第01讲 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第01讲 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课程标准 学习目标 ①熟练掌握两个计数原理。 ②灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题。 ③理解两个计数原理的区别与联系。 ④掌握分类与分步的计数原则及分类标准 1.理解与掌握两个计数原理的计数方法； 2能应用两个计数原理解决一些简单的实际问题； 知识点01：分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 【即学即练1】（24-25高三上·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，再根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 丙丁两人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：A 知识点02：分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 【即学即练2】（23-24高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 【答案】10 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为． 故答案为：10 知识点03：两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 题型01 利用分类加法计数原理解题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）从正六边形的6个顶点中任取两个点连成一条线段，可得线段条数为 ． 【答案】15 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据题意，由分类加法计数原理代入计算，即可求解. 【详解】分5类，以正六边形的某个顶点为第1个顶点，按顺时针，依次为第个顶点， 第1个顶点为端点时，共有5条线段；第个顶点依次为端点时， 分别有4条，3条，2条，1条线段，所以共有条线段． 故答案为：15 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 【答案】21种 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由树状图直接表示. 【详解】解法1：由树形图可得，蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房先进入0号蜂房有13种爬法；蜜蜂先进入1号蜂房共有8种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房，共有种不同的爬法． 说明：图1所表示的图形叫树形图．用这种方式解决排列组合问题较为直观形象． 解法2：依题意，蜜蜂爬到0号蜂房有1种爬法；爬到1号蜂房有2种爬法； 爬到2号蜂房有种爬法（在爬到0号或1号蜂房后再爬到2号蜂房）； 同理，爬到3号蜂房有种爬法； 爬到4号蜂房有种爬法； 爬到5号蜂房有种爬法； 爬到6号蜂房有种爬法． 所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有21种不同的爬法． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（    ） A．480 B．24 C．14 D．18 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】采用分类计数原理，即可求解. 【详解】采用分类计数原理，有种方法. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 【答案】 【知识点】分类加法计数原理 【分析】首先确定千位可以是3，4，5，再根据题意，利用列举的方法，即可求解. 【详解】分三类： 第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4321，4320，4310，4210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5432，5431，5430，5421，5420，5410，5321，5320，5310，5210，共10个． 由分类加法计数原理，共有（个）“渐降数”． 题型02 利用分步乘法计数原理解题 【典例1】（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：D． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】应用千位数字分奇数和偶数两类，再分别应用分步乘法原理，最后应用加法原理计算即可. 【详解】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 【典例3】（23-24高二下·全国·课堂例题）回答下列问题： (1)5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有多少种？ (2)5个同学争夺3个比赛的冠军，每个比赛冠军只有1人，冠军获得情况共有多少种？ 【答案】(1)243 (2)125 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法计数原理运算即可求解. 【详解】（1）5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有种； （2）5个同学争夺3个比赛的冠军，冠军获得情况共有种. 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．7种 D．12种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理可得. 【详解】第一步，4名同学中第一个同学先选，共有3个项目可选，共有3种方法， 同理第二步、第三步、第四步分别由第二、三、四个同学选，也各有3种方法， 故共有种方法， 故选：B 【变式2】（23-24高三下·全国·开学考试）用组成3位数，数字不能重复，其中奇数有 个； 【答案】280 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先分析得到奇数的条件，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】我们要组成数字不能重复的3位数，在求解奇数个数时， 我们首先考虑奇数的个数来自个位数字，而个位数字有5种选择， 百位数字有8种选择，十位数字有7种选择， 故由分步乘法计数原理得奇数有个. 故答案为：280 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有 个． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先排千位，有8种选择， 再排百位，有8种选择， 最后排十位，有7种选择， 故共有， 故答案为： 题型03 两个计数原理的综合应用 【典例1】（24-25高三上·吉林长春·开学考试）我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（   ） A．12 B．13 C．24 D．26 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况列式计算即可. 【详解】甲是特等奖，乙有4种情况，则丙、丁、戊有1种情况， 所以有种； 甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况， 而丙、丁、戊有1种情况， 所以有种； 所以5人的奖项的所有可能的种数是. 故选：B. 【典例2】（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的计数问题、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】集合中的完全平方数有，，， 令，， 则集合的非空子集有个， 集合的子集有个， 则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集， 故一共有个. 故答案为： 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中号人不坐号椅，2，3，4，的不同坐法有多少种？ 【答案】44 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理列式计算即得. 【详解】1号椅有4种坐法，3，4，5均可坐）， 假设1号椅由3号坐，则按排3号椅，那3号椅也有4种坐法，2，4，5可坐）， 假设3号椅由1号坐了，剩下2，4，5坐2，4，5这3个椅，只有2种坐法， 如果3号椅由4号坐了，剩下1，2，5坐2，4，5这3个椅，有3种坐法， 同样，3号椅由2号，5号坐的时候，也是各有3种坐法， 所以总坐法数是种． 【变式1】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 【变式2】（2024·陕西汉中·二模）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解，天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制，某麻辣烫店内有牛肉、羊肉、鸡肉、萝卜、木耳、菠菜、豆腐、香菇等菜品，一游客打算从以上8种菜品中选择一荤两素，其中萝卜，木耳只能选一种，菠菜，豆腐只能选一种，且羊肉必须与萝卜搭配，则他选择的种类共有 种． 【答案】19 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据题意分类讨论荤菜中是否有羊肉，结合计数原理分析求解. 【详解】1.若荤菜中没有羊肉，则荤菜为牛肉或鸡肉， （1）若素菜选香菇，可选择的种类共有种； （2）若素菜没有选香菇，可选择的种类共有种； 此时可选择的种类共有种； 2．若荤菜为羊肉，则素菜只能从菠菜、豆腐、香菇选一种，可选择的种类共有3种； 综上所述：他选择的种类共有种. 故答案为：19. 题型04 用计数原理解决涂色（种植）问题 【典例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】对、号无人机颜色与至号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种. 故选：D 【典例2】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.        