2025年新高考八省联考考后数学变式卷2

数学试题 2 第 1页（共 12页） 2025年新高考八省联考考后变式卷（2） 数 学 参考答案 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合 }5,4,3,2,1{A ， }9,7,5,3,1{B ，则 BA A．  1,3,5 B． 2,4,6 C． ,4,53 D． 1,2,3 【答案】A 2．已知复数 z满足   1i1i  z ，则 2025z A． i B． i C． 1 D．1 【答案】B 3．设等比数列 na 的公比为 q，命题甲： 1q ，命题乙： na 是递增数列，则 A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【提示】 1a 的符号未给定，当 01 a 时，若 1q ，则 na 是递减数列；若 na 是递增数 列，则 10  q ，故甲是乙的既不充分也不必要条件． 4．若点 P分向量 AB所成的比为 3 1  ，则点 B分向量 PA 所成的比是 A． 2 3  B． 2 1  C． 2 1 D． 2 3 【答案】A 5．将函数 xy cos 向右平移 3  个单位长度，得到的新函数与原函数的图象重合，则正数 的最小值为 A． 3 1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 6．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒 数学试题 2 第 2页（共 12页） 的高度从左到右依次为 4321 ,,, hhhh ，则它们的大小关系正确的是 A． 412 hhh  B． 321 hhh  C． 423 hhh  D． 142 hhh  【答案】A 7．过点  0,2 作曲线 xxey  的两条切线，切点分别为    2211 ,,, yxyx ，则  21 xx A． 2 B． 2 C． 2 D．2 【答案】D 8．已知矩形 ABCD的长 2AB ，宽 1AD ，现将其折叠，使点 A落在边 CD上，则折痕 长的最大值为 A． 5 5230  B． 32  C．  262  D．  222  【答案】C 【提示】如图建立平面直角坐标系，设折痕所在直线的斜率为 k， 当 0k  时，此时 A点与D点重合，折痕所在的直线方程 1 2 y  ，折痕长为 2； 当 0k  时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为 ( ,1)G a ，所以 A与G关于折痕所在的 直线对称，有 11 1OG a k k k a k         ，故 ( ,1)G k ，从而折痕所在的直线与OG的交 点坐标（线段OG的中点）为 1( , ) 2 2 kM  . 故折痕所在的直线方程 1 ( ) 2 2 ky k x   , 即 2 1 2 2 ky kx   ， 由①②得折痕所在的直线方程为 2 1 2 2 ky kx   . 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标分别为 2 21 1(0, ), ( ,0) 2 2 k kN P k    ， 解 2 1 1 2 k   ，得 1 0k   ；解 2 1 2 2 k k    ，得 2 3 2 3     k ， 因为 ( ,1)G k 在CD上,所以 2 0k   ， 数学试题 2 第 3页（共 12页） 当 2 3 0k    时，直线交 BC于 2 1(2,2 ), 2 2 kP k    2 2| | 4 4 4 4 7 4 3 32 16 3l P N k        ； ②当 1 2 3k     时，直线与 x轴、 y轴的交点落在矩形的边OD和OB上， 2 2 2 2 21 1| | ( ) ( ) 2 2 k kl PN k         32 4 2 2 2 1 1 3 3 1 4 4 4 4 4 k k k k k       ， 所以 3 3 3 1 2 2 l k k k     ，令 0l  ，解得 2 2 k   ，此时 l取得最大值，且 2 27| | 16 l PN  ； ③当 2 1k    时，直线交CD于 1( ,1) 2 2 kN k   ， 2 2 2 2 2 1 1 1| | 1 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 k kl PN k k k                所以折痕的长度的最大值为 32 16 3 2( 6 2)   . 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．样本 A和 B分别取自两个不同的总体，下图是其样本数据 Ax 和 Bx 的折线统计图，它们 的样本平均数分别为 Ax 和 Bx ，样本标准差分别为 As 和 Bs ，则 A． BA xx  B． BA xx  C． BA ss  D． BA ss  【答案】BC 【提示】通过观察，B的样本数据 Bx 显然分布于 A的样本数据 Ax 上方（因为 10Bx ， 10Ax ），故 BA xx  ；而 A的样本数据 Ax 显然比 B的样本数据 Bx 的波动更大，故 BA ss  ． 10．已知函数      xxxf sincoscossin  ，则 A．  xf 的图象关于 x 对称 B．  xf 的一个周期是 2 数学试题 2 第 4页（共 12页） C．  xf 在        , 2 上单调递增 D．  