第04讲 6.2.3向量的数乘运算（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第04讲 6.2.3向量的数乘运算 课程标准 学习目标 ①了解向量数乘的概念。 ②理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算。 ③理解并掌握向量共线定理及其判定方法。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘的概念； 2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法； 知识点01：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 【即学即练1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点02：向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点03：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 【即学即练2】（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍. 【详解】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 题型01 几何图形中用已知向量表示未知向量 【典例1】（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 【典例2】（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解. 【详解】如图，延长CD和BE交于点F，由题得过做 因为为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形. 可得, 所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形， 又，所以分别是中点， 所以． 故选：C 【典例3】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）如图所示，中，，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、向量加法法则的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】由图形，根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：C 【变式1】（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则，结合数乘向量求解即得 【详解】在矩形中，， 则. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点在同一条直线上，点O不在该直线上，且，设，，，试用向量、表示． 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量的混合运算 【分析】由已知结合平面向量的线性运算即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以，且，， 所以． 题型02 平面向量的混合运算 【典例1】（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、平面向量的混合运算 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式1】（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算、向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则、平面向量的混合运算 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型03 向量共线的判定 【典例1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量数乘的有关计算、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量间关系判断向量平行关系判断A,B,C,假设向量共线求参法判断D. 【详解】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量． A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线； B中，因为，所以与共线； C中，因为，所以与共线； D中，若与共线，则存在实数，使， 即，所以． 因为，是不共线向量， 所以，方程组无解， 所以与不共线. 故选：BC. 【典例2】（2024高一下·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)共线 (2)共线 (3)不共线 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】 根据题意，结合向量的共线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，可得，所以向量与共线. （2）解：由向量，可得，所以向量与共线. （3）解：由向量， 设，即，可得，此时方程组无解， 所以向量与不共线. 【变式1】（23-24高一下·广西·阶段练习）设为两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、判断命题的充分不必要条件 【分析】先根据向量共线得充分性成立，再由向量共线不一定有两向量的数量关系成立，即必要性不成立. 【详解】因为，所以同向共线，所以， 因为，所以同向共线，此时不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 【变式2】（多选）（23-24高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项. 【详解】A.，即，故A正确； B. ，即，故B正确； C. ，，则，故C正确； D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误. 故选：ABC 题型04 利用向量共线证明线线平行 【典例1】（24-25高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明. 【详解】因为， 所以由共线向量定理知，与共线. 【典例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】向量减法的运算律、平面向量共线定理证明线平行问题、向量加法的运算律 【分析】根据梯形特征得出向量关系再结合向量加减法，得出向量的数乘关系可以得出向量平行关系及四点不共线线线平行得证. 【详解】（）， 因为 ， 所以，又P、Q、A、B四点不共线， 所以. 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、平面向量基本定理的应用 【分析】根据向量线性运算表示，然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量，，所以． 又，所以与共线． 故选：B． 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）在四边形中，向量．其中向量不共线．求证：四边形是梯形． 【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】首先求出，由向量共线定理得，再由即可证出. 【详解】证明 且四边形为梯形. 【点睛】本题主要考查向量共线定理，需掌握向量共线定理，属于基本题. 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线. 【答案】见解析 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据三角形与梯形的中位线定理即可得到结果. 【详解】分别是边的中点，是的中位线，，四边形是梯形。又分别是的中点，是梯形的中位线，，向量与共线. 【点睛】本题考查两向量共线的充要条件，意在考查学生对共线定理的理解与掌握，属于基础题. 题型05 已知向量共线（平行）求参数 【典例1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】向量与向量共线， 设，故，解得. 故选：B 【典例2】（23-24高一下·青海西宁·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解. 【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得， 所以，即， 又因为是两个不共线的向量，所以， 解得 故答案为：. 【典例3】（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为 . 【答案】或2 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及平面向量基本定理列式计算即得. 【详解】由向量不共线，得不是零向量， 由向量与共线，得， 即，而向量不共线，则，解得或， 所以实数的值为或2. 故答案为：或2 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、探求命题为真的充要条件 【分析】利用向量共线定理即可判断. 【详解】对于命题甲，可设，即， 则，所以； 对于命题乙，时，，则有向量与共线. 故甲是乙的充要条件. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·北京朝阳·期末）已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】由向量与同向，得， 即，而向量不共线，则，又，解得， 所以实数t的值为. 故选：A 【变式3】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由题意结合共线向量定理可得存在实数，使，化简后可求得结果. 【详解】因为与共线， 所以存在实数，使， 因为，是两个不共线的向量， 所以，所以， 解得或，所以 故答案为： 题型06 三点共线问题 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知两个非零向量不共线，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可． 【详解】对于A，，， 不存在实数，使得成立， ∴三点不共线，故A错误； 对于B，由A知，又， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故B错误； 对于C，， 不存在实数，使得成立， 三点不共线，故C错误； 对于D，， 三点共线，故D正确． 