用】 24．（24-25八年级上·江西吉安·期中）图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 25．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，青青想用自己学过的知识测量一条湖两端的距离，他在地面上取了一点，测得米，米，在上取了一点，测得米，米，请你根据青青的测量结果，计算这条湖两端的距离． 26．（24-25八年级上·山东济南·期中）我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． (1)求四边形的空地的面积； (2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 27．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 28．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 29．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，小区有一块四边形空地，其中，小区计划将这块四边形空地进行规划整理．过点作了垂直于的小路．经测量，，，． (1)求这块空地的面积； (2)求小路的长．（答案可含根号） 30．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【题型6 ：直角三角形全等的判定和性质综合】 31． （24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，垂足为，交于， (1)求证：； (2)求的度数． 32．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 33．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 34．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点E在上，，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 35．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，连结． (1)若，． ①求证：； ②若，求的度数； (2)若，，，，求． 36．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 37．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，，是上的一点，且，． (1)求证：． (2)求的度数． 38．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接交点于点F，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 39．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，平分且平分，，点F在射线上，且． (1)求证：； (2)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$