xf 的最大值为 11sin  【答案】ABD 【提示】对于 A，            2π sin cos 2π cos sin 2π sin cos cos sinf x x x x x             sin cos cos sinx x f x   ，故 A正确； 对于 B，              2π sin cos 2π cos sin 2π sin cos cos sinf x x x x x f x        ，故 B正确； 对于 C，  π π 3ππ cos1 sin1 1 2 sin 1 1 2 sin 1 0 2 4 4 f f               （ ） ， 则  π π 2 f f      ，又函数  f x 连续，故 C错误； 对于 D，因为 1 cos 1x   ，当 cos 1x  时，所以  sin cosy x 的最大值为 sin1， 当 cos 1x  时， sin 0x  ，  cos sin cos0 1y x   ，也取得最大值，所以  f x 的最大值为 sin1 1 ，故 D正确； 故选 ABD． 11．如果拉伸两个端头，下列绳子中会打结的是 A B C D 【答案】ACD 【提示】通过想象每根绳子在拉伸两个端头时的变化过程，来确定哪些绳子会形成结， 直接判断即可． 绳子 A的判断：当拉伸绳子 A的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过程 中会形成一个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的缠绕部分会收紧形成结； 绳子 B的判断：绳子 B拉伸时能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会 自然解开； 绳子 C的判断：绳子 C的缠绕结构决定了在拉伸两个端头时会形成结，其交叉和缠绕 数学试题 2 第 5页（共 12页） 使得在拉伸时必然会有部分绳子形成闭环结； 绳子 D的判断：绳子 D在拉伸端头时，会因为其复杂的缠绕而形成结，可以想象将端 头拉开时，绳子中间部分会收紧成结； 故绳子 A、B、D会打结． 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知事件 A和 B独立，且     2.0 BPAP ，则  BAP __________． 【答案】 36.0 13．已知点 BA, 在抛物线 xyC 4: 2  上，且 6AB ，设  00 , yxM 为 AB中点，则的 0x 最小 值为__________；此时 0y 的值为__________．（第一空 2分，第二空 3分） 【答案】2； 1 【提示】易知 1: xl 为 C的准线，  0,1F 为 C的焦点， 设 111 ,, MBA 分别为 MBA ,, 在 l上的投影，则由梯形中位线， 22 11 1 BFAFBBAA MM     而在△ABF中，由三角形的三边关系， 6 ABBFAF ， 故 21 2 110    BFAF MMx ，取等当且仅当 BFA ,, 三点共线．下求此时 0y 的值： 当直线 AB斜率不存在时， 4AB ，故舍去； 当直线 AB斜率存在时，设  1:  xkyAB ，与 C联立得方程：   042 22222  kxkxk 由韦达定理       1 42 2 BA BA xx k xx ，则   2 2 2 144 k kxxxxxx BABABA   ，   3141 2 2 2    k kxxkAB BA ，解得 4 2 k ，即 2k ， 代入得   12 2 2 20      k xxkyyy BABA ． 数学试题 2 第 6页（共 12页） 14．将 1、2、3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右图是 一种填法，则不同的填写方法共有_________种． 【答案】12 【提示】先确定第一行的情况一共有 11 1 2 1 3 CCC  种，然后我们再确定 第二行第一列的数有 12C 种，其余的就是唯一的，由乘法原理可得为 12种． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A赢得 B一张卡片，否则 B赢得 A一张卡片．规定掷硬币的次数达 9次时，或在此前某人 已赢得所有卡片时游戏终止．设 表示游戏终止时掷硬币的次数． （1）求 的取值范围； （2）求 的数学期望． 【解】（1）设正面向上的次数为 m，反面向上的次数为 n，则有 5 1 9 m n m n            ，即 5, 0; 0, 5; 6, 1; 1, 6;m n m n m n m n        即 5,7  ，又不可能等于 8，所以 9  ； 即的取值范围是 5，7，9； （2）根据 n次独立实验公式   51 15 2 2 16 P         ，   7 1 5 1 57 2C 2 64 P         ，       559 1 5 7 64 P P P         ； 数学期望 1 5 55 2755 7 9 16 64 64 32 E        ； 故数学期望 275 32 E  . 16．（15分） 如图，四棱柱 1111 DCBAABCD  的所有棱长都相等， AC交 BD于点O， 11CA 交 11DB 于点 1O ，四边形 11AACC 和 数学试题 2 第 7页（共 12页） 四边形 11BBDD 均为矩形． （1）证明： 1OO 底面 ABCD； （2）若 11 CCAC  ，求二面角 DOBC  11 的余弦值． 