故选：D． 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用向量共线定理即可证明． 【详解】因为， 所以． 又，所以． 因为， ， 所以， 又有公共点A，所以三点共线． 【典例3】（23-24高一下·北京·期中）如图，矩形中，.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】（1）根据题意，由平面向量加法运算，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由共线向量基本定理即可证明共线，即可证明. 【详解】（1）， . （2）证明：由（1）可知，所以， 因为， 所以共线，又直线，直线有公共点， 所以三点共线. 【变式1】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误. ，，则. 则，则，两个向量由公共点. 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误. ，，则， 则不存在唯一，使得，故D也错误. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、向量加法法则的几何应用 【分析】根据给定的条件，利用向量加法计算得，即可推理得出结论. 【详解】依题意，， ， 因此，而有公共点，所以P、A、Q三点共线. 【变式3】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，. (1)以为基底表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、平面向量共线定理证明点共线问题、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解； （2）根据平面的线性运算可得，即，即可证明. 【详解】（1） ； （2），， ， ，且与有公共点， 所以三点共线. 题型07 利用向量共线定理求参数 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取“=”号， 故选：B 【典例2】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 【典例3】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，是直线BD上一点，若，则实数的值为 . 【答案】/-0.4 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量的加法可得 ，结合三点共线，利用相关结论，即可求得答案. 【详解】. 又点三点共线，， 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用三点共线的充要条件建立方程，然后求出的值． 【详解】， ， ，，三点共线， ，， 故选：A． 【变式2】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质得到，再利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，设与相交于点，为的重心， 可得为的中点，， 所以 ， 又， 所以，则. 故选：C. 【变式3】（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则 . 【答案】1 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据平面向量基本定理的推论，转化为系数和为1，即可求解. 【详解】因为，且P为BE上任一点，可得， 由P，B，E三点共线，可得. 故答案为：1 题型08平面向量共线定理的推论 【典例1】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点）， 则设，则, 则，结合，可得，且， 故， 当且仅当，结合，即时取得等号， 即 的最小值为， 故选：D 【典例2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值、向量的线性运算的几何应用 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 【变式1】（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】在中，点是边上一点，，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，所以． 因为，，三点共线，所以， 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是8. 故答案为：8 【变式3】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，. (1)当时，用，表示； (2)求的值，并求最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合为边的中线求解即可； （2）结合（1）可得，再根据，求得，结合三点共线即可求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】（1）因为为边的中线，所以， 因为，，所以，， 所以， 即； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，， ， 由三点共线，得， 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以最小值为. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习），点在边上，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 2．（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【详解】由已知有. 故. 故选：A. 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量基本定理的应用 【分析】先得到，，然后得到即可判断B正确；对于ACD，说明对应的向量不共线即可排除. 【详解】因为， 所以，， 因为，所以A，B，D三点共线，故B符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，B，C三点不共线，故A不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即B，C，D三点不共线，故C不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，C，D三点不共线，故D不符合题意； 故选：B. 4．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】本题考查三点共线定理，依题意可得，，根据平面向量三点共线定理计算可得. 【详解】由， 由已知，则， 根据平面向量三点共线定理得，解得. 故选：A 5．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知是所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理计算可得. 【详解】因为，所以， 即，即， 又，、不共线，所以，所以. 故选：C 6．（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】由及向量的加减运算即可解． 【详解】如图所示：    因为，所以， 得， 得， 得， 故选：C 7．（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为向量与平行， 所以． 因为向量不平行， 所以解得． 故选：. 8．（23-24高一下·福建莆田·期末）已知点不共线，点（异于）满足，．若直线过线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量 【分析】由题意得以及三点共线，进一步即可得解. 【详解】设中点为，则三点共线， 因为，， 所以，所以， 结合三点共线，可知，所以，对比选项可知，一定成立的只有B. 故选：B. 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用三角形相似得出点E的位置，由平面向量的加法法则逐一判断选项即可. 【详解】 由，可得，又，N是线段OD的中点， ∴，∴，∴D错误； ∵，∴C正确； ∵， ∴A正确，B错误． 故选：AC． 10．（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，点为线段BC上的点，且，过点的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【知识点】向量的线性运算的几何应用、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据，得，可得，由三点共线，有，可验证选项A；基本不等式验证选项BCD. 【详解】，即，得，    由，有， 则，由三点共线，有， 所以有，A选项正确； ，，得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，B选项正确； ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C选项正确，D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽·开学考试）在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若，则 ． 【答案】/-0.75 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据向量的加减法运算，用基底表示，再根据平面向量基本定理确定的值. 【详解】    由， 则， 因此 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·课前预习）设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 【答案】 【知识点】平行向量（共线向量）、平面向量的混合运算、已知向量共线（平行）求参数 【分析】运用向量平行的结论可解. 【详解】设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行， 则，即，即，解得. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明点共线问题、用基底表示向量 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可. （2）先求得，然后利用共线向量基本定理即可证明. 