第05讲 6.2.4向量的数量积（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第05讲 6.2.4向量的数量积 课程标准 学习目标 ①了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。 ②掌握向量数量积的定义及投影向量。 ③会计算平面向量的数量积。 ④会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明。 1.通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功； 2.理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础； 4.平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用； 5.熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用. 知识点01：平面向量数量积的物理背景 如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功. 其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量. 知识点02：向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 【即学即练1】（23-24高一下·西藏林芝·期中）已知，，，则与的夹角（   ） A． B． C． D． 知识点03：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: （1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. 【即学即练2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【即学即练3】（24-25高二上·四川内江·开学考试）已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 知识点4：平面向量数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则 ①.  ②. ③当与同向时,； ④当与反向时,； ⑤ 或； ⑥； ⑦. 知识点5：向量数量积的运算律 ①交换律： ②对数乘的结合律： ③分配律： ④ ⑤ 题型01 平面向量数量积有关的定义及辨析 【典例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（多选）（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·福建泉州·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【变式2】（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．，则 题型02 平面向量数量积的几何意义 【典例1】（23-24高一下·云南丽江·期中）在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【典例2】（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·北京·阶段练习）如图，在圆C中弦AB的长度为6，则 ． 【变式2】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 . 题型03 用定义法求向量数量积 【典例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D．5 【典例2】（24-25高二上·广东潮州·开学考试）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则 .    【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，，．求． 【变式1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知等边三角形的边长为1，那么（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·上海松江·阶段练习）若向量与的夹角为，，，则 ． 题型04 已知数量积求模 【典例1】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知向量满足与的夹角为，则 ． 【典例3】（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. 【变式1】（24-25高二上·北京延庆·阶段练习）向量满足与的夹角为，则 ． 【变式2】（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量与的夹角，且，，则 ． 【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 题型05向量夹角问题 【典例1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·山东临沂·期末）已知非零向量，满足，且在方向的投影向量是，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角为 ． 【变式1】（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知为单位向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·江苏徐州·模拟预测）若单位向量满足，则的夹角为 ． 题型06 向量垂直关系 【典例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知为单位向量，且则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量，满足，，若，则实数 ． 【典例3】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．    (1)若，求； (2)若，且，求实数λ的值． 【变式1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知非零向量，，则“”是“向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2024·湖北·一模）已知平面向量满足，且，则 . 【变式3】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若，，与的夹角为，且，则的值为 ． 题型07 已知模求数量积 【典例1】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）已知向量满足，则的夹角为 ． 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知向量，满足，，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式2】（23-24高二下·贵州毕节·期末）若平面内三点O，M，N满足，，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量满足，则 . 题型08 已知模求参数 【典例1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·湖北宜昌·期中）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面中三个向量、、的模均为2，它们相互之间的夹角均为120°． (1)求证：向量垂直于向量； (2)向量在上的投影向量； (3)已知（），求k的取值范围. 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【变式2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【变式3】（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 题型09 向量的投影 【典例1】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【典例3】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 【变式1】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型10 利用平面向量数量积求最值（范围） 【典例1】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 【变式1】（23-24高一下·海南·期末）如图，正六边形的边长为1，点为其中心，点在边和（包含端点）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·开学考试）设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则（    ） A．5 B． C．3 D． 7．（24-25高二上·黑龙江大兴安岭地·开学考试）若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，.若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽安庆·三模）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角为 ． 12．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知平面向量，， ，，且与的夹角为． (1)求和的值； (2)若与垂直，求λ的值． 14．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． B能力提升 15．（23-24高一下·山东·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 16．