第03讲 6.2.2向量的减法运算（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第03讲 6.2.2向量的减法运算 课程标准 学习目标 ①借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则。 ②掌握向量减法的几何意义。 ③能熟练地进行向量的加、减综合运算。 1.通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广； 知识点01：向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 【即学即练1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 知识点02：向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 【即学即练2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 题型01 向量减法及其几何意义 【典例1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）四边形ABCD中，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，解答下列各题： (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示. 【变式1】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【变式3】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量． 题型02 利用向量加减法运算化简表达式 【典例1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）化简计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) . 题型03 向量的模 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ． 【典例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 【典例3】（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 【变式2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 题型04 利用已知向量表示其它向量 【典例1】（23-24高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一·全国·课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量. 【变式1】（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 【变式2】（23-24高一下·全国·随堂练习）如图，向量，，，则向量 题型05 向量加减法运算的实际应用 【典例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【典例2】（23-24高三上·陕西西安·期中）在平行四边形中，若，则四边形的形状为 . 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）设平面向量满足，如果平面向量满足，且顺时针旋转30°后与同向，其中i＝1，2，3，则 . 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据． 题型06 向量三角不等式 【典例1】（多选）（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）对于任意三个向量，下列命题中错误的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【典例2】（24-25高一·全国·课后作业）证明：当向量，不共线时， (1)； (2)． 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对于任意三个向量，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量与同向，则（    ） A．必与同向 B．必与同向 C．可能与同向、反向也可能是 D．不可能与同向 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 4．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 8．（23-24高一下·北京通州·期末）对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．若向量互为相反向量，则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则三点共线 三、填空题 11．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 12．（24-25高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    14．（24-25高一·湖南·课后作业）已知的对角线相交于点O，若，，试用，分别表示，，，． B能力提升 15．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 6.2.2向量的减法运算 课程标准 学习目标 ①借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则。 ②掌握向量减法的几何意义。 ③能熟练地进行向量的加、减综合运算。 1.通过阅读课本在向量加法的基础上，理解向量减法与数量减法的异同，并学会有加法理解减法的运算与意义，提升数学运算能力； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在减法运算的题目中灵活的作两个向量的加法与减法两种运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法，减法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法与减法的运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广； 知识点01：向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 【即学即练1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 知识点02：向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 【即学即练2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的模、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的加减法法则，结合向量的模及三角形三边的关系逐一分析判断即可. 【详解】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确. 故选：D. 题型01 向量减法及其几何意义 【典例1】（23-24高一上·湖北孝感·期末）四边形ABCD中，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】由三角形法则可得：. 故选：A 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，解答下列各题： (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示. 【答案】(1). (2) (3) (4) 【知识点】向量减法的法则、相反向量、向量加法的法则 【分析】（1）由向量的加法运算求解即可； （2）由向量的减法运算和相反向量的定义求解即可； （3）由向量的加法运算求解即可； （4）由向量的加法运算和相反向量的定义求解即可； 【详解】（1）因为. （2）因为. （3）因为. （4）因为. 【变式1】（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【知识点】向量减法的法则 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【答案】作图见解析 【知识点】向量减法的法则 【分析】根据向量减法的三角形法则作出图形. 【详解】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量.    【变式3】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，已知向量，，，求作向量． 【答案】见解析 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量减法的法则 【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解. 【详解】由向量减法的三角形法则， 令,则, 令,所以.如下图中即为. 题型02 利用向量加减法运算化简表达式 【典例1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）化简计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据给定条件，利用向量加法、减法运算律计算即得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：；；； 【典例3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式1】（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【知识点】向量减法的运算律 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）（2）利用向量加法原则即可得出答案. 【详解】（1）； （2）. 题型03 向量的模 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ． 【答案】 8 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、向量的模 【分析】由向量的加法、减法以及模的概念即可求解. 【详解】 在矩形中，因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，8. 【典例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 【答案】 0 1 2 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解. 【详解】解：如图所示：   ， 则， ， ， 如图所示：   ， ，则. 故答案为：，0，1，2 【典例3】（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据已知条件可得四边形ABCD为矩形，从而可求得答案. 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 【答案】1 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量的加减运算即可求解. 【详解】. 故答案为:1. 