第07讲 第六章 计数原理 章节验收测评卷-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A．24 B．60 C．48 D．72 【答案】A 【分析】根据组合数以及排列数的计算即可求解. 【详解】, 故选：A 2．集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则符合题意的点有，共2个； 若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，，共4个． 综上，符合题意的点的个数为. 故选：D． 3．若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【答案】B 【分析】利用组合数性质计算可得答案. 【详解】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 故选：B. 4．已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ） A．43 B． C．27 D． 【答案】D 【分析】根据题意结合二项展开式解得，，令，运算求解即可. 【详解】展开式的第7项为， 由题意可得，，（），解得，， 则展开式的通项为，， 令，则， 所以展开式中的有理项的系数和为. 故选：D. 5．数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，捆绑法，插空法求解即可. 【详解】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列， 首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法； 第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列， 其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧， 若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法， 共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法， 故共有8种站法； 第3步：将剩下的进行排列并计算所求， 剩下的有种站法，所以不同的站法共有种． 故选：C. 6．设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 7．如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案. 【详解】先涂，，，有种方法. 若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为； 若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为. 综上，总涂法数为. 故选：C 8．已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 【答案】C 【分析】借助赋值法，令可计算出的值，再利用二项式的展开式的通项公式计算可得其常数项即可得. 【详解】对于，令，则，故， 的展开式的通项公式为， 故的展开式中的常数项为： . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在二项式的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．第2项的系数为 B．所有项的系数和为 C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为 【答案】ABD 【分析】利用二项式的展开式可求得第2项的系数，可判断A；利用二项式形式的性质，可判断BCD的正误. 【详解】在二项式展开式中， 第2项系数为，所以正确. 令，得所有项系数和为，正确. 因为奇数项的二项式系数和等于偶数项二项式系数和，为， 所以错误，D正确. 故选：ABD. 10．设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据二项式展开式的通项可得,即可求解AB,利用赋值法即可求解CD. 【详解】由于，所以，所以， ，故A错误，B错误， ， 令，可得， 令，可得， 令，可得， 相加可得, 故C错误，D正确， 故选：BD 11．某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（     ） A．如果甲工序不能放在第一，共有96种加工顺序 B．如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序 C．如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序 D．如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序 【答案】AC 【分析】对A：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对B：采用捆绑法，再根据分步计数原理即可求得结果；对C：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.对D，采用倍缩法. 【详解】对于A，假设甲工序不能放在第一，，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理， 所有的安排顺序有：种，故A正确； 对于B，甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序， 则共有种加工顺序，故B错误； 对于C，假设甲丙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中， 安排甲丙，故共有：种加工顺序，故C正确； 对于D，现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的顺序， 故共有，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的二项展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【分析】先求出的通项，再令，代入计算可得答案. 【详解】二项式的通项公式为， 令，可得，所以. 故答案为：. 13．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．若已定好节目单，后来情况有变，需加上小品和魔术2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，则有 种不同的节目演出顺序． 【答案】110 【分析】除去首尾2个节目，加上小品和魔术后共有11个位置，第一步先排小品和魔术求出排法的数量，第二步让其他节目按原来顺序排入的排法数量，求出节目演出顺序的排法数量. 【详解】除去首尾2个节目，加上小品和魔术后共有11个位置， 第一步先排小品和魔术，有种排法， 第二步让其他节目按原来顺序排入，只有1种排法， 所以共有种排法． 故答案为：. 14．对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 ． 【答案】2016 【分析】求出和式中原数列中各项出现的次数即可得解. 【详解】数列中的每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个， 含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个， 因此和式中，数列中的每一项，都出现次， 所以所求和为. 故答案为：2016 【点睛】关键点点睛：利用组合计数问题求出给定数列的每一项在和式中出现的次数是求得和的关键. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）计算:; （2）. 【答案】（1）2；（2）0 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据排列数的阶乘形式的公式即可求解. 【详解】解:（1）， 16．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 【答案】(1)30 (2)65 【分析】（1）根据给定条件，利用组合问题按要求选出队员，列式计算作答. （2）根据给定条件，利用组合问题结合排除法列式计算作答. 【详解】（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）. （2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）. 17．若，其中. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，利用给定系数求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法分别求出即可得解. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 依题意，，解得， 所以的值为. （2）由（1）知，， 令，得， 令，得， 则 所以. 18．在的展开式中，若第3项的二项式系数为28，求： (1)展开式中所有项的二项式系数之和； (2)展开式中的有理项； (3)展开式中系数最大的项． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用给定的二项式系数求出，再利用二项式系数的性质求得答案. （2）求出二项式的展开式的通项，由的幂指数为有理数求解即得. （3）由展开式通项的系数，列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）依题意，，而，解得， 所以展开式中所有项的二项式系数之和为. （2）二项式展开式通项为， 当为整数时，为有理项，则， 因此当时，；当时，；当时，， 所以展开式中的有理项为． （3）设第项的系数最大，则，即， 整理得，解得，由，得或， 所以展开式中系数最大的项为． 19．在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A．24 B．60 C．48 D．72 2．集合，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 4．已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（ ） A．43 B． C．27 D． 5．数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（    ） A．48种 B．40种 C．32种 D．24种 6．设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 7．如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在二项式的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．第2项的系数为 B．所有项的系数和为 C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为 10．设，若，则（    ） A． B． C． D． 11．某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（     ） A．如果甲工序不能放在第一，共有96种加工顺序 B．如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序 C．如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序 D．如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的二项展开式中，项的系数为 ． 13．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目．若已定好节目单，后来情况有变，需加上小品和魔术2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，则有 种不同的节目演出顺序． 14．对于有穷数列，从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）计算:; 16．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法． (1)男队员2名，女队员2名； (2)至少有1名男队员． 17．若，其中. (1)求的值； (2)求. 18．在的展开式中，若第3项的二项式系数为28，求： (1)展开式中所有项的二项式系数之和； (2)展开式中的有理项； (3)展开式中系数最大的项． 19．在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. / 学科网（北京）股份有限公司 $$