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. C综合素养 17．（23-24高一下·河南·阶段练习）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： (1)如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：. (2)如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 6.2.4向量的数量积 课程标准 学习目标 ①了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。 ②掌握向量数量积的定义及投影向量。 ③会计算平面向量的数量积。 ④会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明。 1.通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功； 2.理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础； 4.平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用； 5.熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用. 知识点01：平面向量数量积的物理背景 如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功. 其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量. 知识点02：向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 【即学即练1】（23-24高一下·西藏林芝·期中）已知，，，则与的夹角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，所以. 故选：B 知识点03：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: （1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. 【即学即练2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】. 故选：C （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【即学即练3】（24-25高二上·四川内江·开学考试）已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：B 知识点4：平面向量数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则 ①.  ②. ③当与同向时,； ④当与反向时,； ⑤ 或； ⑥； ⑦. 知识点5：向量数量积的运算律 ①交换律： ②对数乘的结合律： ③分配律： ④ ⑤ 题型01 平面向量数量积有关的定义及辨析 【典例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误； 0乘以任何向量都为零向量，故②正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误； 不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误； 故选：A 【典例2】（多选）（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）下面给出的关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量的数量积定义及运算性质逐一分析即可. 【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数， 所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. 【变式1】（23-24高二下·福建泉州·期末）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD． 【详解】对于A，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立； 对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立； 对于C，若，则，， 而与不一定相等，所以命题不成立； 对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立． 故选：B． 【变式2】（多选）（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．，则 【答案】BD 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】根据数量积的运算律及定义判断即可. 【详解】对于A：表示与共线的一个向量， 表示与共线的一个向量，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为，即， 又，所以， 即向量与在向量方向上的投影相同，故C错误； 对于D：若，则， 即， 所以，则，故D正确； 故选：BD 题型02 平面向量数量积的几何意义 【典例1】（23-24高一下·云南丽江·期中）在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和向量的数量积的几何意义，即可求解. 【详解】如图所示，在平行四边形中，连接，交于点， 则. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出. 【详解】，由投影的定义知，结合图形得， 当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为， 此时； 当P在C或B点重合时，最小为， 此时 ∴ 故选：C 【变式1】（23-24高一下·北京·阶段练习）如图，在圆C中弦AB的长度为6，则 ． 【答案】18 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】取线段AB的中点D，得，利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得． 【详解】 取线段AB的中点D，得，所以. 所以． 故答案为：18． 【变式2】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】由向量数量积的几何意义求解. 【详解】， 即的等于与在方向上的投影的乘积， ，结合图形可知， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型03 用定义法求向量数量积 【典例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】首先根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】因为两个单位向量，的夹角为， 所以， 所以. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·广东潮州·开学考试）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则 .    【答案】/ 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】连接，则，根据给定条件及正八边形的特征，利用数量积的定义求解即可. 【详解】在正八边形中，连接，则，        而，即，于是，在等腰梯形中， ，所以. 故答案为： 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，，．求． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】先由已知求出，再根据数量积定义即可计算求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以. 【变式1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知等边三角形的边长为1，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为等边三角形的边长为1， 所以. 故选：D. 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【详解】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 【变式3】（24-25高三上·上海松江·阶段练习）若向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】1 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积的定义，代入公式计算即可. 【详解】若向量与的夹角为，，，则， 故答案为：1. 题型04 已知数量积求模 【典例1】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】先由数量积的定义求出，再由模的平方运算代入数量积求解可得. 【详解】∵，，且与的夹角为， ∴， ∴， 故． 故选：A. 【典例2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知向量满足与的夹角为，则 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】由题，先求得的值，再求得，最后开方可得答案. 【详解】， 故答案为: 【典例3】（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】（1）利用数量积的定义直接求解即可； （2）结合数量积的运算律，利用向量模的性质求解即可. 【详解】（1）因为，是两个单位向量，且与的夹角为， 所以； （2）. 【变式1】（24-25高二上·北京延庆·阶段练习）向量满足与的夹角为，则 ． 