预习篇 08 二次根式的加减 -2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

08 二次根式的加减 【题型1】 同类二次根式 【基础知识】 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【巩固练习】 1（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·四川成都·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型2】二次根式的加减法 【基础知识】 二次根式的加减运算方法 ① 不是最简二次根式的要先化成最简二次根式； ② 是最简二次根式，只把二次根式系数相加减，二次根式不变照写. 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期中）计算：． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4（24-25九年级上·四川宜宾·期中）化简得（    ） A． B． C．2 D． 5（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 6（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算∶． 【题型3】二次根式的混合运算 【基础知识】 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方后乘除再加减，同级运算从左到右. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【例2】（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）已知． (1)求代数式、的值； (2)求代数式的值． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）计算 (1) (2) 2（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 3（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【题型4】二次根式的应用 【经典例题】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为32和2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．6 D．12 2（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　）    A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为96 3（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，主要通过构造“拟对象”、逐步扩充元素、逐步扩充范围、放缩逼近、合力逼近等方式解决问题．例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你根据阅读内容回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么_________，__________； (2)的整数部分是_________，小数部分是_________； (3)已知的小数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5（17-18八年级下·重庆江津·阶段练习）的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 ． 7（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算 (1) (2)． 8（22-23九年级上·四川眉山·开学考试）计算题： (1)； (2)． 9（2022八年级上·四川成都·专题练习）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【B组---提高题】 1（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08 二次根式的加减 【题型1】 同类二次根式 【基础知识】 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·江苏苏州·期中）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，将各式化成最简二次根式，被开方数相同的即可以合并，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴能与合并的是， 故选：． 2（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【详解】解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意； B. ，能与合并，故该选项符合题意；     C. ，不能与合并，故该选项不符合题意；     D. ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 3（24-25八年级上·四川成都·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念列出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：A． 4（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握二次根式的化简及同类二次根式的定义是解题的关键． 根据几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式是同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：A．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意； B．，，被开方数相同，是同类二次根式，该选项符合题意； C．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意； D．，，被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B． 【题型2】二次根式的加减法 【基础知识】 二次根式的加减运算方法 ① 不是最简二次根式的要先化成最简二次根式； ② 是最简二次根式，只把二次根式系数相加减，二次根式不变照写. 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减，分别将各二次根式化简后再合并即可． 【详解】解： ． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 2（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的加法，减法，乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C.，选项错误，不符合题意； D. ，选项正确，符合题意； 故选：D． 3（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的减法，无理数的估算，先计算出结果是估算的前提．先计算和的差，再估算结果的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在2和3之间， 故选：B． 4（24-25九年级上·四川宜宾·期中）化简得（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先利用二次根式的性质化简第一项，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：． 5（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）计算∶． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算乘法、除法、绝对值，再算加减． 【详解】解： ． 【题型3】二次根式的混合运算 【基础知识】 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方后乘除再加减，同级运算从左到右. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除进行计算即可； （2）根据二次根式的加减以及零次方幂进行计算； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【例2】（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）已知． (1)求代数式、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式混合运算等知识点，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解本题的关键． （1）根据平方差公式以及二次根式加减运算计算即可； （2）将原式转换为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ． （2）由（1）知，． ． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 2（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法、加减法运算，掌握以上知识点是解题的关键．分别化简每个二次根式，进行分母有理化，最后再进行同类二次根式的合并即可得到答案． 【详解】解：原式 3（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）由，得，，把变形为，再整体代入计算即可； （2）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； ∴； （2）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 【题型4】二次根式的应用 【经典例题】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运用，首先由正方形的面积是，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽得出正方形的长，再根据大正方形面积减去小正方形面积，即可得出答案． 【详解】解：小正方形的边长为： ， ∴ 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为32和2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是求出阴影部分的长和宽，准确运用二次根式乘法法则进行计算． 根据正方形面积求出阴影部分的长和宽，再求面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 2（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　）    A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为96 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据图形特征、长方形的面积周长公式以及二次根式的混合运算，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； B、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； C、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项符合题意； D、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 3（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，主要通过构造“拟对象”、逐步扩充元素、逐步扩充范围、放缩逼近、合力逼近等方式解决问题．例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你根据阅读内容回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么_________，__________； (2)的整数部分是_________，小数部分是_________； (3)已知的小数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)2， (3)1 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键． （1）从2的平方开始计算，发现2的平方等于4，3的平方等于9，5在两数之间，进而得到的近似值． （2）这个数减去整数部分，差就是小数部分，可得答案． （3）估算出与的取值范围，故可得出x与y的值，代入代数式进行计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ，， 故答案为：2，3； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故答案为：2，； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的判定，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的概念是解题的关键． 同类二次根式是指“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的概念判定即可求解． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C ． 2（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的加减法则逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、，则D符合题意． 故选：D． 3（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，再合并即可．根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不能合并，所以A选项计算错误，符合题意， B、，所以B选项计算正确，不符合题意， C、，所以C选项计算正确，不符合题意， D、，所以D选项计算正确，不符合题意， 故选：A． 4（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，阴影部分的长为， 阴影部分的宽为：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A． 5（17-18八年级下·重庆江津·阶段练习）的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ 故选A． 6（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将式中的二次根式化为最简二次根式，再合并即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 7（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2)６ 【分析】（1）根据二次根式的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2） ． 8（22-23九年级上·四川眉山·开学考试）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据实数的混合运算、负整数次幂、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、负整数次幂、绝对值、零次幂、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 9（2022八年级上·四川成都·专题练习）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先将进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得； （2）先根据无理数的估算分别求出的值，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ． （2）解：∵， ∴，即， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∵的小数部分是的小数部分是， ∴，， ∴ ． 【B组---提高题】 1（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 2（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$