第08讲 条件概率与全概率公式（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第08讲 条件概率与全概率公式 【人教A版2019】 模块一 条件概率 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，为样本空间，则 ①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)； ③设和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA). 【题型1 条件概率的计算】 【例1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·广东湛江·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示的为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案．八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型2 概率的乘法公式的应用】 【例2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 模块二 全概率公式 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 2．贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 3．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【题型3 利用全概率公式求概率】 【例3.1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（24-25高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 【变式3.2】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用贝叶斯公式求概率】 【例4.1】（23-24高二下·河北保定·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则使用微信支付遇到支付问题的概率是（    ） A．0.1 B．0.06 C．0.4 D．0.05 【例4.2】（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【题型5 条件概率与全概率公式的综合应用】 【例5.1】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·全国·课后作业）袋中装有8只红球，2只黑球，每次从中任取一球，不放回地连续取两次，求下列事件的概率． (1)取出的两球都是红球； (2)取出的两球都是黑球； (3)第二次取出的是红球． 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上担任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由． 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，相互独立且，，则等于（    ） A．0.6 B．0.06 C．0.4 D．0.08 3．（24-25高二下·全国·课后作业）从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南开封·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．（24-25高二下·全国·课后作业）某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（    ） A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10道判断题，某学生对其中7道题有思路，3道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.5．该同学从这10道题中随机选择1题，记事件A：选择的是有思路的题，记事件B：答对该题，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则 ． 13．（24-25高二下·全国·课后作业）饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 ． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）一盲盒中有外观、大小、质地完全相同的2个绿球、3个黄球、7个红球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖，先进行射箭游戏，射箭一次，规定射中10环可从盲盒中一次性抽取3个球，射中环可从盲盒中一次性抽取2个球，射中6环及6环以下可从盲盒中抽取1个球．某人射中10环、环、6环及6环以下的概率分别为，则此人抽到的全是一等奖或二等奖的概率为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课前预习）有两个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 16．（23-24高二下·吉林·期中）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求； (1)取两次，两次都取得二等品的概率； (2)取两次，第二次取得二等品的概率； (3)取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率． 17．（24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 18．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， (1)记事件A为“”，求； (2)记事件B为“”，求. 19．（23-24高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 条件概率与全概率公式 【人教A版2019】 模块一 条件概率 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，为样本空间，则 ①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)； ③设和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA). 【题型1 条件概率的计算】 【例1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可. 【解答过程】记“派出的2人中第1人是男生”为事件，“第2人恰好是女生”为事件． 则． 故选：C. 【例1.2】（23-24高二下·广东湛江·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件概率的计算公式计算即可. 【解答过程】． 故选：C． 【变式1.1】（23-24高二下·河北承德·期末）投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【解答过程】因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示的为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案．八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据古典概型及对立事件的概率求解，再结合条件概率公式计算. 【解答过程】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻． 