【详解】（1） . （2）因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线. 14．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）（1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【知识点】向量加法的法则、平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）利用向量线性运算计算即得. 【详解】（1）. （2） . B能力提升 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量的线性运算的几何应用、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解； （2）根据三点共线列出方程组求解即可． 【详解】（1）因为点A是的中点， 所以，即， 整理得， 可得， 故． （2）由题意可得， 因为三点共线，所以，且， 则， 可得，解得， 故． 16．（23-24高一下·广西柳州·期中）如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据共线的性质即可求解. 【详解】（1）在中，由， 又，所以 所以 （2）因为，又， 所以，， 所以 又D，E，F三点共线，且A在线外， 所以有：，即 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)， (2)3 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 6.2.3向量的数乘运算 课程标准 学习目标 ①了解向量数乘的概念。 ②理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算。 ③理解并掌握向量共线定理及其判定方法。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1在熟悉课本知识的基础上，了解并充分掌握向量数乘的概念； 2.在掌握向量加减与数乘定义的基础上，理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3.准确理解并掌握向量共线定理及其判定方法； 知识点01：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 【即学即练1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 （2）向量数乘的几何意义 对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍． 实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义． （3）向量数乘的运算律 实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则： ①结合律： ②第一分配律： ③第二分配律： 知识点02：向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有. 知识点03：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． ②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系． ③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可． 【即学即练2】（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 题型01 几何图形中用已知向量表示未知向量 【典例1】（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）如图所示，中，，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，点在同一条直线上，点O不在该直线上，且，设，，，试用向量、表示． 题型02 平面向量的混合运算 【典例1】（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 题型03 向量共线的判定 【典例1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（2024高一下·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线. (1)； (2)； (3). 【变式1】（23-24高一下·广西·阶段练习）设为两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（多选）（23-24高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型04 利用向量共线证明线线平行 【典例1】（24-25高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 【典例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）在四边形中，向量．其中向量不共线．求证：四边形是梯形． 【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线. 题型05 已知向量共线（平行）求参数 【典例1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·青海西宁·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数 . 【典例3】（23-24高一下·内蒙古乌海·期中）已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为 . 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙: 则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（23-24高一下·北京朝阳·期末）已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（    ） A． B． C．3 D．或3 【变式3】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 题型06 三点共线问题 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知两个非零向量不共线，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，已知．若，证明：三点共线．    【典例3】（23-24高一下·北京·期中）如图，矩形中，.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：三点共线. 【变式1】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    【变式3】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，. (1)以为基底表示； (2)求证：三点共线. 题型07 利用向量共线定理求参数 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例2】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【典例3】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在中，是直线BD上一点，若，则实数的值为 . 【变式1】（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式3】（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，E为AC上一点，，P为BE上任一点，若，则 . 题型08平面向量共线定理的推论 【典例1】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【变式1】（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【变式2】（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ． 【变式3】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，. (1)当时，用，表示； (2)求的值，并求最小值. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习），点在边上，，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 4．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知是所在平面内一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川德阳·模拟预测）在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 E为AD 的中点，则 （    ） A． B． C． D． 7．（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·福建莆田·期末）已知点不共线，点（异于）满足，．若直线过线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东深圳·期中）在中，点为线段BC上的点，且，过点的直线分别与AB，AC所在直线相交于点P，Q，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽·开学考试）在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若，则 ． 12．（24-25高一上·上海·课前预习）设、是两个不平行的向量，则向量（）与向量平行的充要条件是 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 14．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）（1） （2） B能力提升 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 16．（23-24高一下·广西柳州·期中）如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$