【解】（1）四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的所有棱长都相等 四边形 ABCD和四边形 1111 DCBA 均为菱形  1 1 1 1 1,AC BD O AC B D O    1,O O 分别为 1 1,BD B D 中点 四边形 1 1ACC A 和四边形 1 1BDD B 为矩形  1 / /OO 1 1//CC BB 且 1 1,CC AC BB BD  1 1,OO BD OO AC   又 AC BD O 且 ,AC BD 底面 ABCD 1OO 底面 ABCD． （2）过 1O 作 1BO的垂线交 1BO于点H，连接 1 1,HO HC ． 不妨设四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的边长为 2a． 1OO 底面 ABCD且底面 ABCD / /面 1111 DCBA 1OO 面 1111 DCBA 又 1 1OC  面 1111 DCBA 1 1 1OC OO  四边形 1111 DCBA 为菱形 1 1 1 1OC O B  又 1 1 1OC OO 且 1 1 1 1OO OC O  ， 1 1 1,OO O B 面 1OB D 1 1OC 面 1OB D 又 1BO  面 1OB D 1 1 1BO OC  又 1 1BO O H 且 1 1 1 1OC O H O  ， 1 1 1,OC O H 面 1 1OHC 1BO 面 1 1OHC  1 1O HC 为二面角 1 1C OB D  的平面角，则 1 1 1 1 cos O HO HC HC   60CBA   且四边形 ABCD为菱形 数学试题 2 第 8页（共 12页） 1 1OC a  ， 1 1 3 ,BO a 2 2 1 1 1 1 12 , 7OO a BO BO OO a    ， 则 11 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21·sin 3 77 OO aO H BO O BO BO a a BO a        再由 1 1O HC△ 的勾股定理可得 2 2 2 21 1 1 1 12 19 7 7 HC O H OC a a a     ， 则 11 1 1 cos O HO HC HC   2 21 2 577 1919 7 a a   ， 所以二面角 1 1C OB D  的余弦值为 2 57 19 ． 17．（15分） 已知函数     xeaxxxf 12  ． （1）当 2a 时，讨论  xf 的单调性； （2）若   02  exf ，求 a的取值范围． 【解】（1）当 2a 时，       R,112 22  xexexxxf xx ，      xexxxf 31'  ，令   0' xf 得 1x 或 3x ， 当 3x 时，   0' xf ，  xf 单调递增； 当 13  x 时，   0' xf ，  xf 单调递减； 当 1x 时，   0' xf ，  xf 单调递增． （2）   02  exf ，等价于   2exf  ，     R,12  xeaxxxf x ． （i）当 22  a 时，考虑 12  axxy ， 042  a ， 故 012  axx ，即   20 exf  ，符合题意． （ii）当 2a 时，         xx exaxeaxaxxf 1112' 2  ， 令   0' xf 得 1x 或 1 ax ，且 11  a ． 当 1x 时，   0' xf ，  xf 单调递增； 数学试题 2 第 9页（共 12页） 当 11  ax 时，   0' xf ，  xf 单调递减； 当 1 ax 时，   0' xf ，  xf 单调递增． 故     21min 21 e e aafxf a     ， 令    2,,21     ae aag a ，则   0 1' 1    ae aag ，故  ag 单调递增． 则    32 21     gee aag a 等价于 3a ，故  2,3 a ． （iii）当 2a 时，         xx exaxeaxaxxf 1112' 2  ， 令   0' xf 得 1x 或 1 ax ，且 11  a ． 当 1 ax 时，   0' xf ，  xf 单调递增； 当 11  xa 时，   0' xf ，  xf 单调递减； 当 1x 时，   0' xf ，  xf 单调递增． 故     2min 21 e e afxf  ，解得  2,2 3  ea ． 综上所述，实数 a的取值范围为  2,3 3  ea ． 18．（17分） 已知椭圆 1: 2 2 2 2  b y a xC 的一个焦点是  0,1F ，O为坐标原点． （1）已知 C短轴的两个三等分点与 F构成正三角形，求 C的方程； （2）设过点 F 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若当直线 l 绕点 F 任意转动时，总有 222 ABOBOA  ，求 a的取值范围． 【解】（1）设 M，N为短轴的两个三等分点，△MNF为正三角形， 所以 3 2 OF MN ， 3 21 2 3 b   ，解得 3b＝ ． 