专题1.5 线段的垂直平分线（2大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5 线段的垂直平分线（2大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】线段垂直平分线的性质 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 【知识点2】线段垂直平分线的判定 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 考点与题型目录 【考点一】线段垂直平分线的性质 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值......................................1 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明......................................2 【题型3】尺规作图并求值或证明..............................................3 【题型4】线段的垂直平分线与等腰三角形性质与判定综合求值或证明..............4 【考点二】线段垂直平分线的判定 【题型5】利用线段垂直平分线的判定求值......................................5 【题型6】利用线段垂直平分线的判定证明......................................6 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定尺规作图求值或证明....................7 【题型8】利用线段垂直平分线的判定与等腰三角形性质与判定求值或证明..........8 【考点三】线段垂直平分线的性质与判定综合 【题型9】线段垂直平分线性质与判定综合......................................9 【题型10】一次函数与线段垂直平分线性质与判定综合..........................10 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接........................................................11 【题型12】拓展延伸........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值 ★【例1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【变式1】1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 ★【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为 ． 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明 ★【例2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边三角形，连接，．求证： （1）． （2）． 【变式1】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）如图，直线是线段的垂直平分线，点C在直线外，且与A点在直线的同一侧，连接，交直线于点，点是直线上的一个点（不与点D重合），连接，．记，，则正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较m与n的大小 ★【变式2】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；．其中正确的结论序号有 ． 【题型3】尺规作图并求值或证明 ★【例3】（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，，分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点M，点N，连接，交于点D． （1）求的度数； （2）已知，求的面积． 【变式1】（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A．6 B．7 C．8 D．9 ★【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【题型4】线段的垂直平分线与等腰三角形性质与判定综合求值或证明 ★【例4】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【变式1】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，于点，点是上一点，，于点，且，若，则用表示的度数为 ． 【题型5】利用线段垂直平分线的判定求值 ★【例5】（24-25八年级上·云南·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． （1）若，求的长； （2）若四边形的面积为，求点到边的距离． 【变式1】（23-24八年级上·上海·单元测试）以 ， 为端点的线段的垂直平分线的方程为 （   ） A． B． C． D． ★【变式2】（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为   ★【题型6】利用线段垂直平分线的判定证明 【例6】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点 （1）求证： （2）证明：为的平分线． （3）求证： 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，平分交于点，下述结论： ①点在的垂直平分线上； ②； ③的周长等于； ④点是的中点． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ ★【变式2】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定尺规作图求值或证明 【例7】（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点E． （1）当时，点______（填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上； （2）若，，求的长． 【变式1】（22-23八年级下·山东枣庄·期末）阅读下面材料： 已知：，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧； 步骤2：以为圆心，为半径画弧，两弧交于点； 步骤3：连接，交延长线于点． 下列叙述正确的是（  ） ①垂直平分线段；②平分；③；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．②④ ★【变式2】（2022·河南新乡·一模）如图，在中， ，分别以,为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线 MN交于点，点，分别在边，上，连接．若，，，则线段的长为 ． 【题型8】利用线段垂直平分线的判定与等腰三角形性质与判定求值或证明 【例8】（24-25八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，点B在线段上，连接，点在上，连接，． （1）求证：垂直平分； （2）若，求长．（用含a的式子表示） 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 ★【变式2】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知是等边三角形，D为外一点，连接，，，E是边上的点，连接，，与交于点F．下面四个结论：①连接，则垂直平分线段；是等边三角形；③若，，则；④若，则，其中所有正确结论的序号是 ． ★【题型9】线段垂直平分线性质与判定综合 【例9】（24-25八年级上·山东临沂·期中）在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度． 【变式1】（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为 ★★【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，作交于点E．若，，则的长为 ． 【题型10】一次函数与线段垂直平分线性质与判定综合 ★★【例10】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，且点C的横坐标为，过点C、B分别作x轴、y轴的垂线，交于点为D，E、B为垂足． （1） ； （2）过点C作，交x轴于点F，连结，求证：直线平分； （3）在（2）的条件下，求的长． 