【答案】2 【知识点】已知数量积求模 【分析】先求，即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：2. 【变式2】（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量与的夹角，且，，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】由题意先求出，再由向量模长公式即可求解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 【答案】1 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【详解】 ， 故 故答案为：1 题型05向量夹角问题 【典例1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】计算出，，，计算出，得到答案. 【详解】 ， 其中，故， ，故， 所以， 所以与夹角为. 故选：C 【典例2】（23-24高一下·山东临沂·期末）已知非零向量，满足，且在方向的投影向量是，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】利用垂直关系的向量表示可得，再利用投影向量的意义求出，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则， 由在方向的投影向量是，得，因此， 则，又，， 所以与的夹角是. 故选：C 【典例3】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】借助向量数量积公式与夹角公式计算即可得. 【详解】由，故， ， 又，故. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【变式2】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知为单位向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据条件，利用数量积的运算律，得到，即可求出结果. 【详解】设与的夹角为， 因为， 即，解得，因为，所以． 故选：D. 【变式3】（2024·江苏徐州·模拟预测）若单位向量满足，则的夹角为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】借助平面向量数量积公式计算即可得. 【详解】由题意可得， 故，由，故. 故答案为：. 题型06 向量垂直关系 【典例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知为单位向量，且则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据，得到，将等式展开由平面向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】设的夹角为，因为，为单位向量， 所以，所以. 故选：B. 【典例2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量，满足，，若，则实数 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，即，而，， 则，所以. 故答案为： 【典例3】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．    (1)若，求； (2)若，且，求实数λ的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）先求出，再用中线的向量表达式，结合数量积计算即可； （2）运用垂直的向量结论，再结合基底，运算即可. 【详解】（1）由已知，，夹角为，可得． 因为，所以可得． 所以； （2）因为， 则 ，所以. 【变式1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知非零向量，，则“”是“向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可. 【详解】因为，为非零向量， 若，则，则， 所以，所以，故充分性成立； 若，则，所以， 所以，则，故必要性成立； 所以“”是“向量”的充要条件. 故选：C． 【变式2】（2024·湖北·一模）已知平面向量满足，且，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若，，与的夹角为，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】由及数量积的运算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为，则， 若，则, 可得，即，解得. 故答案为：. 题型07 已知模求数量积 【典例1】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知模求数量积、数量积的运算律 【分析】利用平面向量的数量积即可求解. 【详解】由得， 两式相减得，，所以，则. 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）已知向量满足，则的夹角为 ． 【答案】 【知识点】已知模求数量积、向量夹角的计算 【分析】由题意得，根据夹角的余弦值公式结合的夹角范围即可求解. 【详解】因为，则， 又，， 可得， ，. 故答案为：. 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】（1）由两边平方即可求解； （2）利用平面向量数量积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得； （2）. 【变式1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知向量，满足，，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】由已知得，，进而两式作差并整理即可得答案. 【详解】因为向量，满足，， 所以，， 即， ① ，     ② 所以，得：，即， 所以. 故选：D 【变式2】（23-24高二下·贵州毕节·期末）若平面内三点O，M，N满足，，，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量加法的法则、已知模求数量积 【分析】由题意可知：，根据模长公式结合数量积的运算律分析求解. 【详解】因为， 则， 即，解得. 故选：B. 【变式3】（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知向量满足，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据已知模长应用数量积的运算律计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 题型08 已知模求参数 【典例1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知模求参数、垂直关系的向量表示 【分析】利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 因为，向量的夹角为， 所以， 所以，即. 故选：A. 【典例2】（23-24高一下·湖北宜昌·期中）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、解正弦不等式、已知模求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】，结合题意得，结合即得解. 【详解】， 因为，所以， 又，所以． 故选：B． 【典例3】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面中三个向量、、的模均为2，它们相互之间的夹角均为120°． (1)求证：向量垂直于向量； (2)向量在上的投影向量； (3)已知（），求k的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【知识点】垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积、求投影向量、已知模求参数 【分析】（1）运用向量的数量积运算律和定义式计算推理即得； （2）根据向量在上的投影向量的定义式，代入相关量计算即得； （3）由向量的模的定义将题设不等式展开，代入已知量，解不等式即得. 【详解】（1）因为，且、、之间的夹角均为120°， 所以，所以向量垂直于向量． （2）因，， 向量在上的投影向量. （3）由，得，得，所以 ， 因为，代入上式，得，解得或． 故k的取值范围为． 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知模求参数、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】将两边同时平方，得，而，，， 因此，即依题意，又，所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【答案】 【知识点】已知模求参数、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案. 【详解】因为，是单位向量，且， 所以， 所以， 所以，解得：或. 则正数的值为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、已知模求参数、向量夹角的计算 【分析】（1）根据数量积的运算律及向量的夹角公式求解即可； （2）根据向量模长的公式及数量积的运算律得，然后利用一元二次函数求解最值. 【详解】（1）由，，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为，， 所以， 所以的最小值为，此时. 题型09 向量的投影 【典例1】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据在上的投影向量公式可求得，从而可求解. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，则在上的投影向量为.故A正确. 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义，列出公式，计算可得答案. 