2 2 1 4a b   ，所以椭圆方程为 2 2 1 4 3 x y   ． （2）设 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y （ⅰ）当直线 AB与 x轴重合时， 数学试题 2 第 10页（共 12页） 2 2 2 2 2 22 2 22 , 4 ( 1),OA OB a AB a a OA OB AB     因此，恒有 ． （ⅱ）当直线 AB不与 x轴重合时，设直线 AB的方程为： 2 2 2 21, 1, x yx my a b    代入 整理得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0,a b m y b my b a b     2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 ,b m b a by y y y a b m a b m        因恒有 2 2 2OA OB AB  ，所以 AOB 恒为钝角， 即 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0OA OB x y x y x x y y        恒成立． 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1) ( ) 1x x y y my my y y m y y m y y          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( ) 2 1 0.m b a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m               又 2 2 2 0a b m  ，所以 2 2 2 2 2 2 2 0m a b b a b a     对m R 恒成立， 即 2 2 2 2 2 2 2m a b a b a b   对m R 恒成立， 当m R 时， 2 2 2m a b 最小值为 0，所以 2 2 2 2 0a b a b   ， 2 2 2 4( 1)a b a b   ， 因为 2 20, 0, 1a b a b a      ，即 2 1 0a a   ，解得 1 5 2 a  或 1 5 2 a  （舍去）， 即 1 5 2 a  ．综合（i）（ii），故 a的取值范围为 1 5( , ) 2   ． 19．（17分） 已知集合  babaA ba  ,N,22 中的所有元素从小到大排序构成数列 na ．将数列  na 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： （1）直接写出这个三角形表第四行、第五行各数； （2）请你依照这个三角形表的规律，求 100a 的值； （3）已知集合  cbacbaB cba  ,N,,222 中的所有元素从小到大排序构成数 数学试题 2 第 11页（共 12页） 列 nb ，若 1160kb ，求 k． 【解】（1）第一行： 1 02 2 ， 第二行： 2 0 2 12 2 , 2 2  ， 第三行： 3 0 3 1 3 22 2 , 2 2 , 2 2   ， 第四行： 4 0 4 1 4 2 4 32 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2    ， 第五行： 5 0 5 1 5 2 5 3 5 42 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2     ， 故第四行的数依次为 17、18、20、24，第五行的数依次为 33、34、36、40、48． （2）由（1）三角形数的规律为第 n行： 0 1 12 2 , 2 2 ,..., 2 2n n n n   ， 此数列有 ( 1)1 2 3 ... 2 n nn      项， 设 100a 在第 i行， 则    1 1100 2 2 i i i i    ，解得 14i  ， 所以 100a 在第 14行中的第 9个数， 则 14 8100 2 2 16640a    . （3）设 B  {2 2 2 | 0r s t r s t     且 , , }r s tZ ， 将 1160写成 2 2 2r s t  的形式为： 10 7 31160 2 2 2kb     ， 令  | 1160c B cM   ， 可将M 分成如下三个子集： 1 2 3M M M M   ， 这里    10 10 10 71 2| 2 , | 2 2 2M c B c M c B c        ，  310 7 103 7| 2 2 22 2M c B c     ， 下面求这三个集合中元素的个数：    101 | 2 2 2 2 | 0 10s trM c B c r s t          ; 其元素个数为 310C ；    10 10 7 102 | 2 2 2 2 2 2 | 0 7 ;r sM c B c r s           其元素个数为 27C ； 数学试题 2 第 12页（共 12页）    10 7 10 7 3 7 103 | 2 2 2 2 2 2 2 2 | 0 3 ,rM c B c r            其元素个数为 13C ； 故 3 2 110 7 3C C +C 1 145k     . 数学试题 2 第 1页（共 6页） 2025年新高考八省联考考后变式卷（2）含答案 数 学 本试卷共 4页，20小题，满分 150分．考试用时 120分钟． 命题热点：11绳结问题（2025八省联考）； 14数表问题（2024新高考 II卷）； 19数列中的组合计数问题（2024新高考 I卷） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合 }5,4,3,2,1{A ， }9,7,5,3,1{B ，则 BA A．  1,3,5 B． 