【变式1】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．  （1）求一次函数（）的表达式及的面积； （2）在线段上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ★【变式2】（19-20八年级上·广东揭阳·期末）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．4 B． C．2 D．2+2 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证：； ★★【例2】（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【题型12】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． ★★【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，在四边形中，，，，点E是射线上一动点，点C沿直线翻折得到点．   （1）如图2，点E运动到点D，连接交于点F， ①判断的形状，并说明理由； ②此时的长度为______； （2）连接和，当点E在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 线段的垂直平分线（2大知识点4大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】线段垂直平分线的性质 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 【知识点2】线段垂直平分线的判定 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 考点与题型目录 【考点一】线段垂直平分线的性质 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值.......................................2 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明.......................................4 【题型3】尺规作图并求值或证明...............................................8 【题型4】线段的垂直平分线与等腰三角形性质与判定综合求值或证明..............11 【考点二】线段垂直平分线的判定 【题型5】利用线段垂直平分线的判定求值......................................14 【题型6】利用线段垂直平分线的判定证明......................................17 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定尺规作图求值或证明....................20 【题型8】利用线段垂直平分线的判定与等腰三角形性质与判定求值或证明..........24 【考点三】线段垂直平分线的性质与判定综合 【题型9】线段垂直平分线性质与判定综合......................................28 【题型10】一次函数与线段垂直平分线性质与判定综合...........................32 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接.........................................................37 【题型12】拓展延伸.........................................................39 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】利用线段垂直平分线的性质求值 ★【例1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式求出结果即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为18，求出，得出．根据垂直平分线的性质得出，，即可得出，最后求出结果即可． 解：（1）解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； （2）解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 【变式1】1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，设，得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】利用线段垂直平分线的性质证明 ★【例2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边三角形，连接，．求证： （1）． （2）． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质； （1）由直角三角形的性质和D是的中点得到，再结合为等边三角形证明得到，即； （2）由，得到，为的垂直平分线，则，再由，得到． 解：（1）证明：∵，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵，， ∴为的垂直平分线，， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）如图，直线是线段的垂直平分线，点C在直线外，且与A点在直线的同一侧，连接，交直线于点，点是直线上的一个点（不与点D重合），连接，．记，，则正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较m与n的大小 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形三边关系，连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，由三角形三边关系可得，即可得解． 解：如图，连接，    ， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在中，于点D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；．其中正确的结论序号有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力． ①由等腰三角形的性质得，再根据三角形外角性质得则得到，可判断为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出证，即可判断②③；只要证明，即可推出，由此可知④正确． 解：∵等腰中，， ∴， ∵平分， ， ∴为等腰三角形，所以①正确； 由①得， 又M为的中点， 在和中 ∴， ∴， ∴②③正确； 如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为①②③④． 【题型3】尺规作图并求值或证明 ★【例3】（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，，分别以点A，点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点M，点N，连接，交于点D． （1）求的度数；（2）已知，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用等腰三角形的性质以及线段的垂直平分线的性质求解即可． （2）证明，求出可得结论． 解：（1）解：∵， ， 由作图可知，垂直平分线段， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】 本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可． 解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出． 解：连接，如图， 由作法得垂直平分， 点为的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型4】线段的垂直平分线与等腰三角形性质与判定综合求值或证明 ★【例4】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，已知中，于，的平分线分别交于、． （1）试说明是等腰三角形； （2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析． 【分析】（1）首先根据条件，得，，进而利用等角的余角相等及对顶角的性质得，从而利用等角对等边即可得出答案； （2）由线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由平分，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵点恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．