设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A，“另一卦至少有两个阳爻”为事件B． 方法一：因为，所以． 方法二：因为，，所以． 故选：D. 【题型2 概率的乘法公式的应用】 【例2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合条件概率的性质和条件概率的公式即可完成判断. 【解答过程】由条件概率公式知，但是不一定等于，所以选项A错误； 根据条件概率的性质可知，所以选项B错误； 由条件概率公式可得出，所以选项C正确； 由条件概率公式可得出，所以选项D错误. 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件概率公式求解即可． 【解答过程】由题可知，， 故选：A． 【变式2.1】（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【解答过程】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 【解题思路】利用条件概率公式及概率性质辨析 【解答过程】①若则，故，故①错误； ②因为，所以， ，所以②正确； ③若或，则，故③错误； ④若或，则，故④错误. 故选：B. 模块二 全概率公式 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 2．贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 3．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【题型3 利用全概率公式求概率】 【例3.1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据全概率公式计算即可. 【解答过程】设“任意调查一名学生，他每天看电脑超过2小时”为事件，则，. 设“从该校任意调查一名学生，他是近视”为事件，则，. 所以： . 故选：B. 【例3.2】（24-25高二·全国·课后作业）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由全概率公式即可处理. 【解答过程】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 【变式3.1】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 【解题思路】由全概率公式即可求解. 【解答过程】设事件B为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， 由全概率公式可得： ， 任选一名运动员能够晋级的概率为0.46. 故选：B. 【变式3.2】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用全概率公式求解即可. 【解答过程】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ． 故选：B. 【题型4 利用贝叶斯公式求概率】 【例4.1】（23-24高二下·河北保定·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则使用微信支付遇到支付问题的概率是（    ） A．0.1 B．0.06 C．0.4 D．0.05 【解题思路】设出相应的事件以及对应的概率，代入贝叶斯公式即可求解. 【解答过程】设分别表示事件使用信用卡支付､使用支付宝支付､使用微信支付，表示事件出现支付问题， 则，所以使用微信支付遇到支付问题的概率，. 故选：D. 【例4.2】（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解. 【解答过程】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式即可得解. 【解答过程】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C. 【变式4.2】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 【题型5 条件概率与全概率公式的综合应用】 【例5.1】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用全概率公式和条件概率公式计算即得. 【解答过程】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， ， 所以王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为. 故选：A. 【例5.2】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误. 【解答过程】由题意：，，. 所以 . . 又事件、为对立事件，所以. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二下·全国·课后作业）袋中装有8只红球，2只黑球，每次从中任取一球，不放回地连续取两次，求下列事件的概率． (1)取出的两球都是红球； (2)取出的两球都是黑球； (3)第二次取出的是红球． 【解题思路】（1）利用条件概率的概率公式求解； （2）利用条件概率的概率公式求解； （3）利用全概率公式求解． 【解答过程】（1）设事件表示“第一次取到的是红球”，表示“第二次取到的是红球”． 根据题意知，， ． ． （2） （3） . 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上担任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担任前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由． 【解题思路】（1）应用全概率公式计算求解，再结合对立事件求概率； （2）应用条件概率计算求解； （3）应用条件概率计算求解，再比较判断即可. 【解答过程】（1）设表示“甲球员担任边锋”，表示“甲球员担任前卫”，表示“甲球员担任中场”，B表示“球队赢了某场比赛”． ， 该球队某场比赛输球的概率为． （2）由（1）知，所以，所以在球队获胜的条件下，球员甲担任前卫的概率为． （3）同（2）得，由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率． 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【解题思路】根据相互独立事件的定义可得. 【解答过程】相互独立，， ． 故选：A. 2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，相互独立且，，则等于（    ） A．0.6 B．0.06 C．0.4 D．0.08 【解题思路】根据条件概率结合对立事件概率计算求解. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以. 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先明确20以内的质数个数，接着求出和即可由条件概率公式得解. 【解答过程】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 由题意得，， 所以. 故选：D. 4．（23-24高二下·河南开封·期中）下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【解题思路】对于A，由加法公式的条件可判断；对于B，由概率的性质可判断；对于C，D，由条件概率的定义可判断. 【解答过程】对于A，当与不是两个互斥事件，不成立，A错误； 对于B，条件概率的性质与其他概率的性质一样，概率范围应该为，B错误； 对于C，因为， 若，则，所以或，C错误； 对于D，若，则，所以，D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）某医院针对某种疾病研制了新的特效药，可有效减轻症状，缩短病程．