第02讲 6.2.1向量的加法运算（知识清单+3类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第02讲 6.2.1向量的加法运算 课程标准 学习目标 ①理解并掌握向量加法的概念。 ②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。 ③了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性。 1通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广； 知识点01向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课前预习）如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 【即学即练2】 （24-25高一下·全国·课前预习）请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    （4）多个向量相加 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图. 知识点02：向量加法的运算律 （1）交换律 （2）结合律 题型01 求向量的和 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，化简： ； ； ； . 【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知在中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)； (2). 【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的三角形法则作出.    【变式3】（24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的三角形法则作出.    题型02 向量的加法运算 【典例1】（23-24高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【典例3】（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【变式1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，O是和的交点. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【变式2】（23-24高一下·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 【变式3】（23-24高一下·全国·课前预习）化简 (1)； (2) . 题型03 向量加法的运用 【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）若向量表示向东走千米，表示向南走千米，则向量表示 ． 【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）如图所示，O是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等， （用表示） 【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及． 【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量，，，分别表示下列位移：“向北10km”、“向南5km”、“向西10km”、“向东5km”．请说明向量，，，，的意义． 【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024高二下·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）化简（    ） A．0 B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 6．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（2024高一·全国·专题练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 12．（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为 ． 四、解答题 13．（23-24高一·全国·随堂练习）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：    (1)共线向量？ (2)相反向量？ (3)相同的向量？ (4)模相等的向量？ 若存在，分别写出这些向量． 14．（23-24高一下·全国·课前预习）已知用向量加法的平行四边形法则作出. (1)； (2) . B能力提升 1．（23-24高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 2．（2024高一·上海·专题练习） 为非零向量，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反 C． D．无论什么关系均可 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 6.2.1向量的加法运算 课程标准 学习目标 ①理解并掌握向量加法的概念。 ②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。 ③了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性。 1通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同； 2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算； 3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广； 知识点01向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课前预习）如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】运用向量加法的三角形法则可解. 【详解】由图知道，，，，. 故答案为：，，，. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 【即学即练2】 （24-25高一下·全国·课前预习）请大家回顾我们物理中学过的力的合成的平行四边形法则，请你画出如图力和的合力．    【答案】答案见解析 【知识点】向量加法的法则、力的合成 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作图即可. 【详解】如图所示．    （4）多个向量相加 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图. 知识点02：向量加法的运算律 （1）交换律 （2）结合律 题型01 求向量的和 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，化简： ； ； ； . 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据平面向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】由图，根据平面向量加法的三角形法则， 可得，， ， ， ， 故答案为：①，②，③，④. 【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，求作向量＋． 【答案】作图见解析 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】 （1）（2）（3）利用向量的加法的三角形法则画图即可. 【详解】 （1）作，则，如图（1）． （2）作，则，如图（2）． （3）作，则，如图（3）． 【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知在中，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】 （1）利用向量的加法法则作图即可； （2）利用向量的加法法则作图即可. 【详解】（1） 延长，在延长线上截取，则向量即为所求. （2）在上取点，使，则向量即为所求. 【变式1】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及共线向量的加法法则即可得解. 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【变式2】（24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的三角形法则作出.    【答案】作图见解析. 【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的三角形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作，作，以起点，为终点作向量， 于是， 所以即为所作向量.    【变式3】（24-25高一上·上海·课前预习）已知、，用向量加法的三角形法则作出.    【答案】作图见解析. 【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的三角形法则作出. 【详解】在平面内任取点，作，作，以起点，为终点作向量， 于是， 所以即为所作向量.    题型02 向量的加法运算 【典例1】（23-24高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的运算律 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 【典例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量加法的运算律 【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【典例3】（2024高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【知识点】向量加法的运算律 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 【变式1】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，O是和的交点. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【知识点】向量加法的法则、向量加法的运算律 【分析】根据向量加法法则计算． 【详解】（1）由平行四边形法则，； （2）由向量加法的三角形法则，； （3）由向量加法法则得，； （4）由向量加法法则得，． 故答案为：；；；． 【变式2】（23-24高一下·新疆·期末）化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的运算律 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 【变式3】（23-24高一下·全国·课前预习）化简 (1)； (2) . 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、向量加法的运算律 【分析】（1）（2）按照向量加法的运算律直接计算即可. 【详解】（1）= （2）==. 题型03 向量加法的运用 【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）若向量表示向东走千米，表示向南走千米，则向量表示 ． 【答案】沿东南方向走千米 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】利用向量加法的几何意义解答即可. 【详解】若向量表示向东走千米，表示向南走千米， 则向量表示的方向为东南方向，大小为的向量 即表示沿东南方向走千米. 故答案为：沿东南方向走千米. 【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）如图所示，O是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等， （用表示） 【答案】1011() 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】设点为线段的中点，则也为线段的中点，然后根据向量加法平行四边形法则即可求解 【详解】解：设为线段的中点，则也为线段的中点， 由向量加法的平行四边形法则可得， ， ……， , 所以， 故答案为： 【典例3】（23-24高一·全国·课后作业）一质点从点出发，先向北偏东方向运动了到达点，再从点向正西方向运动了到达点，又从点向西南方向运动了到达点，试画出向量、、以及． 【答案】作图见解析 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据题意可作出向量、、以及. 【详解】根据题意，、、以及的示意图如下图所示： 【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 【变式2】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量，，，分别表示下列位移：“向北10km”、“向南5km”、“向西10km”、“向东5km”．请说明向量，，，，的意义． 【答案】答案见解析 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据，，，的意义对，，，，的意义进行说明. 【详解】向量表示“向北5km”； 向量表示“向南10km”； 向量表示“向西北方向”； 向量，表示没有位移； 向量，表示“向东北方向”． 【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】证明见解析 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算即可求证. 【详解】证明：由题知，， 因此． 所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024高二下·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法运算法则即可求解. 【详解】, 故选：B 3．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 4．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】A 【知识点】向量加法的法则 【分析】由向量加法法则得到答案. 【详解】，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形. 故选：A 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下列三个结论：①若，则；②的等价条件是点与点重合，点与点重合；③若且，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、向量加法的法则 【分析】根据向量运算法则，结合向量相等的定义判断①，根据向量相等定义判断②，根据向量加法和零向量定义判断③. 【详解】互为相反向量．又互为相反向量，故，故①正确； 当时，应有，且由点到点与由点到点的方向相同，但不一定有点与点重合，点与点重合，故②错误； 若且，则，，故③正确． 故选：B. 6．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的模、向量加法的法则 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】. 故选：D. 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案. 【详解】由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且，    所以的内角C等于. 故选：A. 8．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据平行四边形法则即可求. 【详解】以，为邻边作平行四边形，可知为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知对应的向量即所求向量． 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【知识点】相等向量、向量加法的法则 【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可． 【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确； 对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确； 对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误； 故选：AD 10．（2024高一·全国·专题练习）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、向量加法的法则 【分析】化简得到，进而根据平面向量的定义判断答案. 【详解】由题意，， 易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【答案】3个 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解. 【详解】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 12．（23-24高一下·广东广州·期中）已知正方形的边长为2，则为 ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法公式，以及正方形的性质，即可求解. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一·全国·随堂练习）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：    (1)共线向量？ (2)相反向量？ (3)相同的向量？ (4)模相等的向量？ 若存在，分别写出这些向量． 【答案】(1)向量与共线，向量与共线 (2)向量与是相反向量 (3)不存在相同的向量 (4) 【知识点】相反向量、平行向量（共线向量）、相等向量、向量的模 【分析】对于（1），根据共线向量是指方向相同或相反的非零向量即可解答；对于（2），根据相反向量是大小相等、方向相反的向量即可解答；对于（3），根据相等向量可解答；对于（4），求出模长可解答. 【详解】（1）向量与共线，向量与共线，所以存在共线向量； （2）向量与是相反向量，所以存在相反向量； （3）不存在相同的向量； （4），，， 所以存在模相等的向量，即为，，. 14．（23-24高一下·全国·课前预习）已知用向量加法的平行四边形法则作出. (1)； (2) . 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】（1）直接根据向量加法的平行四边形法则作图即可. （2）在平面内任意找一点，分别作向量，再根据向量加法的平行四边形法则作图即可. 【详解】（1）解：如图，以，所在边为邻边，作平行四边形，则对角线. （2）解：如图，在平面内任意找一点，分别作向量，再以向量所在边为邻边，作平行四边形，则对角线. ， B能力提升 1．（23-24高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的运算律 【分析】根据向量加法的性质即可判断：. 【详解】因为， ∴. 若与共线，由则中有一个必为零向量， 与不共线，即， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 2．（2024高一·上海·专题练习） 为非零向量，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反 C． D．无论什么关系均可 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案. 【详解】当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且； 当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且； 当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且， 所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同. 故选：A. 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之. 【答案】相等， 证明见解析 【知识点】向量加法的法则、相反向量 【分析】求与的关系为相等，利用向量加法的三角形法则即可证明. 【详解】 证明：由向量加法三角形法则知：， 所以， 因为， 所以， 所以 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则，相反向量，属于中档题. / 学科网（北京）股份有限公司 $$