2,4,6 C． ,4,53 D． 1,2,3 2．已知复数 z满足   1i1i  z ，则 2025z A． i B． i C． 1 D．1 3．设等比数列 na 的公比为 q，命题甲： 1q ，命题乙： na 是递增数列，则 A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 4．若点 P分向量 AB所成的比为 3 1  ，则点 B分向量 PA 所成的比是 A． 2 3  B． 2 1  C． 2 1 D． 2 3 5．将函数 xy cos 向右平移 3  个单位长度，得到的新函数与原函数的图象重合，则正数 的最小值为 A． 3 1 B．3 C．6 D．9 6．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口 半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒 的高度从左到右依次为 4321 ,,, hhhh ，则它们的大小关系正确的是 A． 412 hhh  B． 321 hhh  C． 423 hhh  D． 142 hhh  数学试题 2 第 2页（共 6页） 7．过点  0,2 作曲线 xxey  的两条切线，切点分别为    2211 ,,, yxyx ，则  21 xx A． 2 B． 2 C． 2 D．2 8．已知矩形 ABCD的长 2AB ，宽 1AD ，现将其折叠，使点 A落在边 CD上，则折痕 长的最大值为 A． 5 5230  B． 32  C．  262  D．  222  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．样本 A和 B分别取自两个不同的总体，下图是其样本数据 Ax 和 Bx 的折线统计图，它们 的样本平均数分别为 Ax 和 Bx ，样本标准差分别为 As 和 Bs ，则 A． BA xx  B． BA xx  C． BA ss  D． BA ss  10．已知函数      xxxf sincoscossin  ，则 A．  xf 的图象关于 x 对称 B．  xf 的一个周期是 2 C．  xf 在        , 2 上单调递增 D．  xf 的最大值为 11sin  11．如果拉伸两个端头，下列绳子中会打结的是 A B C D 数学试题 2 第 3页（共 6页） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知事件 A和 B独立，且     2.0 BPAP ，则  BAP __________． 13．已知点 BA, 在抛物线 xyC 4: 2  上，且 6AB ，设  00 , yxM 为 AB中点， 则的 0x 最小值为__________；此时 0y 的值为__________． （第一空 2 分，第二空 3 分） 14．将 1、2、3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字， 右图是一种填法，则不同的填写方法共有_________种． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A赢得 B一张卡片，否则 B赢得 A一张卡片．规定掷硬币的次数达 9次时，或在此前某人 已赢得所有卡片时游戏终止．设 表示游戏终止时掷硬币的次数． （1）求 的取值范围； （2）求 的数学期望． 16．（15分） 如图，四棱柱 1111 DCBAABCD  的所有棱长都相等， AC交 BD于点O， 11CA 交 11DB 于点 1O ，四边形 11AACC 和 四边形 11BBDD 均为矩形． （1）证明： 1OO 底面 ABCD； （2）若 11 CCAC  ，求二面角 DOBC  11 的余弦值． 数学试题 2 第 4页（共 6页） 17．（15分） 已知函数     xeaxxxf 12  ． （1）当 2a 时，讨论  xf 的单调性； （2）若   02  exf ，求 a的取值范围． 18．（17分） 已知椭圆 1: 2 2 2 2  b y a xC 的一个焦点是  0,1F ，O为坐标原点． （1）已知 C短轴的两个三等分点与 F构成正三角形，求 C的方程； （2）设过点 F 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若当直线 l 绕点 F 任意转动时，总有 222 ABOBOA  ，求 a的取值范围． 19．（17分） 已知集合  babaA ba  ,N,22 中的所有元素从小到大排序构成数列 na ．将数列  na 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： （1）直接写出这个三角形表第四行、第五行各数； （2）请你依照这个三角形表的规律，求 100a 的值； （3）已知集合  cbacbaB cba  ,N,,222 中的所有元素从小到大排序构成数 列 nb ，若 1160kb ，求 k． 2025年新高考八省联考考后变式卷（2） 数 学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 【答案】A 2．已知复数z满足，则 A． B． C． D．1 【答案】B 3．设等比数列的公比为q，命题甲：，命题乙：是递增数列，则 A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【提示】的符号未给定，当时，若，则是递减数列；若是递增数列，则，故甲是乙的既不充分也不必要条件． 4．