现将该药品投入临床试验，若不使用新药，病人3天可痊愈的概率为0.3，若使用新药，则3天痊愈的概率为0.9，假设临床病人有0.7的概率选择新药，若某病人3天痊愈，则该病人未使用新药的概率为（    ） A．0.3 B．0.21 C．0.125 D．0.09 【解题思路】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【解答过程】记事件使用新药，则不使用新药，病人3天病愈， 依题意， ， 所以. 故选：C. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知甲袋中有6只红球和4只白球，乙袋中有8只红球和6只白球，随机取一袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设相应事件，由全概率公式可得，进而求条件概率. 【解答过程】设取到甲袋为事件A，则， 设取到红球为事件B，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D. 7．（23-24高二下·广东珠海·阶段练习）甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，再根据条件概率公式列式求解即可. 【解答过程】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”， 事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”， 事件为“此人患了流感”． 由题可知，，，， ， 由条件概率公式可得， ，， 由题意可得，即，解得， 故选：D. 8．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 【解答过程】依题意，设第一周去自由校区开会为事件，第二周去自由校区开会为事件， 则，， 所以， 则. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件概率公式计算即可判断A，B，C，再结合概率性质判断D. 【解答过程】对于A：中，，，而与不一定相等，故不正确； 对于B：，应为互斥事件，故不正确； 对于C：正确； 对于D： ，故不正确． 故选：ABD. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由互斥事件的加法公式可得A错误，利用独立事件的乘法公式可得B正确，C正错误；再由条件概率的计算公式可求得D正确. 【解答过程】根据题意易知，A错误； 由独立事件的乘法公式可得，B正确； 易知，C错误； 由题可知，而, 所以正确． 故选：BD. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10道判断题，某学生对其中7道题有思路，3道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.5．该同学从这10道题中随机选择1题，记事件A：选择的是有思路的题，记事件B：答对该题，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用条件概率及全概率公式依次求解各选项即可. 【解答过程】由题意可得： ，，，A错误； ，则，B错误； 由全概率公式可得，所以，C正确； ，D正确． 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则 ． 【解题思路】正用逆用条件概率计算即可. 【解答过程】由，得，故． 故答案为：. 13．（24-25高二下·全国·课后作业）饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 ． 【解题思路】由条件概率的计算公式进行求解. 【解答过程】记事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”， 事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”， 所以， 所以． 故答案为：. 14．（24-25高二下·全国·课后作业）一盲盒中有外观、大小、质地完全相同的2个绿球、3个黄球、7个红球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖，先进行射箭游戏，射箭一次，规定射中10环可从盲盒中一次性抽取3个球，射中环可从盲盒中一次性抽取2个球，射中6环及6环以下可从盲盒中抽取1个球．某人射中10环、环、6环及6环以下的概率分别为，则此人抽到的全是一等奖或二等奖的概率为 ． 【解题思路】根据全概率公式计算即可. 【解答过程】设“射中10环”为事件，“射中环”为事件，“射中6环及6环以下”为事件， 则， 盲盒中共有12个球， 由全概率公式可得抽到的全是一等奖或二等奖的概率为 ． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课前预习）有两个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率． 【解题思路】根据互斥事件的概率性质，结合全概率乘法公式即可求解. 【解答过程】设事件表示“球取自号箱”，事件表示“取得红球”，其中，互斥， 发生总是伴随着，之一同时发生，即，且，互斥， 运用互斥事件概率的加法公式得到， 故． 因此，取得红球的概率为． 16．（23-24高二下·吉林·期中）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求； (1)取两次，两次都取得二等品的概率； (2)取两次，第二次取得二等品的概率； (3)取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率． 【解题思路】（1）（2）借助排列、组合列式求出取两次的基本事件总数，再求出所求概率的事件含有的基本事件数，利用古典概率求解即得. （2）利用缩小空间的方法求出条件概率. 【解答过程】（1）取产品两次的基本事件总数为，两次都取得二等品的事件含有个基本事件， 所以取两次，两次都取得二等品的概率. （2）取产品两次的基本事件总数为，第二次取得二等品的事件含有个基本事件， 所以取两次，第二次取得二等品的概率. （3）取两次，第一次取得二等品的条件下，还有4个产品，3个一等品，1个二等品， 所以第二次取得的是一等品的概率是. 17．（24-25高二下·全国·课前预习）5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，求这个球来自1号袋中的概率． 【解题思路】根据贝叶斯公式即可求解. 【解答过程】设“取到第号袋子”，， “取到白球”， 根据题意得 ， ，， 由贝叶斯公式得， ． 所以这个球来自1号袋中的概率为． 18．（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， (1)记事件A为“”，求； (2)记事件B为“”，求. 【解题思路】（1）先用穷举法得到先后抛掷两次，出现点数的基本事件总数，从中找出满足的事件数，根据古典概型的概率计算公式即可得到所求的概率； （2）求出事件AB包含的事件数和概率，进而可得条件概率. 【解答过程】（1）投掷骰子2次得到的所有结果为： 共16种， 事件A包含的结果有：共10种， 则. （2）事件AB包含的结果有：共2种，则， . 19．（23-24高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【解题思路】（1）先用来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性质和独立事件的乘法公式即可求解. （2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用条件概率的计算公式即可求解. 【解答过程】（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为. （2）由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$