由作图过程可得：，是的垂直平分线，然后证明，，进而可以解决问题． 解：由作图过程可知：，是的垂直平分线， ， ， ， ， ，即， ，， 的周长为， 故选：C． ★【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，于点，点是上一点，，于点，且，若，则用表示的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，先由垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得，由，可推出，最后由三角形的内角和定理即可得解，熟练掌握其三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合应用是解决此题的关键． 解：∵，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【题型5】利用线段垂直平分线的判定求值 ★【例5】（24-25八年级上·云南·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接、，延长交的延长线于点．    （1）若，求的长； （2）若四边形的面积为，求点到边的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定： （1）首先根据可知，再根据点为的中点可得,进而证得，结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可证明结论； （2）首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 解：（1）解：， ， 又点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 又， 是线段的垂直平分线， ，即． （2）解：， ， 是线段的垂直平分线 ，， ，即， 设点E到边的距离为h， 则，解得， ∴点到边的距离为． 【变式1】（23-24八年级上·上海·单元测试）以 ， 为端点的线段的垂直平分线的方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解题的关键是得出的线段的垂直平分线是． 先求出中点，得出的线段的垂直平分线是，再根据待定系数法求解即可； 解：如图，设中点为， ，， ∴，， ， ∵， 则点在的线段的垂直平分线上，故的线段的垂直平分线是， ∴设直线的垂直平分线的方程为， 则， 解得：， ∴的垂直平分线的方程为， 即：， 故选：C． ★【变式2】（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．如图，连接 过作于 先求解 证明 求解 从而可得答案． 解：如图，连接 过作于 ，，，， 点是的中点，， 故答案为：   ★【题型6】利用线段垂直平分线的判定证明 【例6】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点   （1）求证： （2）证明：为的平分线． （3）求证： 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）证明见分析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段和差、等量代换即可得证． 解：（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，平分交于点，下述结论： ①点在的垂直平分线上； ②； ③的周长等于； ④点是的中点． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定以及等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用以及三角形的外角的性质．由三角形内角和定理以及角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，即可得点在的垂直平分线上，又由，即可求得，，继而证得，的周长等于． 解：中，，， ， 平分 ， ， 点在的垂直平分线上；故①正确； ， ， ， ，故②正确； 的周长为：；故③正确； ， ， 不是中点．故④错误． 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【题型7】利用线段垂直平分线性质与判定尺规作图求值或证明 【例7】（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点E． （1）当时，点______（填“在”或“不在”）线段的垂直平分线上； （2）若，，求的长． 【答案】（1）不在；（2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，进一步计算即可求解； （2）根据勾股定理求出，根据线段的和差可得结论． 解：（1）解：如图，连接， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴； ∴， ∴点不在线段的垂直平分线上； 故答案为：不在； （2）解：∵，，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·山东枣庄·期末）阅读下面材料： 已知：，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧； 步骤2：以为圆心，为半径画弧，两弧交于点； 步骤3：连接，交延长线于点． 下列叙述正确的是（  ） ①垂直平分线段；②平分；③；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 解：由作图可知 ，， ∴垂直平分线段 ， 故①③正确； 无法证明平分， 故②错误； ∵， ∴， 故④错误． 故选：C． 【点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ★【变式2】（2022·河南新乡·一模）如图，在中， ，分别以,为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线 MN交于点，点，分别在边，上，连接．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】由作法得垂直平分，则，延长到点，使，连接，，证明得到，，再证明，利用勾股定理计算出，证明垂直平分，从而得出． 解：如图，延长至点G，使得，连接，． 由作图可知，点D为的中点， ∴． ∵， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理等，能作出辅助线是解题的关键． 【题型8】利用线段垂直平分线的判定与等腰三角形性质与判定求值或证明 【例8】（24-25八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，点B在线段上，连接，点在上，连接，． （1）求证：垂直平分； （2）若，求长．（用含a的式子表示） 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）延长交于H，过点D作，，则，进而得是的平分线，再根据等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）先证明，在根据得，则，由此得，然后再利用含有角的直角三角形的性质及勾股定理可求出的长． 解：（1）证明：延长交于H，过点D作，，如图所示： ∵点， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴是的平分线， ∵点，，， ∴， ∴，， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，含有角直角三角形的性质，勾股定理，理解线段垂直平分线的定义，坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用含有角直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知是等边三角形，D为外一点，连接，，，E是边上的点，连接，，与交于点F．下面四个结论：①连接，则垂直平分线段；是等边三角形；③若，，则；④若，则，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 由等边三角形的性质以及即可判断①；由得，即可判断②；由是等边三角形，，即可推出③；求出的度数即可判断④． 解：如图，连接， ∵是等边三角形， ， ， ∴点都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段；故①正确； ∵， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵是等边三角形，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ， ， ∴，故④错误； 故答案为：①②． ★【题型9】线段垂直平分线性质与判定综合 【例9】（24-25八年级上·山东临沂·期中）在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．