若点P分向量所成的比为，则点B分向量所成的比是 A． B． C． D． 【答案】A 5．将函数向右平移个单位长度，得到的新函数与原函数的图象重合，则正数的最小值为 A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 6．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 7．过点作曲线的两条切线，切点分别为，则 A． B． C． D．2 【答案】D 8．已知矩形的长，宽，现将其折叠，使点A落在边CD上，则折痕长的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【提示】如图建立平面直角坐标系，设折痕所在直线的斜率为k， 当时，此时A点与点重合，折痕所在的直线方程，折痕长为2； 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为，所以A与关于折痕所在的直线对称，有，故，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为. 故折痕所在的直线方程, 即， 由①②得折痕所在的直线方程为. 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标分别为， 解，得；解，得， 因为在上,所以， 当时，直线交于 ； ②当时，直线与轴、轴的交点落在矩形的边和上， ， 所以，令，解得，此时取得最大值，且； ③当时，直线交于， 所以折痕的长度的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．样本A和B分别取自两个不同的总体，下图是其样本数据和的折线统计图，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则 A． B． C． D． 【答案】BC 【提示】通过观察，B的样本数据显然分布于A的样本数据上方（因为，），故；而A的样本数据显然比B的样本数据的波动更大，故． 10．已知函数，则 A．的图象关于对称 B．的一个周期是 C．在上单调递增 D．的最大值为 【答案】ABD 【提示】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 则，又函数连续，故C错误； 对于D，因为，当时，所以的最大值为， 当时，，，也取得最大值，所以的最大值为，故D正确； 故选ABD． 11．如果拉伸两个端头，下列绳子中会打结的是 A B C D 【答案】ACD 【提示】通过想象每根绳子在拉伸两个端头时的变化过程，来确定哪些绳子会形成结，直接判断即可． 绳子A的判断：当拉伸绳子A的两个端头时，由于绳子自身的缠绕方式，在拉伸过程中会形成一个结，可以想象将两个端头慢慢拉开，绳子中间的缠绕部分会收紧形成结； 绳子B的判断：绳子B拉伸时能顺利拉直，不会形成结，其交叉部分在拉伸过程中会自然解开； 绳子C的判断：绳子C的缠绕结构决定了在拉伸两个端头时会形成结，其交叉和缠绕使得在拉伸时必然会有部分绳子形成闭环结； 绳子D的判断：绳子D在拉伸端头时，会因为其复杂的缠绕而形成结，可以想象将端头拉开时，绳子中间部分会收紧成结； 故绳子A、B、D会打结． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件A和B独立，且，则__________． 【答案】 13．已知点在抛物线上，且，设为中点，则的最小值为__________；此时的值为__________．（第一空2分，第二空3分） 【答案】； 【提示】易知为C的准线，为C的焦点， 设分别为在l上的投影，则由梯形中位线， 而在△ABF中，由三角形的三边关系，， 故，取等当且仅当三点共线．下求此时的值： 当直线AB斜率不存在时，，故舍去； 当直线AB斜率存在时，设，与C联立得方程： 由韦达定理，则， ，解得，即， 代入得． 14．将1、2、3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右图是一种填法，则不同的填写方法共有_________种． 【答案】 【提示】先确定第一行的情况一共有种，然后我们再确定第二行第一列的数有种，其余的就是唯一的，由乘法原理可得为12种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设表示游戏终止时掷硬币的次数． （1）求的取值范围； （2）求的数学期望． 【解】（1）设正面向上的次数为m，反面向上的次数为n，则有，即 即，又不可能等于8，所以； 即的取值范围是5，7，9； （2）根据n次独立实验公式，， ； 数学期望； 故数学期望. 16．（15分） 如图，四棱柱的所有棱长都相等，交于点，交于点，四边形和四边形均为矩形． （1）证明：底面； （2）若，求二面角的余弦值． 【解】（1）四棱柱的所有棱长都相等 四边形和四边形均为菱形 分别为中点 四边形和四边形为矩形 且 又且底面 底面． （2）过作的垂线交于点，连接． 不妨设四棱柱的边长为． 底面且底面面 面 又面 四边形为菱形 又且，面 面 又面 又且，面 面 为二面角的平面角，则 且四边形为菱形 ，， 则 再由的勾股定理可得， 则， 所以二面角的余弦值为． 17．（15分） 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解】（1）当时，， ，令得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． （2），等价于，． （i）当时，考虑，， 故，即，符合题意． （ii）当时，， 令得或，且． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故， 令，则，故单调递增． 则等价于，故． （iii）当时，， 令得或，且． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 18．（17分） 已知椭圆的一个焦点是，O为坐标原点． （1）已知C短轴的两个三等分点与F构成正三角形，求C的方程； （2）设过点F的直线l交C于A、B两点，若当直线l绕点F任意转动时，总有，求a的取值范围． 【解】（1）设M，N为短轴的两个三等分点，△MNF为正三角形， 所以，，解得． ，所以椭圆方程为． （2）设 （ⅰ）当直线与轴重合时， ． （ⅱ）当直线不与轴重合时，设直线的方程为： 整理得 因恒有，所以恒为钝角， 即恒成立． 又，所以对恒成立， 即对恒成立， 当时，最小值为0，所以，， 因为，即，解得或（舍去）， 即．综合（i）（ii），故的取值范围为． 19．（17分） 已知集合中的所有元素从小到大排序构成数列．将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： （1）直接写出这个三角形表第四行、第五行各数； （2）请你依照这个三角形表的规律，求的值； （3）已知集合中的所有元素从小到大排序构成数 列，若，求k． 【解】（1）第一行：， 第二行：， 第三行：， 第四行：， 第五行：， 故第四行的数依次为17、18、20、24，第五行的数依次为33、34、36、40、48． （2）由（1）三角形数的规律为第行：， 此数列有项， 设在第i行， 则，解得， 所以在第14行中的第9个数， 则. （3）设且， 将1160写成的形式为：， 令， 可将分成如下三个子集：， 这里， ， 下面求这三个集合中元素的个数： ; 其元素个数为； 其元素个数为； 其元素个数为； 故. 数学试题2 第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高考八省联考考后变式卷（2）含答案 数 学 本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 命题热点：11绳结问题（2025八省联考）； 14数表问题（2024新高考II卷）； 19数列中的组合计数问题（2024新高考I卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则 A． B． C． D．1 3．设等比数列的公比为q，命题甲：，命题乙：是递增数列，则 A．甲是乙的充分必要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 4．若点P分向量所成的比为，则点B分向量所成的比是 A． B． C． D． 5．将函数向右平移个单位长度，得到的新函数与原函数的图象重合，则正数的最小值为 A． B．3 C．6 D．9 6．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是 A． B． C． D． 7．过点作曲线的两条切线，切点分别为，则 A． B． C． D．2 8．已知矩形的长，宽，现将其折叠，使点A落在边CD上，则折痕长的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．样本A和B分别取自两个不同的总体，下图是其样本数据和的折线统计图，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则 A． B． C． D． 10．已知函数，则 A．的图象关于对称 B．的一个周期是 C．在上单调递增 D．的最大值为 11．如果拉伸两个端头，下列绳子中会打结的是 A B C D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件A和B独立，且，则__________． 13．已知点在抛物线上，且，设为中点， 则的最小值为__________；此时的值为__________． （第一空2分，第二空3分） 14．将1、2、3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字， 右图是一种填法，则不同的填写方法共有_________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设表示游戏终止时掷硬币的次数． （1）求的取值范围； （2）求的数学期望． 16．（15分） 如图，四棱柱的所有棱长都相等，交于点，交于点，四边形和四边形均为矩形． （1）证明：底面； （2）若，求二面角的余弦值． 17．（15分） 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 18．（17分） 已知椭圆的一个焦点是，O为坐标原点． （1）已知C短轴的两个三等分点与F构成正三角形，求C的方程； （2）设过点F的直线l交C于A、B两点，若当直线l绕点F任意转动时，总有，求a的取值范围． 19．（17分） 已知集合中的所有元素从小到大排序构成数列．将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： （1）直接写出这个三角形表第四行、第五行各数； （2）请你依照这个三角形表的规律，求的值； （3）已知集合中的所有元素从小到大排序构成数 列，若，求k． 数学试题2 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$