专题1.6 线段的垂直平分线（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.6 线段的垂直平分线（专项练习） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，，，若，则的长度为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）在中，，的垂直平分线交于点，，则等于（　　） A． B． C．3 D．6 3．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 6．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·上海·单元测试）以 ， 为端点的线段的垂直平分线的方程为 （   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，则称这样的点为整点．例如：，都是整点，如图所示，，，，动点M在线段上，连接，作的垂直平分线，过M作x轴的垂线，与交于点P，当M从C运动到B的过程中，点P经过坐标系上整点的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）中，，点M在的内部，BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q，若连接PQ恰好经过点M，则（    ）（用含的代数式表示）． A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（    ） 2、 A． B． C． D． 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，点D恰好在线段的垂直平分线上，则 12．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接，若的面积为，的面积为，则四边形的面积为 ． 13．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系 ． 14．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 15．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，点为边的中点，过点作，连接并延长交边于点，连接并延长交边于点，，，则的值为 ． 16．（22-23八年级下·四川·期末）如图，中，，，，将三角板的直角顶点D放在的斜边的中点处，交于点M，交于点N．将三角板绕点D旋转，当时，的长为 ．    17．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示） 18．（22-23八年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，下列结论中正确的有 （填序号）． ①点B与点E关于对称； ②是等腰三角形； ③连接，则； ④若直线与直线交于点G，那么直线垂直平分． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接． （1）如图的周长为18，求的长． （2），求的度数． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作等腰，使得点M在上，点N在上，且经过点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． （1）求直线的表达式和点B的坐标； （2）直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖南·期中）在中，，，点是上一点，，点是上一点，． （1）如图1，求证：是等腰三角形． （2）如图2，过点作于点，求证：平分． （3）如图3，延长，交于点，求证：点在的垂直平分线上． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B C B C D D B 1．C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质．先证明是线段的垂直平分线得，，再证明是等边三角形得，由此可得出的长． 解：∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 又∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的判定性质，勾股定理是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的外的性质可得，是等腰直角三角形，，由勾股定理即可求解． 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：C ． 3．D 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，画已知线段的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 解：∵以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ∴， ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质可得，，从而可得，即可求解． 解：的垂直平分线交边于点E， 的垂直平分线交边于点N， ，， ，， ， ， ， ； 故选：B． 7．C 【分析】该题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解题的关键是得出的线段的垂直平分线是． 先求出中点，得出的线段的垂直平分线是，再根据待定系数法求解即可； 解：如图，设中点为， ，， ∴，， ， ∵， 则点在的线段的垂直平分线上，故的线段的垂直平分线是， ∴设直线的垂直平分线的方程为， 则， 解得：， ∴的垂直平分线的方程为， 即：， 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的整点问题，以及垂直平分线和垂线的性质，先点P的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，求出，得出整点的个数即可． 解：设点P的坐标为， ∵垂直平分， ∴， ∴， 整理得：， ∴当，，，0，，4，6时，取整数，点P为整点， ∴符合条件的点P共有7个， 故选：D． 9．D 【分析】此题主要考查垂直平分线的性质和三角形的内角和，根据垂直平分线的性质，可得, ,即得,,即可求解. 解：∵BM、MC的垂直平分线分别交AB、AC于点P、Q. ∴, . . ∵. ∴. . 故选：D. 10．B 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等. 掌握这些判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 解法一：过作于，连接；由折叠的性质及等腰三角形的性质证明，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解； 解法二：过作于，过作于，连接，在上截取，由等边三角形的定义得是等边三角形，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解. 解：解法一：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵， ，， ∴，，， 和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ， ∵，， ， ， 故选B； 解法二：如图，过作于，过作于，连接，在上截取， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了角直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角直角三角形的性质得到，再由线段的垂直平分线的性质得到． 解：∵在中，， ∴， ∵点D恰好在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了作垂直平分线，三角形中线的性质；先利用基本作图得到垂直平分，则，再根据三角形面积公式得到，接着计算出，然后计算即可． 解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查坐标与图形，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得，，再由坐标证明，得到，然后设，表示出与的度数，最后求解即可． 解：如图： 过作于， ∵， ∴， ∴横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴线段的垂直平分线与线段交于点，， ∵线段的垂直平分线与线段交于点P， ∴点P与点是同一个点， ∵线段的垂直平分线与线段交于点Q， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长交于点，过点作，证明，得到，进而得到，证明，得到，再根据等积法，得到，等量代换，即可得出结果． 解：延长交于点，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15． 【分析】作于点M，于点N，由“”可证，可得，由“”可证明，可得，易证，可得，即可解题． 解：作于点M，于点N， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证、和是解题的关键． 16．/ 【分析】延长至点G，使得，连接、、，易证，得到，，利用三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质，得到，设，则，，，再利用勾股定理列方程，求得，即可得到的长． 解：如图，延长至点G，使得，连接、、，    是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 设， 在中，， ， ，， ，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，勾股定理，完全平方公式等性质，正确作辅助线构造全等三角形，利用勾股定理解方程是解题关键． 17． 【分析】当取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点和的位置，连接，，解答即可． 解：作A关于和的对称点，分别记作和，连接分别交和于点和，连接，，如图所示： ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴，， ∵， ∴， ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴， ∴是等腰三角形， 即， ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴，， ∵当取得最小值时，即三点共线， 此时， 即当取得最小值时，则， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关键． 18．①②③④ 【分析】①根据折叠的性质即可证明；②根据折叠和平行线的性质即可证明是等腰三角形；③根据等边对等角判断出，即可判定平行；④根据三角形全等证明，从而得，又，可得是的垂直平分线，得结论正确． 解：由折叠可知：点B落在点E处， ∴点B与点E关于对称，故①正确； 四边形为长方形， ， ， 由折叠可知： ， ， ， 是等腰三角形．故②正确； ，， ∴，， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图，延长和交于点，连接， ，， ， ，又， ，， 是的垂直平分线，故④正确， ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用三角形的面积、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、矩形的性质、轴对称的性质等知识． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）由垂直平分，得，；由的周长，得，从而求得； （2）由对顶角相等得，由线段垂直平分线的性质及等边对等角求得，进而得的度数，再由三角形内角和即可求解． 解：（1）解：∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵的周长， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20．（1）见分析；（2）为等边三角形，理由见分析 【分析】（1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可； （2）根据等边三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质求出，得出，即可证明结论． 解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴点B、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 21．（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 解：（1）， ，， 在 和中， ， ； （2）如图：等腰即为所求作的三角形． 由作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求. 22．（1），点的坐标为；（2）①；②；③的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （）由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③分点在轴和轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点坐标； 解：（1）解：∵直线：交轴于点， ∴， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为， （2）解：∵直线垂直平分，， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴点； ③当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或， 综上所述：在坐标轴上，存在一点，使得与面积相等，且点的坐标为或或． 23．（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）证明见分析 【分析】（1）由，，可得，结合，推出，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，，可得，由，可得，进而得到，推出，结合，得到，即可证明； （3）由（2）得，结合，可得，再根据三角形的外角性质可得，推出，即可证明． 解：（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）证明：由（2）得， ， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． 24．（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$