延长交于点，证明，得出，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． 解：延长交于点， 的中点为， ， 由题意可得：， ， 在和中， ， ， 由题意分析得，， ， 分别为和的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．如图，连接 过作于 先求解 证明 求解 从而可得答案． 解：如图，连接 过作于 ，，，， 点是的中点，， 故答案为： ★★【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，作交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点F，使，连接．易证，得出，，从而可求出．又易得出为线段的垂直平分线，得出．设，则，根据 勾股定理可列出关于x的等式，解之即可． 解：如图，延长至点F，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴，即． ∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴． 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【题型10】一次函数与线段垂直平分线性质与判定综合 ★★【例10】（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点，点C是的中点，且点C的横坐标为，过点C、B分别作x轴、y轴的垂线，交于点为D，E、B为垂足． （1） ； （2）过点C作，交x轴于点F，连结，求证：直线平分； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1）2；（2）详见分析；（3）． 【分析】本题考查一次函数的解析式，线段垂直平分线的性质，勾股定理． （1）根据题意求得点A的坐标为，据此求解即可； （2）先求得是线段的垂直平分线，由等边对等角以及平行线的性质求得，据此即可证明直线平分； （3）设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 解：（1）解：∵点C是的中点，且点C的横坐标为， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为， ∴， 解得； 故答案为：2； （2）证明：∵点C是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴直线平分； （3）解：∵，， ∴，， 由（2）可知，， 设， ∴， 在中，，即， 解得，即， ∵点C的横坐标为，轴， ∴点E的横坐标为， ∴， ∴． 【变式1】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．  （1）求一次函数（）的表达式及的面积； （2）在线段上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为，；（2）存在，点P的坐标为 【分析】（1） 根据求出坐标，把，坐标代入即可求出解析式，然后把代入求出点坐标，最后根据三角形面积公式求出面积； （2）根据垂直平分线的知识求出点横坐标为3，再代入解析式求出纵坐标即可． 解：（1）解：由得，． 将，分别代入， 得， 解得， 所以，一次函数的表达式为． 由得，． ． （2）存在，点P的坐标为，理由如下：    作的垂直平分线交轴于点，与的交点为点，连接， ， 是以为底的等腰三角形， 此时，， 点P在上， 把代入得：， 点P的坐标为． 【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握一次函数的图象与性质是解决此题的关键． ★【变式2】（19-20八年级上·广东揭阳·期末）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　） A．4 B． C．2 D．2+2 【答案】C 【分析】作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点C是OA的中点可得出点C的坐标，由点C，C′关于y轴对称可得出CC′的值及PC＝PC′，再利用勾股定理即可求出此时C′D（即PC+PD）的值，此题得解． 解：作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，如图所示． 当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）． ∵点C是OA的中点， ∴OC＝1，点C的坐标为（1，0）． 当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2， ∴CD＝2． ∵点C，C′关于y轴对称， ∴CC′＝2OC＝2，PC＝PC′， ∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D＝. 故选：C． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及轴对称最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P所在的位置是解题的关键． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 解：（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． ★★【例2】（2022·湖北黄石·中考真题）如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则 ，的最小值为 ． 【答案】 /30度 【分析】①与为等边三角形，得到，，，从而证，最后得到答案． ②过点D作定直线CF的对称点G，连CG，证出为等边三角形，为的中垂线，得到， ，再证为直角三角形，利用勾股定理求出，即可得到答案． 解：①∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案为：． ②（将军饮马问题） 过点D作定直线CF的对称点G，连CG， ∴为等边三角形，为的中垂线，， ∴， 连接， ∴， 又， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 【题型12】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 解：①当时，如图，设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； ②当时，如图，过点作，则：， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 综上：或； 故答案为：或 ★★【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，在四边形中，，，，点E是射线上一动点，点C沿直线翻折得到点．    （1）如图2，点E运动到点D，连接交于点F， ①判断的形状，并说明理由； ②此时的长度为______； （2）连接和，当点E在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①为等腰三角形，理由见分析；②；（2）存在，3或或30 【分析】（1）①根据翻折得到角平分线，结合平行线，继而根据等角对等边确定等腰三角形； ②由，得，由翻折得，则，所以，根据勾股定理求得； （2）三分种情况讨论，一是，连接，由垂直平分，得，则，可证明，则，求得；二是，点在上，此时点在上，连接、，则，，由勾股定理得，所以，则，求得；三是，点在的延长线上，此时点在的延长线上，连接、，求得，则，，所以，求得． 解：（1）①解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②解：，， ， ∵， ， ， 解得， 的长是； （2）解：存在，理由如下： 图1，，连接，    点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ； 如图2，，点在上，     ， 点在上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ∵ ，， ， 解得； 如图3，，点在的延长线上，    ， 点在的延长线上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ，， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或或30． 【点拨】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$