【答案】 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】解：根据题意，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故答案为： 【典例3】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【答案】(1)60 (2)240 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可. （2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可. 【详解】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 【变式1】（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（    ） A．20种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法， 与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法， 所以不同填法种数是. 故选：B 【变式2】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 【答案】B 【知识点】涂色问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有. 故选：B. 【变式3】（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】首先给，两个顶点挂彩灯，再给顶点挂彩灯，再分、挂同一种颜色的彩灯和、挂不同种颜色的彩灯两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】首先给，两个顶点挂彩灯，有种方法，再给顶点挂彩灯，有种方法， ①若、挂同一种颜色的彩灯，则有种方法， 最后挂点有种方法，故有种； ②若、挂不同种颜色的彩灯，此时挂点有种方法，挂点有种方法， 最后挂点有种方法，故有种； 综上可得一共有种不同的方法. 故答案为： A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类，再分别计算每一类的方法数，可求得结论. 【详解】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类； 第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻， 分别有种选择，所以共计种； 第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法． 故选：C. 2．（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】应用分步乘法原理计算即可. 【详解】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法. 故选：C 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】由题意可得丙不是第1名，甲乙相邻，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案. 【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名， 当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有2+2+2+2=8种情况. 故选：C. 4．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由分类加法计数原理，即可解题. 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C. 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，分析可得每名学生都有4种选法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，每名学生都可以在书法、绘画、篮球和羽毛球兴趣小组中任选1个， 都有4种选法，由分步计数原理得，共有种不同的选法. 故选：D. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 【答案】B 【知识点】代数中的计数问题、计数原理与概率统计 【分析】首先根据分步计数原理计算不含0的所有两位数，再分类计算不满足条件的两位数，即可求解. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出（个）两位数， 其中个位和十位上的算筹都为1有（个）； 个位和十位上的算筹都为2有（个）； 个位和十位上的算筹都为3有（个）； 个位和十位上的算筹都为4有（个）； 个位和十位上的算筹都为5有（个）， 共有（个）， 所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（个）. 故选：B 7．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 【答案】C 【知识点】数字排列问题、分类加法计数原理 【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个； 最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个； 最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个， 所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为. 故选：C 8．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】合理分步，应用分步乘法原理计算即可. 【详解】第一步，从9个球中任意取一个，有 种取法； 第二步，从与第一步所取球颜色不同的6个球中任意取一个，有种取法； 第三步，剩下的球中与第一步颜色相同的球有2个，与第二步颜色相同的球也有2个，从这4个球中任意选一个，有 种取法； 根据分步乘法计数原理，结束取球时，恰有2种不同颜色的球被取出的取法共有种. 故选：D . 二、多选题 9．（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】BC 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D. 【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有种选择方案，错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区， 再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），错误. 故选：BC 10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 【答案】ACD 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据已知，结合分步乘法计数原理，求解即可得出答案. 【详解】对于A、B项， 按照6名同学参加的项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故A正确、B错误； 对于C项，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故C正确； 对于D项，根据3个智力竞赛项目，分为3步. 第1步，6种选择；第2步，5种选择；第3步，4种选择. 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高三上·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数． 【详解】解：根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；； 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个； 同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：个． 故答案为：． 12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 【答案】120 【知识点】涂色问题 【分析】利用分类和分步计数原理，即可求解. 【详解】当陕西和贵州相同，陕西和贵州4种颜色，重庆3种颜色，四川有2种颜色，湖北有2种颜色，湖南有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州相同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州和湖北有2种颜色，湖南有2种颜色，四川有1种颜色，则共有种方法， 当陕西和贵州不同，湖北和贵州不同，则陕西有4种颜色，重庆3种颜色，贵州有2种颜色，湖北有1种颜色，湖南有1种颜色，四川有1种则共有种方法， 综上可知有种方法. 故答案为：120 四、解答题 13．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 【答案】(1)100 (2)48 (3)30 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可得结果； （2）根据分步乘法计数原理可得结果； （3）根据组成三位偶数，末位数字可分两类，末位数字是0或者不是0，根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果； 【详解】（1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方 法，第二、三位可以排0，因此，根据分步乘法计数原理共有（个）． （2）三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除 首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法，因此，根据分步乘 法计数原理共有（个）． （3）偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类： 一类是末位数字是0，则有（种）排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位， 所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法． 