【详解】因为，所以. 根据投影向量的定义可知：在方向上的投影向量为. 故选：C. 【典例3】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示） 【答案】 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】由数量积的运算公式可以得到，再根据题中条件得到, 最后利用投影向量的公式进行求解即可. 【详解】 由，则， 又，则， 又，则，即， 故， 又向量在方向上的投影向量是， 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知模求数量积、求投影向量 【分析】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由已知，且， 则， 解得， 故在上的投影向量是＝. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的定义计算可得答案. 【详解】因为向量， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 【变式3】（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】由题可知：， 故在方向上的投影向量为. 故选：B. 题型10 利用平面向量数量积求最值（范围） 【典例1】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 【典例2】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】引入参数，利用向量数量积的运算律将所求式子表示为的函数即可求解. 【详解】连接，，，因为，为，的中点， 所以四边形为矩形，则，，． 设，则 ，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·海南·期末）如图，正六边形的边长为1，点为其中心，点在边和（包含端点）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量加减法的平行四边形和三角形法则，得，再由数量积的定义可知，的最值. 【详解】因为， 所以， 由题意得，， 设与的夹角为，则， 当点在点处时，取得最小值为， 当点在点处时，取得最大值为， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·开学考试）设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件. A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、用定义求向量的数量积 【分析】先考虑必要性，再考虑充分性可得解. 【详解】当“为锐角”时，，所以“”是“为锐角”的必要条件； 当时，，所以“”是“为锐角”的不充分条件. 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件. 故选：C. 2．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以， 由于，所以， 由于，所以. 故选：B 3．（2024高二下·河北·学业考试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解. 【详解】由题知，， 则， ， 则. 故选：A 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求解即得. 【详解】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、已知数量积求模 【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式得结果. 【详解】∵， ∴， 则 所以． 故选：D． 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【分析】先确定与的夹角，再求，进而可解出. 【详解】解：因为在上的投影向量为， 所以与的夹角为，所以， 所以， 所以. 故选：D． 7．（24-25高二上·黑龙江大兴安岭地·开学考试）若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设的夹角为， 由于，所以， 所以，由于，所以. 故选：B 8．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由条件先求得，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】因为， 所以，又， 所以， 所以. 故选:A 二、多选题 9．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】向量数乘的有关计算、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】选项A，利用数乘向量的定义知，，即可求解；选项B，由数乘向量及数量积的定义，即可求解；选项C，由数量积的定义即可求解；选项D，利用向量数量积的运算律，即可判断出选项D的正误. 【详解】对于A，因为，故A错误， 对于B，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 但与不一定共线，故B错误， 对于C，因为，则，故C正确， 对于D，由数量积的运算知，故D正确. 故选：AB. 10．（2024·安徽安庆·三模）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】对于A,只需验证和的数量积是否为0即可;对于B,在方向上的投影向量表示为;对于C,先求平方，再利用数量积即可求夹角;对于D,对式子进行化简，进而判断. 【详解】对于A，因为，是单位向量， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，是单位向量， 所以在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为， 所以， 又因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以， 所以，故D错误； 故选：AB． 三、填空题 11．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知非零向量满足，则与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】借助向量数量积公式与夹角公式计算即可得. 【详解】由，故， ， 又，故. 故答案为：. 12．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知模求参数 【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案. 【详解】因为，是单位向量，且， 所以， 所以， 所以，解得：或. 则正数的值为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）已知平面向量，， ，，且与的夹角为． (1)求和的值； (2)若与垂直，求λ的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）由向量数量积的定义求出，再利用向量数量积的运算律计算； （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，求解即得. 【详解】（1）∵，，且与的夹角为， ∴, 故； （2）∵与垂直， ∴， 即，解得：． 14．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）根据定义得出数量积的值，并根据，代入即可求解； （2）将条件转化为且与不共线时，计算，解不等式即可得到结果． 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． B能力提升 15．（23-24高一下·山东·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量数量积的应用可求，利用夹角公式可求夹角的余弦值. （2）利用数量积的运算律可求，根据二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）当时，，同理， 而，故， 故， 而，， 故. （2）,, 故 ， 因为，故， 故的取值范围为. 16．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)（i），；（ii）3，；；. (2). 【知识点】求二次函数的值域或最值、用基底表示向量、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得； （2）由数量积结合二次函数即可求得. 【详解】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. C综合素养 17．（23-24高一下·河南·阶段练习）数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： (1)如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：. (2)如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】向量加法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用图形关系的向量运算法则结合已知求解即可； （2）由图形关系的向量运算得到，求出其模长；再利用定义式求解，最后再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）证明：在四边形ABFE中，，① 在四边形CDEF中，，② 由①②，得， 因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以，， 于是. （2）在四边形ABFE中，①， 在四边形CDEF中，②， 由，， 得，. 由，得，   所以， 所以， ， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$