【变式2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【知识点】向量的模、向量减法法则的几何应用 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量的模、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 题型04 利用已知向量表示其它向量 【典例1】（23-24高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 【典例2】（24-25高一·全国·课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量. 【答案】 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】因为四边形ACDE是平行四边形， 所以，， 故. 【变式1】（23-24高一·江苏·课后作业）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 【答案】B 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】向量的加法、减法法则计算即可. 【详解】由向量的加法、减法法则，得， ． 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·全国·随堂练习）如图，向量，，，则向量 【答案】 【知识点】向量加法的法则、用空间基底表示向量、向量减法的法则 【分析】根据向量的加减法求解即可. 【详解】依题意，得， 故答案为： 题型05 向量加减法运算的实际应用 【典例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【知识点】速度、位移的合成、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量表示的几何意义画出图形，利用向量加法的交换律和向量减法的几何意义，可得，根据方向角和模长即可判断选项. 【详解】 如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走. 故选：C. 【典例2】（23-24高三上·陕西西安·期中）在平行四边形中，若，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】由向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则得平行四边形的对角线相等，进而可得答案. 【详解】解：根据向量加法的平行四边形法则得， 向量减法的三角形法则得， 因为，即， 所以平行四边形的对角线相等， 所以该平行四边形为矩形. 故答案为：矩形 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）设平面向量满足，如果平面向量满足，且顺时针旋转30°后与同向，其中i＝1，2，3，则 . 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】由向量的运算法则求解 【详解】设顺时针旋转30°后得，则 故 故答案为： 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据． 【答案】答案见解析. 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明线平行问题、向量减法法则的几何应用 【分析】根据已知条件易得或，由平面向量共线定理及数乘的几何意义，即可判断四边形ABCD的形状，进而可知其性质. 【详解】由题设，可得如下示意图，表示同一向量，四边形ABCD为平行四边形， 由已知条件，可得：，即，易知：且. ∴四边形ABCD为平行四边形. 性质：平行四边形ABCD所在平面的任意一点，其与A、C所成向量的和，与B、D所成向量的和表示同一个向量，即与A、C连线作出平行四边形，与B、D连线作出的平行四边形，有一条公共的对角线. 题型06 向量三角不等式 【典例1】（多选）（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）对于任意三个向量，下列命题中错误的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】向量减法的运算律、向量加法的运算律、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量线性运算性质判断AB，根据向量不能比较大小判断C，根据向量共线性质判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因为向量不能比较大小可得C错误， 对于D，取，则对与任意的向量都有，故不一定成立，D错误. 故选：ACD. 【典例2】（24-25高一·全国·课后作业）证明：当向量，不共线时， (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】（1）设，，以为邻边作一个平行四边形，则在中利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案； （2）在中，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案 【详解】（1） 如图所示，设，，且向量，不共线， 以为邻边作一个平行四边形，则， 在中，因为，所以， 因为，所以， 所以. （2）由（1）向量，不共线，在中，因为， 所以， 因为，所以， 所以． 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、相反向量 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）对于任意三个向量，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、相等向量 【分析】根据平面向量的三角形法则判断A B，根据向量不能比较大小判断C，根据向量的传递性判断D． 【详解】对于A，根据向量减法法则可知，当和不共线时， 两边之差小于第三边，即， 当和反向时，， 当和同向且时，， 当和同向且时，， 所以，故A错误； 对于B，根据向量加法法则可知，当和不共线时， 两边之和大于第三边，即， 当和反向时，， 当和同向时，， 所以，故B正确； 对于C，因为向量不能比较大小，故C错误； 对于D，若，由向量的传递性可知，故D正确． 故选：BD． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据向量线性运算计算即可． 【详解】， 故选：D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量与同向，则（    ） A．必与同向 B．必与同向 C．可能与同向、反向也可能是 D．不可能与同向 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、向量减法的法则 【分析】比较的大小关系即可逐一判断. 【详解】向量与同向， 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，． 故选：C. 3．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据矩形的性质，结合向量的加减法法则即可得解． 【详解】解：由于四边形为矩形，所以 故， 故选：D 4．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【详解】原式． 故选：A. 5．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 6．（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量加法、减法法则逐个计算即可. 【详解】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3. 故选：C 7．（24-25高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、相等向量、向量的模 【分析】由相等向量，向量的减法运算求解即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 8．（23-24高一下·北京通州·期末）对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量减法的法则、向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】根据向量加减法的法则即可得到答案. 【详解】对A，当，且同方向时，，故A错误， 对B，当，且反方向时，，故B错误， 对C，根据向量加法的平行四边形法则，得，故C正确， 对D，根据向量减法的三角形法则，得，故D错误， 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】对于选项AB：菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B结论正确，A结论错误； 对于选项C：因为，， 所以，即C结论错误； 对于选项D：因为， ，所以D结论正确. 故选：BD. 10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．若向量互为相反向量，则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则三点共线 【答案】ACD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】根据向量的定义和相关概念，即可判断选项. 【详解】由向量互为相反向量，得的长度相等，即，则A正确； 当时，向量可以不平行，则B错误； 由，得表示向量的有向线段的长度和方向都相同.由两个相等向量的起点相同，得这两个向量的终点一定相同，则C正确； 由，且有公共点，得三点共线，则D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】依题意根据平面向量加法的平行四边形法则及平面几何的性质得到四边形为正方形且，再由计算面积即可. 【详解】在平行四边形中，，， 因为，即，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.    故答案为： 12．（24-25高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 【答案】①②④ 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】利用平面向量的线性运算结合和向量、差向量模的关系可得出结论. 【详解】对于①，若，则与方向相同，①对； 对于②③，若，则与方向相反，②对③错； 对于④，若，则则与方向相同，④对. 故答案为：①②④. 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【答案】 【知识点】向量减法的运算律、向量加法的运算律 【分析】求出的值，利用平面向量的线性运算化简向量，即可求得的值. 【详解】解：在矩形中，，， 则， 因为，，， 则， 因此，. 14．（24-25高一·湖南·课后作业）已知的对角线相交于点O，若，，试用，分别表示，，，． 【答案】见解析 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】由向量的减法运算以及相反向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以，，，. B能力提升 15．（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； （2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； 【详解】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$