因此有（种）排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，已知曲线方程． (1)若曲线方程表示的轨迹为圆，则这样的圆有多少个？ (2)若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则这样的椭圆有多少个？ 【答案】(1)5个 (2)20个 【知识点】椭圆定义及辨析、分类加法计数原理 【分析】（1）根据题意求出的所有可能取值，若曲线方程表示的轨迹为圆，则需，求出满足条件的所有情况即可； （2）若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则有两种情况：一是焦点在轴上，二是焦点在轴上，分类讨论，然后根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为曲线方程表示的轨迹为圆， 则，共有5种情况， 即这样的圆有5个． （2）由（1）知， 当焦点在轴上，此时需， 当时，没有对应值，0个椭圆； 当时，共1个椭圆； 当时，共2个椭圆； 当时，共3个椭圆； 当时，共4个椭圆， 由分类加法计数原理，焦点在轴上的椭圆有个； 焦点在轴上与焦点在轴上的椭圆个数相同，有10个； 综上所述，满足题意的椭圆共有个． B能力提升 15．（25-26高三上·上海·单元测试）若集合、满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，求集合的不同分拆种数. 【答案】27 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据拆分的定义，对分以下几种情况讨论：，，,，,,． 【详解】，对分以下几种情况讨论： 若，必有,,，共1种拆分； 若，则,或,,，共2种拆分；同理，时，各有2种拆分； 若,，则、,、,或,,，共4种拆分；同理,、,时，各有4种拆分； 若,,，则、、、、,、,、,，,,．共8种拆分； 共有种不同的拆分． 16．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【答案】(1)21种； (2)315种； (3)143种． 【知识点】实际问题中的计数问题、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】（1）根据分类加法计数原理求解； （2）根据分步乘法计数原理求解； （3）综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解； 【详解】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、 第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、 第三类，组长从（62）班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法， （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法； （3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法， 第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法， 第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课程标准 学习目标 ①熟练掌握两个计数原理。 ②灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题。 ③理解两个计数原理的区别与联系。 ④掌握分类与分步的计数原则及分类标准 1.理解与掌握两个计数原理的计数方法； 2能应用两个计数原理解决一些简单的实际问题； 知识点01：分类加法计数原理 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 【即学即练1】（24-25高三上·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 知识点02：分步乘法计数原理 （1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法. 【即学即练2】（23-24高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 知识点03：两个计数原理的联系与区别 联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题. 区别：①分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事. ②分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事. 题型01 利用分类加法计数原理解题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）从正六边形的6个顶点中任取两个点连成一条线段，可得线段条数为 ． 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（    ） A．480 B．24 C．14 D．18 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 题型02 利用分步乘法计数原理解题 【典例1】（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【典例3】（23-24高二下·全国·课堂例题）回答下列问题： (1)5封不同的信投入3个不同的邮筒的投法有多少种？ (2)5个同学争夺3个比赛的冠军，每个比赛冠军只有1人，冠军获得情况共有多少种？ 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．7种 D．12种 【变式2】（23-24高三下·全国·开学考试）用组成3位数，数字不能重复，其中奇数有 个； 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”（首位不能是0）共有 个． 题型03 两个计数原理的综合应用 【典例1】（24-25高三上·吉林长春·开学考试）我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（   ） A．12 B．13 C．24 D．26 【典例2】（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有 个． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中号人不坐号椅，2，3，4，的不同坐法有多少种？ 【变式1】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西汉中·二模）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解，天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制，某麻辣烫店内有牛肉、羊肉、鸡肉、萝卜、木耳、菠菜、豆腐、香菇等菜品，一游客打算从以上8种菜品中选择一荤两素，其中萝卜，木耳只能选一种，菠菜，豆腐只能选一种，且羊肉必须与萝卜搭配，则他选择的种类共有 种． 题型04 用计数原理解决涂色（种植）问题 【典例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种.        【典例3】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【变式1】（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（    ） A．20种 B．24种 C．36种 D．48种 【变式2】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 【变式3】（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（    ） 1 2 3 4 5 A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种 2．（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）学校为丰富高中生的课外生活，开设了兴趣小组，有3名学生想要报名书法、绘画、篮球、羽毛球兴趣小组，每人限报1项、则不同的报名方式种数有（    ） A． B．36 C．24 D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 7．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（    ） A．147 B．112 C．65 D．50 8．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、多选题 9．（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ） A．所有可能的方法有种 B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 三、填空题 11．（24-25高三上·广东汕头·期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个． 12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如下图，用4种不同颜色标注地图中的6个区域，相邻省颜色不同，有 种不同的涂色方式. 四、解答题 13．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数． (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？ 14．（24-25高二下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，已知曲线方程． (1)若曲线方程表示的轨迹为圆，则这样的圆有多少个？ (2)若曲线方程表示的轨迹为椭圆，则这样的椭圆有多少个？ B能力提升 15．（25-26高三上·上海·单元测试）若集合、满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，求集合的不同分拆种数. 16．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$